2022-2023学年福建省南平市武夷山第三中学高三数学理联考试题含解析

2022-2023学年福建省南平市武夷山第三中学高三数学理联考试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.将函数的图像上所有的点向右平行移动个单位长度，再把所得各点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），所得图像的函数解析式是（

）A.B.C.D.参考答案：C略2.已知则

（A）

（B）

（C）

（D）参考答案：D3.设函数的图像关于直线对称,它的周期是,则正确的是（

）A.的图象过点

B.在上是减函数C.的一个对称中心是D.将的图象向右平移个单位得到函数的图象.参考答案：C4.在四面体S﹣ABC中，SA⊥平面ABC，∠BAC=120°，SA=AC=2，AB=1，则该四面体的外接球的表面积为（）A．11π B．7π C． D．参考答案：D考点：球的体积和表面积；球内接多面体．专题：空间位置关系与距离．分析：求出BC，利用正弦定理可得△ABC外接圆的半径，从而可求该三棱锥的外接球的半径，即可求出三棱锥的外接球表面积．解答：解：∵AC=2，AB=1，∠BAC=120°，∴BC==，∴三角形ABC的外接圆半径为r，2r=，r=，∵SA⊥平面ABC，SA=2，由于三角形OSA为等腰三角形，则有该三棱锥的外接球的半径R═=，∴该三棱锥的外接球的表面积为S=4πR2=4π×（）2=．故选：D．点评：本题考查三棱锥的外接球表面积，考查直线和平面的位置关系，确定三棱锥的外接球的半径是关键．5.在等差数列中，为其前n项和，若，则A.60

B.75

C.90

D.

105参考答案：B6.(09年石景山区统一测试)设，又记则

（

）

A．

B．

C．

D．参考答案：A7.复数的共轭复数（

）A．

B．

C．

D．

参考答案：A8.已知实数x，y满足，若z＝kx＋y的最大值为3k＋9，最小值为3k－3，则实数k的取值范围为

()A．－1≤k≤1

B．k≤－1C．k≥1

D．k≥1或k≥－1参考答案：A9.在区间和分别取一个数,记为,则方程表示焦点在轴上且离心率小于的椭圆的概率为A．

B．

C．

D．参考答案：B10.在△ABC中，已知向量与满足，且，则△ABC为 A．等边三角形 B．直角三角形 C．等腰非等边三角形 D．三边均不相等的三角形参考答案：A二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.设函数f（x）的定义域为D，如果存在正实数k，使对任意x∈D，都有x+k∈D，且f（x+k）＞f（x）恒成立，则称函数f（x）为D上的“k型增函数”．已知f（x）是定义在R上的奇函数，且当x＞0时，f（x）=|x﹣a|﹣2a，若f（x）为R上的“2011型增函数”，则实数a的取值范围是

．参考答案：【考点】奇偶性与单调性的综合．【分析】由题意可以得到再由定义存在正实数k，使对任意x∈D，都有x+k∈D，且f（x+k）＞f（x）恒成立，则称函数f（x）为D上的“k型增函数”．对所给的问题分自变量全为正，全为负，一正一负三类讨论，求出参数所满足的共同范围即可．【解答】解：∵f（x）是定义在R上的奇函数，且当x＞0时，f（x）=|x﹣a|﹣2a，∴又f（x）为R上的“2011型增函数”，当x＞0时，由定义有|x+2011﹣a|﹣2a＞|x﹣a|﹣2a，即|x+2011﹣a|＞|x﹣a|，其几何意义为到点a小于到点a﹣2011的距离，由于x＞0故可知a+a﹣2011＜0得a＜当x＜0时，分两类研究，若x+2011＜0，则有﹣|x+2011+a|+2a＞﹣|x+a|+2a，即|x+a|＞|x+2011+a|，其几何意义表示到点﹣a的距离小于到点﹣a﹣2011的距离，由于x＜0，故可得﹣a﹣a﹣2011＞0，得a＜；若x+2011＞0，则有|x+2011﹣a|﹣2a＞﹣|x+a|+2a，即|x+a|+|x+2011﹣a|＞4a，其几何意义表示到到点﹣a的距离与到点a﹣2011的距离的和大于4a，当a≤0时，显然成立，当a＞0时，由于|x+a|+|x+2011+a|≥|﹣a﹣a+2011|=|2a﹣2011|，故有|2a﹣2011|＞4a，必有2011﹣2a＞4a，解得

综上，对x∈R都成立的实数a的取值范围是故答案为：．12.若函数在区间上单调减区间，则m的一个值可以是_______；参考答案：（答案不唯一，只要）【分析】由题意可得在区间上恒成立，即可得答案；【详解】，，在区间上恒成立，在区间上恒成立，取，显然恒成立，故答案为：.【点睛】本题考查余弦二倍角公式、三角函数的图象与性质，考查运算求解能力，求解时注意结合三角函数的图象进行求解.13.已知数列{an}满足a1=0，a2=1，，则{an}的前n项和Sn=

．参考答案：14.设x，y为实数，且满足则x+y=

.参考答案：2解：原方程组即取f(t)=t3+1997t+1，f￠(t)=3t2+1987>0．故f(t)单调增，现x－1=1－y，x+y=2．15.（5分）已知△ABC中，∠A，∠B，∠C的对边分别为a，b，c，若a=1，2cosC+c=2b，则△ABC的周长的取值范围是．参考答案：（2，3]【考点】：余弦定理．【专题】：压轴题；解三角形．【分析】：由余弦定理求得cosC，代入已知等式可得（b+c）2﹣1=3bc，利用基本不等式求得b+c≤2，故a+b+c≤3．再由三角形任意两边之和大于第三边求得a+b+c＞2，由此求得△ABC的周长的取值范围．解：△ABC中，由余弦定理可得2cosC=，∵a=1，2cosC+c=2b，∴+c=2b，化简可得（b+c）2﹣1=3bc．∵bc≤，∴（b+c）2﹣1≤3×，解得b+c≤2（当且仅当b=c时，取等号）．故a+b+c≤3．再由任意两边之和大于第三边可得b+c＞a=1，故有a+b+c＞2，故△ABC的周长的取值范围是（2，3]，故答案为（2，3]．【点评】：本题主要考查余弦定理、基本不等式的应用，三角形任意两边之和大于第三边，属于中档题．16.已知是奇函数,且.若,则_______.参考答案：-117.某学校需要把6名同学安排到A，B，C三个兴趣小组学习，每个兴趣小组安排2名同学，已知甲不能安排到A组，乙和丙不能安排到同一小组，则安排方案的种数有

.参考答案：48三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.如图，在三棱锥P-ABC中，PB=PC，AB=AC．D，E分别是BC，PB的中点．（Ⅰ）求证：DE∥平面PAC；（Ⅱ）求证：平面ABC⊥平面PAD．

参考答案：（Ⅰ）证明：因为，分别是，的中点，所以．因为平面，平面，所以平面．

……2分（Ⅱ）证明：因为，，是的中点，所以，．因为，所以平面．因为平面，所以平面平面．……5分19.如图，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，分别是AC，B1C1的中点．求证：（1）MN∥平面ABB1A1；（2）AN⊥A1B.参考答案：（1）证明：取AB的中点P，连结因为M,P分别是AB,AC的中点，所以且在直三棱柱中，，，又因为是的中点，所以且.

所以四边形是平行四边形，所以，

而平面，平面，所以平面.

（2）证明：因为三棱柱为直三棱柱，所以面，又因为面，所以面面，

又因为，所以，面面，，所以面，

又因为面，所以，即，连结，因为在平行四边形中，，所以，又因为，且，面，所以面，而面，所以.

20.在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且.（1）求角C；（2）若△ABC的面积为，求ab的最小值.参考答案：（1）（2）12试题分析：（1）利用余弦定理化简，转化求解角；（2）利用三角形的面积以及余弦定理结合基本不等式求解即可。解析：(1)

（2）

故的最小值为12.

21.已知函数f（x）=sin（2x+）+sin（2x﹣）+2cos2x﹣1，x∈R．（1）求函数f（x）的最小正周期；（2）求函数f（x）在区间[]上的最大值和最小值．参考答案：【考点】三角函数中的恒等变换应用；三角函数的周期性及其求法；三角函数的最值．【分析】（1）利用正弦函数的两角和与差的公式与辅助角公式将f（x）=sin（2x+）+sin（2x﹣）+2cos2x﹣1化为f（x）=sin（2x+），即可求得函数f（x）的最小正周期；（2）可分析得到函数f（x）在区间[]上是增函数，在区间[，]上是减函数，从而可求得f（x）在区间[]上的最大值和最小值．【解答】解：（1）∵f（x）=sin2x?cos+cos2x?sin+sin2x?cos﹣cos2x?sin+cos2x=sin2x+cos2x=sin（2x+），∴函数f（x）的最小正周期T==π．（2）∵函数f（x）在区间[]上是增函数，在区间[，]上是减函数，又f（﹣）=﹣1，f（）=，f（）=1，∴函数f（x）在区间[]上的最大值为，最小值为﹣1．22.已知数列的前n项和为且