2022年湖南省永州市观音滩镇第一中学高三数学理测试题含解析

2022年湖南省永州市观音滩镇第一中学高三数学理测试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.命题“”为真命题的一个充分不必要条件是（

）A.

B.

C.

D.参考答案：C2.．图象的一个对称中心是

（

）

A．

B．

C．

D．参考答案：B略3.执行如图所示的程序框图，输出的S值为（）A．2 B．4 C．6 D．12参考答案：C【考点】程序框图．【分析】根据所给数值判定是否满足判断框中的条件，然后执行循环语句，一旦不满足条件就退出循环，从而到结论．【解答】解：模拟执行程序，可得k=0，s=0满足条件k＜3，执行循环体，s=0，k=1满足条件k＜3，执行循环体，s=2，k=2满足条件k＜3，执行循环体，s=6，k=3不满足条件k＜3，退出循环，输出s的值为6．故选：C．4.由1、2、3、4、5、6组成没有重复数字且1、3都不与5相邻的六位偶数的个数是（

）A．72

B．96

C．108

D．144参考答案：C5.如图，在正方体ABC的﹣A1B1C1D1中，点P是线段A1C1上的动点，则三棱锥P﹣BCD的俯视图与正视图面积之比的最大值为（）A．1 B． C． D．2参考答案：A【考点】简单空间图形的三视图．【分析】分析三棱锥P﹣BCD的正视图与侧视图的形状，并求出面积，可得答案．【解答】解：设棱长为1，则三棱锥P﹣BCD的正视图是底面边长为1，高为1的三角形，面积为：；三棱锥P﹣BCD的俯视图取最大面积时，P在A1处，俯视图面积为：；故三棱锥P﹣BCD的俯视图与正视图面积之比的最大值为1，故选：A．6.设变量、满足线性约束条件，则目标函数的最小值为（

）6

7

8

23参考答案：B略7.在复平面内，复数满足，则对应的点位于（

）A．第一象限

B．第二象限

C．第三象限

D．第四象限参考答案：B8.若，，，则下列结论正确的是（

）（A）（B）（C）（D）参考答案：D，，，所以，选D.9.已知过抛物线焦点的直线交抛物线C于P,Q两点,交圆于M,N两点,其中P,M位于第一象限,则的值不可能为（

）A.3 B.4 C.5 D.6参考答案：A【分析】设出，，利用抛物线的常用结论，得到，进而得到，再利用基本不等式中“1”的代换的方法，得出，最后得到，进而求出答案【详解】作图如下：可以作出下图，由图可得，可设，，则，，，，根据抛物线的常用结论，有，，则，又，得，则值不可能为3，答案选A【点睛】本题考查抛物线的常用结论的应用，以及基本不等式的问题，属于综合题，解题的难点在于把的取值范围转化为基本不等式问题，属于难题10.已知是三条不同的直线，是两个不同的平面，下列命题为真命题的是A．若，，，，则B．若，∥，，则C．若∥，，则∥D．若，，，则∥参考答案：B二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.在Rt△ABC中，∠A=90°，AB=AC=1，点E是AB的中点，点D满足，则=．参考答案：

【考点】平面向量数量积的运算．【分析】利用两个向量的加减法的法则，以及其几何意义，两个向量的数量积的运算法则，求得要求式子的值．【解答】解：Rt△ABC中，∵∠A=90°，AB=AC=1，点E是AB的中点，点D满足，∴=?（﹣）=?[+]=?（+）===，故答案为：．12.若存在实常数k和b，使得函数和对其公共定义域上的任意实数x都满足：和恒成立，则称此直线为和的“隔离直线”，已知函数，，（e为自然对数的底数），有下列命题：①在内单调递增；②f(x)和g(x)之间存在“隔离直线”，且b的最小值为－4；③f(x)和g(x)之间存在“隔离直线”，且k的取值范围是[－4,1]；④f(x)和g(x)之间存在唯一的“隔离直线”.其中真命题的序号为

．（请填写正确命题的序号）参考答案：①②④解析：①，，，，在内单调递增，故①正确；②，③设的隔离直线为，则对任意恒成立，即有对任意恒成立.由对任意恒成立得.若则有符合题意;若则有对任意恒成立,又则有，，即有且，，，同理，可得，所以，，故②正确，③错误；④函数和的图象在处有公共点，因此存在和的隔离直线，那么该直线过这个公共点，设隔离直线的斜率为，则隔离直线方程为，即，由恒成立，若，则不恒成立.若，由恒成立，令，在单调递增，，故不恒成立.所以，可得，当恒成立，则，只有，此时直线方程为，下面证明，令，，当时，；当时，；当时，；当时，取到极小值，极小值是，也是最小值，，则，函数和存在唯一的隔离直线，故④正确，故答案为①②④．13.球内接正六棱锥的侧棱长与底面边长分别为和2，则该球的体积为

；参考答案：14.设函数______.参考答案：令得，即。令得。令得。15.在中，角所对的边分别为，且，是的中点，且，，则的最短边的边长为

．参考答案：16.某个不透明的袋中装有除颜色外其它特征完全相同的7个乒乓球(袋中仅有白色和黄色两种颜色的球)，若从袋中随机摸一个乒乓球，得到的球是白色乒乓球的概率是，则从袋中一次随机摸两个球，得到一个白色乒乓球和一个黄色乒乓球的概率是．参考答案：17.正方体的棱长为，是它的内切球的一条弦（把球面上任意两点之间的连线段称为球的弦），为正方体表面上的动点，当弦最长时，的取值范围是

．参考答案：略三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.设函数f（x）=x2﹣aln（x+2），且f（x）存在两个极值点x1，x2，其中x1＜x2．（I）求实数a的取值范围；（II）证明不等式：．参考答案：【考点】利用导数研究函数的极值；利用导数研究函数的单调性．【分析】（I）求导，由题意可知：2x2+4x﹣a=0在（﹣2，+∞）内有两个不相等实根，构造辅助函数，利用函数的性质，即可求得实数a的取值范围；（II）由（I）可知，利用韦达定理，则，构造辅助函数．利用导数求得函数的单调区间，则F（x）＜F（1）=﹣1，即．【解答】解：（Ⅰ）由题意，，﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣∵函数f（x）存在两个极值点x1，x2，且x1＜x2，∴关于x的方程，即2x2+4x﹣a=0在（﹣2，+∞）内有两个不相等实根．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣令φ（x）=2x2+4x﹣a，则﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣解得﹣2＜a＜0．所以，实数a的取值范围（﹣2，0）．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（Ⅱ）证明：由（Ⅰ）知∴，﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣令﹣x2=x，则0＜x＜1，且，令，则﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣∴，∵0＜x＜1，∴F''（x）＜0即F'（x）在（0，1）上是减函数，∴F'（x）＞F'（1）=1＞0，∴F（x）在（0，1）上是增函数，﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣∴F（x）＜F（1）=﹣1，即，所以，．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣19.如图，在梯形ABCD中，，，，四边形ACFE是矩形，且平面ACFE⊥平面ABCD.（Ⅰ）求证:BC⊥平面ACFE；（Ⅱ）当二面角C-BF-D的平面角的余弦值为,求这个六面体ABCDEF的体积.参考答案：（Ⅰ）在梯形中,∵,,∴,∴,∵.∴,∴,∴.（4分）∵平面平面,平面平面,∴平面.（Ⅱ）在中,,∴.分别以为轴,轴,轴建立平面直角坐标系,设,则,,,,,则,,易知平面的一个法向量为,∵平面的法向量为,∴即令,则,,∴平面的法向量为,∵二面角的平面角的余弦值为,∴,解得,即.（10分）所以六面体的体积为：.（12分）20.（本题满分16分，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分6分）已知函数定义域是，且，，当时，．（1）证明：为奇函数；（2）求在上的表达式；（3）是否存在正整数k，使得时，有解，若存在求出k的值，若不存在说明理由．解：参考答案：解：(1),所以的周期为2，所以,所以为奇函数．（2）因为，所以当时，．（3）任取

所以不存在这样的，使得时，有解．

21.（13分）已知函数（）.

（1）若函数的图象在点P（1，）处的切线的倾斜角为,求在上的最小值；

（2）若存在，使，求的取值范围.参考答案：解析：（I）

据题意，

…3分

由（I）知,则.x-+↘↗

∴对于，最小值为.

………………7分（2）

①若上单调递减.

又

………………9分

②若

从而在（0，上单调递增，在[，+上单调递减.

据题意，

12分综上，的取值范围是（3，+∞）.………………13分22.已知函数，.（1）若函数在处的切线与直线平行，求实数n的值；（2）试讨论函数在区间[1,+∞)上最大值；（3）若时，函数恰有两个零点，求证：.参考答案：(1);(2)当时,,当时，;(3)见解析.试题分析：(1)求函数的导数，由求之即可；(2)，分当与分别讨论函数的单调性，求其最值即可；(3)由可得，即，设，则，即，故，用作差比较法证明即可.试题解析：（1）由，，由于函数在处的切线与直线平行，故，解得.（2），由时，；时，，所以①当时，在上单调递减，故在上的最大值为；②当，在上单调递增，在上单调递减，故在上的最大值为；（3）若时，恰有两个零点，由，，得，∴，设，，，故，∴，记函数，因，∴在递增，∵，∴，又，，故成立.考点：1.导