2022年湖南省湘潭市湘乡团田中学高三数学文上学期期末试题含解析

2022年湖南省湘潭市湘乡团田中学高三数学文上学期期末试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.已知，则的值为()．参考答案：B2.的展开式中的常数项是（

）A.-7 B.-5 C.5 D.7参考答案：B【分析】根据二项式展开式的通项公式，求得题目所求展开式中的常数项.【详解】根据二项式展开式的通项公式可知，的展开式中的常数项是.故选：B【点睛】本小题主要考查二项式展开式的通项公式的应用，属于基础题.3.直线：y=kx+1(k≠0),椭圆E：,若直线被椭圆E所截弦长为d，则下列直线中被椭圆E所截弦长不是d的直线是（

）A

kx+y+1=0

Bkx-y-1=0

Ckx+y-1=0

Dkx+y=0参考答案：D4.已知函数的最小正周期为，则等于（

）A．

B．

C．

D．参考答案：A考点：正弦型函数的性质．5.如图所示，两半径相等的圆A，圆B相交，CD为它们的公切线段，且两块阴影部分的面积相等，在线段AB上任取一点M，则M在线段EF上的概率为（

）A. B. C. D.参考答案：C【分析】根据题意先求出矩形ABCD的面积，从而求出AB,EF即可【详解】设圆的半径为。由题意可得所以，所以【点睛】本题主要考查了长度型的几何概型，利用面积分割求面积及线段长是解题的关键.属于难题.6.一个物体的运动方程为其中的单位是米，的单位是秒，那么物体在秒末的瞬时速度是（

）A．5米/秒

B．米/秒

C．7米/秒

D．米/秒参考答案：A7.已知点F1，F2分别是椭圆C1和双曲线C2的公共焦点，，分别是C1和C2的离心率，点P为C1和C2的一个公共点，且，若，则的取值范围是（

）A. B. C. D.参考答案：D【分析】根据椭圆和双曲线的定义，结合余弦定理列式，然后利用，求得的取值范围.【详解】设,不妨设在第一象限.根据椭圆和双曲线的定义有，故，.在三角形中，由余弦定理得，即①.由于，即，故，由①得，即，解得【点睛】本小题主要考查椭圆和双曲线的定义，考查余弦定理，考查椭圆和双曲线离心率，综合性较强，属于难题.8.已知△ABC的内角A，B，C所对应的边分别为a，b，c，且面积为6，周长为12，cosB=，则边b为（）A．3 B．4 C．4 D．4参考答案：C【考点】三角函数的周期性及其求法．【分析】由条件利用同角三角函数的基本关系求得sinB的值、根据三角形面积为6求得ac=15，结合周长为a+b+c=12，再利用余弦定理求得b的值．【解答】解：△ABC中，∵cosB=，∴sinB==，∵△ABC的面积为ac?sinB=6，∴ac=15．∵△ABC的周长为12=（a+c）+b，∴a+c=12﹣b．又∵b2=a2+c2﹣2ac?cosB=（a+c）2﹣2ac﹣2ac?cosB=（12﹣b）2﹣30﹣30×，∴b=4，故选：C．9.一个直棱柱被一个平面截去一部分后所剩几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为(

) A．9 B．10 C．11 D．参考答案：C考点：由三视图求面积、体积．专题：空间位置关系与距离．分析：由已知中的三视图可得：该几何体是一个长宽高分别为2，2，3的直棱柱，截去了一个底面两直角边为1，2，高为3的三棱锥，代入体积公式可得答案．解答： 解：由已知中的三视图可得：该几何体是一个长宽高分别为2，2，3的直棱柱，截去了一个底面两直角边为1，2，高为3的三棱锥，故V=2×2×3﹣××1×2×3=11．故选C．点评：本题考查的知识点是几何体的三视图，棱柱和棱锥的体积，其中分析出几何体的形状是解答的关键．10.“”是“”的（A）充分不必要条件（B）必要不充分条件（C）充分必要条件（D）既不充分也不必要条件参考答案：B二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.定义在R上的函数是增函数，则满足的的取值范围是

.参考答案：略12.定义运算，若复数，，则

。参考答案：-413.已知，则二项式的展开式中的系数为

参考答案：40【知识点】二项式定理J3解析：因为=2，，令－r=-2，得r=2，所以的系数为.【思路点拨】一般遇到求展开式中某项或某项的系数问题时，通常利用展开式的通项公式进行解答.14.已知圆（为坐标原点），点，现向圆内随机投一点，则点到直线的距离小于的概率为（

）

A、 B、 C、 D、参考答案：C略15.已知角α的顶点在坐原点，始边与x轴的非负半轴重合，终边与单位圆的交点为A，则=

（用数值表示）参考答案：16.执行如图所示的程序框图，若输入a=27，则输出的值b=．参考答案：

【考点】程序框图．【分析】根据已知中的程序框图可得，该程序的功能是计算并输出变量b的值，模拟程序的运行过程，可得答案．【解答】解：当a=27时，执行循环体b=9，不满足退出循环的条件，故a=9；当a=9时，执行循环体b=3，不满足退出循环的条件，故a=3；当a=3时，执行循环体b=1，不满足退出循环的条件，故a=1；当a=1时，执行循环体b=，满足退出循环的条件，故输出的b值为，故答案为：17.若幂函数的图象过点，则该幂函数的解析式为

参考答案：

三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.（本小题满分12分）设是锐角三角形，三个内角，，所对的边分别记为，，，并且.（Ⅰ）求角的值；（Ⅱ）若，，求，（其中）．参考答案：(Ⅰ)，，．

…………

6分(Ⅱ)，，又，，，，．…………

12分19.（本小题满分13分)已知数列的前n项和为，（Ⅰ）证明：数列是等差数列，并求；（Ⅱ）设，求证：参考答案：证明：（I)由知，当时：，

即，∴，对成立。

…3分又是首项为1，公差为1的等差数列。

∴

……6分

………………8分∴=

……13分略20.已知函数f（x）=x﹣+1+2alnx（a∈R）．（1）若函数f（x）在点（1，f（1）处的切线方程为y=b，求a+b的值；（2）若函数f（x）有两个极值点x1，x2，并且x1＜x2．①求实数a的取值范围；②若A（x1，f（x1）），B（x2，f（x2））两点连线的斜率为k，求证：k﹣1＞a．参考答案：考点：利用导数研究函数的极值；利用导数研究曲线上某点切线方程．专题：导数的综合应用．分析：（1）求函数的导数，利用导数的几何意义建立方程关系即可；（2）求函数的导数，根据函数的导数和极值之间的关系，结合直线的斜率公式求解和证明即可．解答： 解：（1）函数的f（x）的导数f′（x）=1+=，∵函数f（x）在点（1，f（1）处的切线方程为y=b，∴f′（1）=2+2a=0，解得a=﹣1．∵f（1）=1=b，∴a+b=0．（2）①∵函数f（x）有两个极值点x1，x2，并且x1＜x2．∴f′（x）=0有两个不等的正根，即x2+2ax+1=0有两个不等正根，令g（x）=x2+2ax+1，∵g（0）=1，∴，解得a＜﹣1，即实数a的取值范围（﹣∞，﹣1]；②由①知x1x2=1，x1＜1＜x2．x2﹣＞0，故==（1++）﹣1=，令h（x）=2lnx﹣x+，则h′（x）=，∴函数h（x）单调递减，h（x2）＜h（1）=0，∴2lnx2﹣x2+＜0，∴＜1，∵a＜﹣1，∴＞a，即．点评：本题主要考查导数的几何意义以及导数的综合应用，要求熟练掌握函数单调性，最值和导数之间的关系，考查学生的运算和推理能力．21.已知函数时，的值域为，当时，的值域为，依次类推，一般地，当时，的值域为，其中k、m为常数，且（1）若k=1，求数列的通项公式；（2）若m=2，问是否存在常数，使得数列满足若存在，求k的值；若不存在，请说明理由；（3）若，设数列的前n项和分别为Sn，Tn，求参考答案：解：（1）因为所以其值域为

…………2分于是

…………4分

又

…………6分（2）因为所以……8分法一：假设存在常数，使得数列，…………10分得符合。…………12分法二：假设存在常数k＞0，使得数列满足当k=1不符合。……7分当，…………9分则当

…………12分（3）因为所以的值域为

…………13分于是则

…………14分因此是以为公比的等比数列，又则有

…………16分

进而有…………18分22.本小题满分12分）如图，在四棱锥P－ABCD中，PA⊥底面ABCD，∠DAB为直角，AB//CD，AD＝CD＝2AB，E、F分别为PC、CD的中点.(Ⅰ)求证：CD⊥平面BEF；(Ⅱ)设PA＝k·AB，且二面角E－BD－C大于30°，求k的取值范围.

参考答案：解：以AB所在直线为x轴，以AD所在直线为y轴，以AP所在直线为z轴建立空间直角坐标系,设AB=1,则A(0，0，0)，P(0，0，k)，B(1，0，0)，D(0，2，0)，C(2，2,0)，

E(1，1，)，F(1，2，0)，…