2022年河南省周口市第一中学分校高二数学理期末试题含解析

2022年河南省周口市第一中学分校高二数学理期末试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.已知θ∈R，则直线的倾斜角的取值范围是（

）A．

B．

C．

D．参考答案：C2.已知点P（1，﹣），则它的极坐标是（）A．(2，) B．(2，) C．(2，－)D．(2，－)参考答案：C【考点】点的极坐标和直角坐标的互化．【分析】根据点的直角坐标求出ρ，再由2=ρcosθ，﹣=ρsinθ，可得θ，从而求得点P的极坐标．【解答】解：∵点P的直角坐标为，∴ρ==2．再由1=ρcosθ，﹣=ρsinθ，可得，结合所给的选项，可取θ=﹣，即点P的极坐标为（2，），故选C．3.函数的递增区间是（

）

A.

B.

C.

D.参考答案：C4.已知三棱锥S—ABC的所有顶点都在球O的球面上，是边长为1的正三角形，SC为球O的直径，且，则此棱锥的体积为

（

）A．

B．

C．

D．参考答案：A5.已知函数在上的最大值是3，那么等于A．

B．

C．

D．参考答案：C6.直线为参数的倾斜角为(

)A.

B.

C.

D.参考答案：D:7.椭圆与的（

）A．长轴相等

B.离心率相等

C.焦点相同

D.顶点相同参考答案：B8.定积分dx=（）A．π B．π C．π D．π参考答案：D【考点】67：定积分．【分析】令y=则x2+y2=4（y≥0），点（x，y）的轨迹表示半圆，则该积分表示该圆面积的．【解答】解：令y=则x2+y2=4（y≥0），点（x，y）的轨迹表示半圆，dx表示以原点为圆心，2为半径的圆面积的，故dx==π．故选D．9.（5分）过双曲线的左焦点F（﹣c，0）（c＞0）作圆x2+y2=a2的切线，切点为E，延长FE交抛物线y2=4cx于点P．若，则双曲线的离心率为（） A． B． C． D． 参考答案：B10.已知点M在平面ABC内，并且对空间任一点O，则x的值为（）A． B． C． D．0参考答案：A【考点】空间点、线、面的位置．【专题】计算题．【分析】利用四点共面的充要条件：若则x+y+z=1，列出方程求出x．【解答】解：∵又点M在平面ABC内，∴解得x=故选A．【点评】本题考查四点共面的充要条件：P∈平面ABC，若则x+y+z=1，属基础题．二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.设函数的定义域为D，如果对于任意，存在唯一，使（C为常数）成立，则称在D上的均值为C，给出下列四个函数：①②③④则满足在其定义域上均值为2的所有函数是

参考答案：①③略12.圆的过点的切线方程为

.参考答案：13.已知为正实数，且，则的最大值是__________.参考答案：2略14.方程表示焦点在轴上的椭圆，则的取值范围是______

_____

参考答案：15.已知抛物线的焦点和双曲线的一个焦点重合，求抛物线的标准方程.

参考答案：略16.已知椭圆的左、右焦点分别为,若椭圆上存在点P使,则该椭圆的离心率的取值范围为_______________.参考答案：略17.已知数列{an}的前n项和为Sn，a1=1，an=2Sn﹣1（n≥2），则an=．参考答案：【考点】数列递推式．【分析】利用n≥2时，an=Sn﹣Sn﹣1，确定数列{Sn}是以1为首项，3为公比的等比数列，从而可得结论．【解答】解：n≥2时，∵an=2Sn﹣1，∴Sn﹣Sn﹣1=2Sn﹣1，∴Sn=3Sn﹣1，∵a1=1，∴S1=1∴数列{Sn}是以1为首项，3为公比的等比数列∴Sn=3n﹣1，∴n≥2时，an=2Sn﹣1=2?3n﹣2，又a1=1，∴an=故答案为：三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.设P是圆x2+y2=25上的动点，点D是P在x轴上投影，M为线段PD上一点，且．（1）当P在圆上运动时，求点M的轨迹C的方程；（2）过点（3，0）且斜率为的直线交轨迹C于A，B两点，若点F（﹣3，0），△ABF求的面积．参考答案：【考点】直线与圆的位置关系．【分析】（1）由题意可知：M的坐标为（x，y），P的坐标为（x'，y'），则，解得：，代入x'2+y'2=25，整理得点M的轨迹C的方程；（2）设直线方程，代入椭圆方程，由韦达定理可知：x1+x2=3，x1?x2=﹣8，利用弦长公式求出丨AB丨，求出点F到AB的距离，即可求△ABF的面积．【解答】解：（1）设M的坐标为（x，y），P的坐标为（x'，y'），由，解得：，∵P在圆上，∴x'2+y'2=25，即x2+（y）2=25，整理得．（2）直线，代入C的方程，整理得：x2﹣3x﹣8=0∴由韦达定理可知：x1+x2=3，x1?x2=﹣8，∴线段AB的长度为，点F到AB的距离为，故．19.(本题满分9分)如图，已知平行四边形所在平面外的一点，分别是的中点.（Ⅰ）求证：；（Ⅱ）若4，，求异面直线,所成角的大小.

参考答案：（1）点连，为的中点，得.为的中点.得.为平行四边形.，（2）连并取其中点，连，。由题意知，，即异面直线的夹角为20.已知{an}是公差不为零的等差数列，a1=1且a1，a3，a9，成等比数列．（1）求数列{an}的通项公式；（2）求数列的前n项和Sn．参考答案：【考点】数列的求和；数列递推式．【分析】（1）设数列{an}的公差为d≠0．由a1=1，且a1，a3，a9成等比数列，可得a32=a1?a9，即（1+2d）2=1×（1+8d），解出d即可得出通项公式．（2）根据等比数列和等差数列的前n项和公式，分组求和即可．【解答】解：（1）：设数列{an}的公差为d≠0．∵a1=1，且a1，a3，a9成等比数列，∴a32=a1?a9，即（1+2d）2=1×（1+8d），∴4d2=8d，∵d≠0，∴d=1．∴an=a1+（n﹣1）=1+n﹣1=n．（Ⅱ）∵+an=2n+n，∴数列的前n项和Sn=+=2n+1﹣2+21.为了解某班学生喜欢数学是否与性别有关，对本班50人进行了问卷调查得到了如下的列联表，已知在全部50人中随机抽取1人抽到喜欢数学的学生的概率为.

喜欢数学不喜欢数学合计男生

5

女生10

合计

50

（1）请将上面的列联表补充完整（不用写计算过程）；（2）能否在犯错误的概率不超过0.005的前提下认为喜欢数学与性别有关？说明你的理由；（3）现从女生中抽取2人进一步调查，设其中喜欢数学的女生人数为，求的分布列与期望.下面的临界表供参考：0.150.100.050.0250.0100.0050.0012.0722.7063.8415.0246.6357.87910.828

（参考公式：，其中）参考答案：（1）列联表见解析；（2）能，理由见解析；（3）分布列见解析，.【分析】（1）由题意可知，全部50人中喜欢数学的学生人数为30，据此可完善列联表；（2）根据列联表中的数据计算出的观测值，结合临界值表可得出结论；（3）由题意可知，随机变量的可能取值有0、1、2，利用超几何分布可得出随机变量的概率分布列，并由此可计算出随机变量的数学期望值.【详解】（1）列联表补充如下：

喜欢数学不喜欢数学合计男生女生合计

（2），在犯错误的概率不超过的前提下，认为喜欢数学与性别有关；（3）喜欢数学的女生人数的可能取值为、、，其概率分别为，，，故随机变量的分布列为：

的期望值为.【点睛】本题考查利用独立性检验解决实际问题，同时也考查了离散型随机变量分布列及其数学期望的计算，涉及超几何分布的应用，考查计算能力，属于中等题.22.在四棱锥P﹣ABCD中，∠ABC=∠ACD=90°，∠BAC=∠CAD=60°，PA⊥平面ABCD，E为PD的中点，PA=2AB=2．（1）求四棱锥P﹣ABCD的体积V；（2）若F为PC的中点，求证PC⊥平面AEF．参考答案：【考点】直线与平面垂直的判定；棱柱、棱锥、棱台的体积．【分析】（1）利用直角三角形的边角关系可得BC，CD．SABCD=，利用V=S四边形ABCD×PA，即可得出．（2）在Rt△ABC，∠BAC=60°，可得AC=2AB，PA=CA，又F为PC的中点，可得AF⊥PC．利用线面垂直的判定与性质定理可得：CD⊥PC．利用三角形的中位线定理可得：EF∥CD．于是EF⊥PC．即可证明PC⊥平面AEF．【解答】（本题满分12分）解：（1）∵在Rt△ABC中，AB=1，∠BAC=60°，∴BC=，AC=2．在Rt△ACD中，AC=2，∠CAD=60°，∴CD=2，AD=4．∴SABCD==．则V=．…．（6分）（2）∵