传动轴的受力分析

传动轴的受力分析传动轴两端在安装后常常发主一定的不对中戢-使轴发生弯曲，也将对轴两輸联轴翻产生支反力.文反力将会便联轴器发生变形；对整个传动系统的稳定性和童全性萨响.从阳需践通过优化it各结崗尺寸來ft应支反力毎小..又由F轴的扭转变瑋要影响机器的性能和工柞精度'扭转轴太大将会隆低轴的餐功HI度威皿能发生粗转提功现線，因此，轴也雷具备较犬的WWJ度，即小.综上所述*以支反力和扭转均为优化片标。41用奇异函数和拉氏蛮换法求传动轴的支辰力与挠度値的关系在各种机橄叩人部分轴鬼附梯轴或轴刃处采用曲线过镀的轴，对这类轴的设ifil算时.刚盛校核不能直接算出来，不易讦算•常常先捲手册上列茁的经验公式算斟当駅謝名燃肩冉以直进仃设讣订曾■此甘法虫计算倚雅・但融茯港一般很人而汁算耕度较高的有限羌分法和有限元法计鼻最大.不易攥作.特别在优化设计吋，数值汁畀法不易尸程序編写，而且效率可能很低*木文利用奇舁隔数和Laplace变SU8SS舎的方法・并将含有过礦曲线的轴蚯似成N阶阶梯轴米讣算.从阶梯轴出发推导出了其弯曲变常的解析我达式牌叫此川去可以対任意支承形式*受力状SL笄种it®®式以攻任童阶梯數的轴进行计算.井H表达式具有规范、统一的形式”可以方便准确地计舜I从而字出轴的任意議面挠度値C弯曲变形）和支反力（峋束力）一舌关察的解折表达式.并易于程序的编写特尤其当对轴址冇tt化R时貝冇软大的T,程实用价值乜根据龙门车at床的实际装配和加工情况，滑枕中传劫轴可能发生两种不对中变■一种是轴两端交差不对中（如图4Q］另一种是轴两端平疔不对中5图斗"代°代°4(…门・F (4.5)代°代°4(…门・F (4.5)用4」发生交叉不对中Fig.4.1Crossmisalignment图4.2发生平行不对屮

Fig4.2Parallelmisalignment4・1.1轴两端交遽不对中时支反力与弯曲变形的关系的解析衷达式(41)tr先阶梯轴挠度订悄采用如卜'近似挠曲线微分方程冲=^L(41)式中勺（蛊）一作用住轴上的等效我他也（x）—轴的弯曲刚度。(4.2)(4.3)由命异丙数的定义和积分规则推出式（42〉和（43）的Laplace变换公式;(4.4)-UJ其中.s为象函数的自变量如图4.3所示阶梯轴.任截血的弯曲刚度的個数用奇异函数衣不为(4.6)(4.6)阶梯轴所受的儿中常用銭荷形式如SU3所心帮效綾荷集度qg丧示为

K .L能）=£ 勺）吃“店_®尸 （47）J=l1^43阶梯轴结枸和轴祈受戎简形式Fig.4.3Steppedshallandshaftsufleredloadingforms将式（4.6）相式（4.7）代入到式（4.1）中可ft}外鵲唇（r尸导Z尸隔鼎-朮卜硼“N<*-切>2+艺4血切（49）根撕式（4.4）和式（4.5）对式（4.8）等号网边1ftLaplace变换得切解出"$）的我达式，再对心）取反Laplace变换，从而得出挠度”（工）农达式，并用矩阵形式衣示用口如畑"丄-£|式中N<*-切>2+艺4血切（49）対上述求得的驾曲变形曲线方程进行阶求导，就町紂转和力程兀0(划。^(x>=y(0)+―-—V"3 >24-VLAUk+—-—y2<x-b{>'+V厶b]k//14.10)• 6%淀7fru 2地卸 "£『此轴在这种情况下属于静定轴，可以由静力平衡方程求hi未知的支反力和支反力偶的关系,因此可利用式(4.9)和式(4.10)计算阶梯轴支反力与弯曲变形(挠度值)之问的关系,方便于优化设计,例如,如图4.4所示忌臂阶梯轴，从最粗轴到最纲轴是采用如式(4.11)的曲线y=f(x)来过渡的，受力尸的作用.坐标原点在轴的托端，左端的支反力巧和支反力偶A/彳姿计入等效找荷集度</(r)中-已知：f4=?=i()n•A/J=/V=10x600=6(X)()Nmm,y(0)=0,”(0)=0,弹性模fi^=1.09x10HPa./w=-9(200“)' 69(200“)、2Lr1.6xJ07 400 2009(t/w=-9(200“)' 69(200“)、2Lr1.6xJ07 400 2009(t-200)、21(400-町15(2-200)

1.6xl07 200 〒 4000SXS200200<x<400(411)100w/»060丿=/(x)lOOww0246QQmnt图44实例轴结构尺寸Fig44Theinstanceaxisstructuresi/c (4.13)将己知条件代入式⑼中得用）=竺八3兀（…丹型巴宀 （一兀）26用）=竺八3兀（…丹型巴宀 （一兀）26矶6心台小丿八八2EIa[台八丿」t（60）4<■32其中•人=人32322^4(xf-lO0)2犷(亏-100)由「•将过渡曲线部分分成N份，计廉述是比絞麻烦，不易笔篦•但是木文所推丫出的介式陽r编程，因此本丈利用vb语言编制求解该會冇过渡曲线的阶梯轴的弯曲变形的程序來进行计算。x=600mm处的挠度为-0.02990mm.为了验证计算纟盒果的准确度，任有限尤分析软件中对轴进行有限元分析.分析结果如B94.5所示。■・O30093 ■・O30093 •・033405 ••OX6a71a7 «.010029 ・•0O38S1♦•026749 -.020061 -.013373 -.006683 .2911-05图4.5有凰元分析结果Fig.4.5FiniteelemencanaKsisresults由有如兀分析得x=600mm处^-0.030093mm,与本文屮计算方法算彳生1、果只相^0.000193mm.左明木文中所用方法订畀结果准确度比较那4.1.2柚两端平行不对中时支反力与弯曲变形的关系的解析表达式Fig.4,6Originalmodel!<>rccdiagram

Fig.4,6Originalmodel!<>rccdiagramI?l4.7考虔成超静定轴立力悅生Fig47Consideredtobeingslaticallxindclcnnmatcaxisforcemodell4i「•技丿京模型无法求解支反力的人小，将传动轴由图4.6转化成图4.7的趙諦足输中间加一个两倍支反力的力便轴发牛•-样的变形，卜面是求尢以力与弯曲变形（挠浚值）的关系计算.根期材料力学，利有奇丹曲数和正反拉氏交换来计畀所用奇异甌数同为式（4.2）和（4.3）.利用奇异曲数将下图4.8卩阶梯轴的所沁世方程“⑴、剪力方程Q⑴和任意戴血抗弯刚度需表示出为图4.8阶悌•轴结构和轴所受坡荷形武Fig4.8Steppedshaftandshaftsuflcrcdloadingforms(4.12)A/(r)=Pi< >[ <x-bt>u(4.12)/>1

(414)(415)(414)(415)讯I述四式U12)5(4.15)代入川「描述轴弯曲变形的欧拉一伯努利方和416)中TOC\o"1-5"\h\z”3=覩 ⑷6)A/(x)然后用止反拉氏变换可以求得阶梯轴挠曲线方秤vtx)=>•(())♦ycopr4-!-^<r-<J7>3+^A4,件*拾£vxf’i■工利,，、”(417)叫凤 1=1 如0匕让 日」式中v(o)>y(o)分别为“0截面处的捉度和转角;夕V 3 、 2 ■<X-X,>丿+3(巧-nJvK-Xj>af<rf划寸“」八:枷<x-x,>2bt<xt对上式(4.17〉求--阶导数即可得转角的方程1K "・] ]厶「 N「(#(x>=y<»)+-—X2<x-a,>2^64；Pj七話迟2v—如「+》人代W/(4.18)

"S川 f=l2A，0Ml /«!婪想庞能够利用式(4.17)和式(4.18)计笄疔曲变形(挠度值)与支反力的关系.作用在轴的匕载荷和支反力、力偶和支反力偶必须是己知的，需要先将支反力和支反力偶(或与其他力的关系式)求出。对丁佈定轴直苕，支反力可用购力学平衡方程求得：但起刈超静定轴.则必须由支廉处的变形协诡条件來求解.支反力和丈反力假的蚀定:鮒49轴所曼巢屮力和集屮力個不意图Fig.4.9AxissufferedconcentratedlorccandConcentratedcoupleillustration结合本文中传动轴所受力情况，乂加上为了使方法具冇通用性，给田如图4.9所示的受力情况图.图4.9中和Frfiiil算式中的各符号息义为：主动力个数；氐一支反力个数；集中力总数.K=K\+K“入一主动力偶个数；儿一支反力偶个数：/,—集中力偶总数.L=L}+L2:Lj—轴的总长度；«为冷集屮力相对坐标麻点的血融令:貞“)=-址]*勺宀1>4益°;=iL i=i」x/=iLNV—§>2+工石血斶〔4.19)zM(x)-I\<x■勺>lM/<r-6/>°貞“)=-址]*勺宀1>4益°;=iL i=i」x/=iLNV—§>2+工石血斶〔4.19)zM(x)-I\<x■勺>lM/<r-6/>°/=i(4.20)(4.21)将上述式(419)、(4.20)和(4.21)代入式(4.17)中可以将其改写成如下形式也跑)=SNU)十乞6皿宇]人E/g)二也・(0卄7y6.丿■A0“一<|3<x-df>2 厶4.L 、-壬r-耳于十〉"人坊/Mj-附)<4.22)2心iL 皿(4.23)以轴右端截曲的边界条件:M(3=OQ(Lj^o将式(4.24)代入式(4.22)和(423)中.整理懲臼個0)+弘)”(0心严f+ If. Jb:宀>'^^4//；+t》"口”一bl>24工力出“Mr初)b/=K]41L m fTL m.砒(O)+丄工3s6MH・-Vaj"工石血+T£<aKx^r弋、厅入⑷=：■如严)M」勺如让 Mr. /.v<Lj-af>*Pt+工yMQ/)/«£]+1 +1A)*-1(4.24)(425)工一幻>0片=如)/=心+1心2….K2根抵式(4.25)按己知条杵列出代数方用组，求卿这个线性代数力円纽就X以求出支反力(约束丿J)纬严和支反力制(约束力偶)也严(约束力偶经讣算后用支反力表示人其中(尸T2…・后九然后把支反力和支反力佻代入式(4.17)中就可以得创任点截血的挠度侑（传动轴两雋的爪对中屋）和支反力Z间的关系虑，进而可以讨论二〔的关系，对传动轴的结构尺寸进行优化，使其支反力最小.下一帝将以一实例进行计算验旺式子的准确性.例如.如TB4.10所示.传动轴的所有参数尺寸郁已知,为了验证上述计算方法的正确性,光假汝不対中量为0.5mm,按本文中的计算方法计算出支反力,再将求出氏的支反力当作已知作用力代入廉模空中进行有限元分析•看变形诡9假设不対斌是否一样。图410实例轴结构尺寸Fig.4.10Instanceaxisstnicturcsi/x:白于将过:渡曲线部分分成N份，讣算还是比较麻烦，不易笔算，但是本文所推导円的公式易F•编程，因此本文利用VB讷苕编埒求解该含冇过渡由线的阶梯轴啲弯胸变农的程序來进行计算“运行结果支反力为:I6O.296N.将求出的支反力代入原模型中进行仃限元分析，左端全约束，右端除Y方向，其他方向都约東,在Y方向加力・160296N°运行结果如阳4」1所示.11079*7 ・221594 .33Z391 .443188.0553M •166106 ・276»M ・ .4WM7S4.ll荷限元分析结果Fig.411Finiteelementanalysisresults从图屮可右到加上160.296N的力航疔曲变形量为O.498587mm,与假址的不对中屋0.5mm相0.28%,表明上述计算方法正确.

上章C将支反力打弯曲变形(挠度值)关系和总田转佝哎民达示求岀。本章结合实IS臬型号龙门铳床，來対H滑忱中传动轴的结构辺彳J矢■,优化数学検型的计算和程序编写。图5」传动轴的参数化结构图Ftg.5.1Parametricslruclurcdiagramofthedrixeshaft5.1两种不对中的优化数学模型建立5.1.1交叉不对中时优化设计数学模型的建立按第四章中的交叉不对中时支反力与弯曲变形的关系计算方法式(4.17),由实弘情况冇：y(0)=0.y(0)=0o并取处挠度值与支反力的关系•因此可得(51)(51)式中工石4产2?0&-产［（—兀卩+3的-订］：/-II〃/f">丿敖寿。卜右卜订.V敖寿。卜右卜订.VN—阶梯轴的总阶数.战而的惯性矩/足由过液曲线决锐的.而过渡曲线足关丁卩和。2的函数，所以支反力与嚴大挠度值W）的关系随山和n2变化而变化.对于抓转角由式（4.26）求得总抑转角弘5=5.亦1(卢丄工2GJI°口5极惯件建/尸也是由过渡曲线决定的.所以总抑转加也是人和几变化而变化“因业•优化设计数学模型如F冃标函数为;minFa=minFa=F=y(L)6A70min一丙厂十弓也L\Nt[0=5・73xl(f二£亠°i-ilr(5.2)约束条件:0SLjS—厶约束条件:I）</）2</>|其中•/）由第三帝中強度条件和別度条件确定的最小fl径.5.1.2平行不对中时优化设计数学模型的建立按第啊章中的支反力与弯曲变形的关系计笄方法式（4.25）・由实际情况得:0\^L> tf2a0w03=2£x i)2^2L\ K\^\\K?工2、£.1*0% Lj^1L\y（o）=<）.y（o）=oF因此有

£/o>K0>+£/oy(0)fl5+T》<“3-竹>‘+£^4/K/+yX<码一b]>2+艺入切Mf=：(“3〉TOC\o"1-5"\h\z0/-2L <-1 」z/-iL /-1 .□oH(u)+I3 N1 .2r N7E35Lj八DAP广理+送入町忆"(円)(5.5)/■2L 1-1 」L/-IL Z3 2<Lj_©；>】匕+》v£j一5>°M(=zA/(Zj)二-P\<Lj_Q]>'严2 f-i32<ZV7丿>°PJYgj尸-八<fji>°/•2将已知条件代入，求解线性方程组（53）得A7|=—A/2=△二"二-九A7|=—A/2=△二"二-九式中式中X/。»［（2-汀+3（兀"2一川-I＜人也丿fNf241人1・】丿N/・1二£/（j+-九*乙-西）*+3冯（2乙-為尸］：“1=£/订=弓丿（）+一+ :N—阶梯轴的总阶数°将求出的支反力和支反力偶代入式（5」》中•井求“乙处挠度（挠度值用大处》峪支反力的关系徉

L_g>2*》4L_g>2*》4色1J=l1/3 \ I/?占(八也)-找+12也o 2EJ0因此.支反力(5.4)4A/0巴=严=・讹）/(5.4)4A/0巴=严=・讹）/N—阶梯轴的总阶数“截而的惯性矩/是由过渡曲线决圧的，而过渡曲线是关「丄和心的函数，所以丈反力号最大挠度值的关系随D和必变化而变化。对于扭转角由式（4.26）求得总扭转角为：厂,.73x10土极惯性矩❻也是由过渡曲线决定的，所以总扭转用也是-和-变化而变化.因此.优化设讣数学模刊如下；目标臥数为:设计变虽为："和型约東条件：”“八牛妇其屮，D是由第三章中強度条件和刚度条件确定曲昴小直彳包5.2评价函数的确定由丁•木文处理过渡曲线部分时，足把过渡处分成N份，近似成阶梯轴來进行计算，分的份数雄多，越粘确。囚此，il算虽比较人，不易丁弘但是ill于及达式规范,易于编程，所以叮以采用阳$编得來进行优化计舁的埃现。MicrosoftVisualBasic 是对不论初学者•还是专业开发人员来说，郝比较轻松方便地开发血用程序，并H.其是在Windows操作平台卜•应用程序设计的晟迅速、5W便的匸罠之一1呦・VB只需把需要的控件施放列屏幕卜•的相应位胃即町设:计方便用户操作的图形界面，非常便于数据的输入与结果读取。所以选用VB为程序开发一匸具來进行优化程序編勇与计算实现.根据已算岀的支反力和总扭转角的计算液达式，用VB对两种不对i|啪况卜-支反力和总扭转金逬行•编凰计算，输出支反力和总扭杖角更过渡区KL2和血径D2的变化的所仃数据点，这些点足离敢的数据点，本文刊用EXCEL分別価出网种不对屮情况下的支反力和总扭转角随右过渡区KL2和立径D2变化的曲线图，操作简单，并表达削观，易于比较分析.曲线图如图5.2至5.5所示。-♦-52-♦-52-*-52-•-54总规转用0-*-5860——帅(52)—删（54）—躺方6）800：0001200—畑5创——沁-*-52-•-54总规转用0-*-5860——帅(52)—删（54）—躺方6）800：0001200—畑5创——沁（50）图5.2交叉不对中时总扭转角陆过渡区KL申:亢径吐的变化曲线Fig.5.2TotaltorsionanglecuncwiththetransitionlengthL；anddiameterD：wheninthecross

misalignment支反力54S658—钱性（52）200 400 6001000—變住(54) 攔1(56) 1200—找性(60)图53交叉不对中时支反力随过渡区kg和n径6的变化曲线Fig5.3ReactionforcescunewiththetransitionlengthL；anddiamelerD：wheninthecross

misalignment^•*-58—60 线性（521—^tt（54| 线性（56i—刪（581—她（60）总热誠角■•-30 [ [II:;I l—llv—I，「■•-30 [ [II:;I l—llv—I，「；iI；1II125支反力40010001200过讥仪L圍5.4卩行不对中対忌扭转角陆过渡区长1<和立径D•的变化曲红Fig5.4ReactionforcescurvewiththetransitionlengthL：anddiameterD：whenintheparallel

misalignment-•-54■・56—58-*—60 址性（521 线性（5®——彌（56>——«!tt（5B）——如（60（过渡区长测55平行不对屮时支反力胡过波区ML申加令DM变化曲纯Fig.5$IotaltorsionanglecurveuithlhetransitionlengthL?anddiameterD，wheninthepanlicl

misalignment从图52至5.5中可以看到.交叉不对中支反力远小「Tfj怀对中时产生的支反力，总扭转角样，所以只要采用对半行金对中对传动轴进行优化计算就可以保证两种不对中惜况卜艾反力都较小.支反力随过渡IX长％和宜径0的增加而増加,而总扭转角随过渡区S和口径”2的增加而减小・因此，支反力和总扭转角是成反比键关系“我们的口标处使二冷郁达到足小仏从图不可能二占同时取到巌小值的，因此,曳求我们找到i个评价旳数，便二者都尽町能靠近自己的鹹优化伯点.所以，本文采用第二卓卞所述的理想点法.并结果本文的只•体怙况.确定评价函数为(5.6)/(X)■()'(/»»；"+Z«mx)(5.6)Q-5(Zmm♦Zmw)&3最终优化程序的建立综1:所述，已将传动