2021高考：【数学05】高考数学三角函数典型例题

三角函数典型例题

1.设锐角AA3c的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,a=2Z?sinA.

(I)求5的大小；

(II)求cosA+sinC的取值范畴.

【试题解答】：(I)由a=2Z;sinA,根据正弦定理得sinA=2sin6sinA,所以sin8=',

2

IT

由A4BC为锐角三角形得B=—.

6

(II)cosA+sinC=cosA+sin(兀一聿一/1)

=cosA+sin—+A\

(6J

.1人6.人

=cosA+—cosA+——sinA

22

=V3sinful+y\

2.在A48C中，角A.B.C的对边分别为a、b、c,且满足(2a-c)cosB=bcosC.

(I)求角B的大小；

(II)设m=(si〃A,cos2A),〃=(4左,1)(%>1),且机•〃的最大值是5,求人的值.

【试题解答】：⑴•.,(24-c)cos8=bcosC,

(2sinA-sinC)cosB=sinBcosC.

即2siri/4cosB=sinBcosC+sinCcosB

=sin(B+Q

VA+B+C=7C,/.2sinAcosB=sinA.

V0<A<7i,AsirkA^O.

1

/.cosB=—.

2

兀

3

(II)m•n=4feinA+cos2A.

)27

=・2sin2A+4fc;inA+1,A£(0,)

设sinA=Z,则f£(0,1].

则m-n=-2/2+4Z：r+l=-2(/-A:)2+l+2Ar,g(0,1].

・・,—Ul时,―取最大值.

3

依题意得，-2+4左+1=5,.•.七一.

2

3.在A43C中，角A,B,C所对的边分别为a,b,c,sin22+sinC=拒.

22

I.试判断△ABC的形状;

II.若仆ABC的周长为16,求面积的最大值.

【试题解答】：Lsin—~—+sin—=cos—+sin—=V2sin(—+—)

222224

C7T7TTC

，上+二=工即c=工，所以此三角形为直角三角形.

2422

II.16=a+b+飞a2+〃>2^[cih+yjiah,W64(2-行产当且仅当。=。时取等号,

此时面积的最大值为32(6-4V2).

3

4.在AABC中，b、c分别为角A.B.C的对边，C=2A,cosA=-,

4

(1)求cosC,cosB的值;

―►―►27

(2)若"4・3C=—,求边AC的长。

2

91

【试题解答】：(1)cosC—cos2A—2cos*^7A—1=2x-----1——

168

由cosC=-,WsinC=由cosA=—,WsinA=-

8844

V73V7319

cos8=-cos(A+C)=sinAsinC-cosAcosC-----x--------------x一

484816

⑵BA-BC=——accosB=—ac=24①

22

ac3

又-----=-----,C=2A,/.c=2acosA=—a②

sinAsinC2

由①②解得a=4,c=6

,■1/,2=a2+c2-2«ccosB=16+36-48x—=25

16

：.b=5,即AC边的长为5.

5.已知在AABC中，A>B,且tanA与tan8是方程/一5x+6=0的两个根.

(I)求tan(A+8)的值;

(II)若AB=5,求BC的长.

【试题解答】：（1）由所给前提，方程/-5尤+6=0的两根tanA=3,tanB=2.

/4c、tanA+tan82+3」

/.tan(A+8)=-----------------=----------=-1

1-tanAtanB1-2x3

(II)VA+5+C=180°,AC=180°-(A+5).

由(I)知，tanC=-tan(A+8)=l,

・・・C为三角形的内角，・・・sinC=^

2

3

,/tanA=3,A为三角形的内角，sinA=-，=,

,,ABBC

由正弦定理得：-----=-----

sinCsinA

BC=3^x3==3旧.

V2V10

T

6.在AA3C中，已知内角A.B.C所对的边分别为a、c,向量沅=(2sin3,-百卜

力=(cos2B,2cos2弓一11,且行//”。

(I)求锐角B的大小；

(II)参加b=2,求△ABC的面积见48c的最大值。

【试题解答】：⑴mlliin2sinB(2cos2^-1)=-小cos2B

=>2sinBcosB=-小cos2B=>tan2B=-审

V0<2B<K,；.2B鸟,锐角B4

(2)由tan2B=-小=>B言或,

①当B言时，已知b=2,由余弦定理，得：

4二片+二〃。》〃。-〃。二a。(当且仅当a=c=2时等号成立)

,•.△ABC的面积S^ABCKacsinB=^-ac<^[3

•・.△ABC的面积最大值为小

②当B年时，已知b=2,由余弦定理，得：

4=a2+c2-^\[3ac>2ac+y/3ac=(2-^\f3)ac(当且仅当a=c=&-y[2时等号成立)

Aac<4(2-V3)

:△ABC的面积S4A8C=}acsinB=^ac<2-y[3

.'.△ABC的面积最大值为2-小

7.在AA8C中，角A.B.C所对的边分别为a,b,c,且/+c2—b2=^-ac.

2

AA-C

(1)求sin?-----+cos28的值；

2

(2)若b=2,求△ABC面积的最大值.

【试题解答】：(1)由余弦定理:阴8=十

.A+C加1

sin2"-----+cos2B=----

24

(2)由cosB——,得sin8=---.***/?=2,

44

/+ac+4>2ac,得,5AABC=^acsEBSaS(a=c时取等号)

故A8C的最大值为

TT

sin(一+。)

8.已知tana=。,(。>1),求----------tan2。的值。

sin((一。)

【试题解答】;

\-a

sin(5^-tz)-•cos(万+a)

9.已知，(。)=

•tan(a-37)

(I)化简/(a)

=1,求/(a)的值。

(II)若a是第三象限角，且cos

【试题解答】

M：(I)〃a)=sinasin”c°s丝=cosa,

cosa(-sina)tana

(II)cos(y-a)=-sina=g,

2/7

乂a为第三象限角，，cosa——--»

“所-半

10.已知函数f(x)=sin2x+V3sinxcosx+2cos2x,x£R.

(1)求函数f(x)的最小正周期和单调增区间；

(2)函数f(x)的图象可以由函数y=sin2x(x£R)的图象经由如何的变换得至U?

【试题解答】：(1)/(X)=1-c；s2x+*sin2x+(1+cos2龙)

二—sin2x4—cos2xH—

222

=sin(2x+-)+5.

・・・/(x)的最小正周期7=彳=况

TTTCJTTCTT

由题意得2k7i—±£2x+七£2k7i+±,kGZ,即k7v--<x<k7v+-,kGZ.

26236

7T4

.•./(X)的单调增区间为k7T--,k7r+-,keZ.

(2)先把y=sin2x图象上所有点向左平移三7T个单位长度,

JI3

得到丁=5皿(2%+。)的图象，再把所得图象上所有的点向上平移巳个单位长度,

62

JI3

就得到丁=5泊(2%+上)+3的图象.

62

系,一||,否=(simncos7?Vi),f(x)=a-ho

11.已知a

44

(I)求/(x)的单调递减区间。

(2)若函数y=g(x)与y=/(x)关于直线x=l对称，求当xe[0,-|时，y=g(幻的最大值。

.、」、ax4.z*、V3.71X37cxrr..7VX7T

【试题解72A答】：(1)f(zx)=—sin--------cos—i=J3sin(---------)

242443

.•.当》—(e［胃+2^,y+2k7T］时，f(x)单调递减

解得:XGq10+8左2号2+8月时,/(X)单调递减。

(2)•.•函数y=g(x)与y=/(x)关于直线x=l对称

・，・g(%)=/(2-x)=V3sin——

rr.7171X71

73sin----------

(m7t

/•cos---1—

I43

Jo

・・・x=0时，^max(x)=—

12.已知cosa=-2sina,求下列各式的值;

2sina-cosa

(1)

sin.+3cos.

(2)sin2a+2sinacosa

【试题解答】：Qcosa=-2sina,「.tana=

2

2sina-cosa2tana-14

0)-sina3cos.

+tan«4-35

.3.sin2a+2sinacosa

(2)sin2a+2smacosa=------------；----

sin-6Z4-cos-a

3

5

13.设向量a=(sinx,cosx),8=(cosx,cosx),xeR,函数/(x)=a-(a+b)

⑴求函数F(x)的最大值与最小正周期;

3

(II)求使不等式/(x)N5成立的x的取值集合。

【试题解答】

T—•—•T..—*—

解：⑴/(x)=a-(a+A)=^-(7+o-6=8inzx+cos2x+sinxcosx+co52x

=I+^sin2x+^(cos2r+D=-^~sin(2x+-)

22224

.../(x)的最大值为|+孝，最小正周期是李二方.

〃x)”osm(2x+。Josin(2x+-)^0

(2〉由(1)如222424

。2lc^<2x+七£2k冗+北Ok*—巴£x4k兀+-.keZ

488

即/a层成立的x的取值集合是卜|丘-黄*9+竺丘z]

2188J

-J2一一一jr

14.已知向量加=(cosa----,-l),〃=(sina,l),团与〃为共线向量，且“£[一不,0]

32

(I)求sina+cosa的值;

r、_u.sin2a,,/士

(II)求------------的值.。

sina-cosa

-*—7/

【试题解答】：(1),加与〃为共线向量，(cosa———)x1-(-l)xsinor=0,

V2

即sina+cosaV

27

(II)1+sin2a=(sina+cosa)2=一,/.sin2cr=——

v(sina+cosa)2+(sina-cosa)2=2,

(sina—cos=2一百尸=与

又•.•&€[——,0],sina—cosa<0,sina-cosa=——

23

sin2a_7

是以,

sine—cosa12

15.如图，A,B,CD都在同一个与水平面垂直的平面内，B,D为两岛上

的两座灯塔的塔顶。测量船于水面A处测得B点和D点的仰角分别

为75°,30°,于水面C处测得B点和D点的仰角均为60°,AC=0.

1km。试探讨图中B,D间间隔与另外哪两点间隔相等，然后求B,D的

间隔(计算成果精确到0.01km,、历al.414,V6«2.449)

【试题解答】：在A4CD中，ND4c=30。，ZADC=60°-ZDAC=30°,

所以CD=AC=0.1

又ZBCD=180o-60o-60o=60°,

故CB是八。1。底边AD的中垂线，所以BD=BA

ABAC

在AABC中,

sinZBCAsinZABC

ACsin60。3V2+V6

即AB=

sinl5°20

是以‘皿=为崇L°.33H

故B.D的间隔约为0.33km。

TT

16.已知函数/(x)=Asin(3x+0),xeR(其中A>O,0>O,O<*<5)的图象与x轴的交点中，相邻

n27r

两个交点之间的间隔为且图象上一个最低点为A/(—,-2).

23

(I)求/⑶的解析式;(H)当xe或，自，求/(X)的值域.

977

【试题解答】：⑴由最低点为“(7,—2)得A=2.

77TTT242yr

由X轴上相邻的两个交点之间的间隔为巴得一=工，即7=»，«=—=—=2

222Tn

27r27r47r

由点M(g,—2)在图像上的2sin(2xg+9)=—2,即sin(学+夕)=—1

山4万“71】)〜11万

故----(p=2k兀------,Z£Z:.(p=2k7i--------

32+6

又9e(0,9,:.(p=%故f(x)=2sin(2x+令

r乃乃rA717C

(2)•：xG2x+--er

122636

TTTT77JI/TT

当2x+J=X，即x=J时，/(x)取得最大值2;当2x+J=?

62666

TT

即X=,时，/(X)取得最小值一1,故/(X)的值域为[-1,2]

17.如图，为领会某海域海底组织，在海平面内一条直线上的A,B,C三点进行测量，已知AB=50加,

BC=120tn,于A处测得水深A£>=80加，于B处测得水深BE=200m,于C处测得水深

CF=110m,求ZDEF的余弦值。

【试题解答】：作。A/〃AC交BE于N,交CF于M.

DF=y^MF'+DM2=A/302+1702=107198,

DE=yjDN2+EN2=V502+1202=130,

EF=yl(BE-FC)2+BC2=7902+1202=150

在ADEE中，由余弦定理,

2EF=DE〜EF二DF?=—+15。？-*298=竺

2DExEF2x130x15065

18.已知sin8+cos。=」，0G(—,^),

52

求(1)sinC-cos。(2)sin3cos30(3)sin4+cos4

7QI337

【试题解答】：(1)sin0-cos0=-(2)sin30-cos30---(3)sin4。+cos'6=---

5125625

19.已知函数y=Asin（G%+0）（A>0,69>0,\（p\<7T）的一段图

象如图所示，

（1）求函数的解析式；

（2）求这个函数的单调递增区间。

,4一2士2)

3万=。上=2；

【试题解答】：（1）由图象可知:T=2一冗一——乙

8T2

，y=2sin(2x+0),又•:-工,2为“五点画法”中的第二点

8）

TT37r/

，2x+:所求函数解析式为：-sin2x+37r

(2)・・,当2K祚(g+2加畀2T(丘Z)时，/(%)单调递增

1+左乃,一/+人江)(kGZ)

2XG|--+--+2kyr=>XG

I44

A-B

20.已知A43C的内角A.B.C所对边分别为。、b、c,设向量相=(1-cos(A+8),cos),

2

5A59

一

一

-一

Z

\且

加

〃-cos!-

^7-

82rt8

(I)求tanATan3的值;

qabsinC,,日,/士

(zHTT)求二--------的取大值•

a2^b2-c2

-----95oA-B9

【试题解答】(I)由加•〃=—,得一[1-COS(A+8)]+COS2

8828

l+cos(A-B)9

即-[l-cos(A+B)]+

828

也即4cos(A-8)=5cos(A+8)

/.4cosAcos6+4sinAsinB=5cosAcosB-5sinAsinB

/.9sinAsinB=cosAcosB/.tanAtanB=—

9

21.已知函数/(x)=(l—tanx)[l+J，sin(2x+C)],求:

4

(1)函数/(x)的定义域和值域；(2)写出函数/(x)的单调递增区间。

(cinr

【试题解答】"(x)=1--------1+V2sin2JCCOS—+V2cos2xsin一

ICOSX44

1-^^-(2sinxcosx+2cos2x)=2(cosx-sinx)(cosx+sinx)

cosx)

=2(cos2x-sin2x)=2cos2x

(I)函数的定义域X.V|xGR、x丰k7i+eZ

2xw2k7T+乃,A£Z/.2cos2xw-2,

函数/(x)的值域为(-2,2]

jr

(II)令2br-万<2x〈2br,(左eZ)得krc—-<x<k7t(keZ)

2

...函数/(x)的单调递增区间是k7r~~,k7r(keZ)

2

22.如图为一个观览车示意图.该观览车圆半径为4.8m,圆上最低点与地

面间隔为0.8m,60秒转动--圈.途中Q4与地面垂直.觉得04始边,

逆时针转动。角到。3.设3点与地面间隔为/?.

(1)求与6的函数解析式；

(2)设从。4最先转动，经由80秒到达。3,求力.

【试题解答】：(1)Vh=0.8+OA+BC=0.8+4.8+OBsina=5.6+4.8sin(0-90°),

=5.6—4.8cos6(，N0)

2JI_71八冗

(2)・・・0=—t.•.6=2x80=3,.•.〃=5.6—4.8cosm=8(m)

60-30303033

23.设函数/(x)=a-b,其中向量a=(2cosx,l),b=(cosx,73sin2x+zn).

(1)求函数/(x)的最小正周期和在[0,加上的单调递增区间;

JT

(2)当xe[0,—]时,-4</(*)<4恒成立，求实数形的取值范畴。

6

【试题解答】：(1)v/(x)=2cos2x+V3sin2x+m=2sin(2x+—)+m+l,

.,・函数f(x)的最小正周期T=—=...............4分

在[0,扪上单调递增区间为0,刍,[=7]................6分

rrrr

(2)当Xe[0,-Mv/(x)递增,当X="时,/(X)max=m+3,

66

当X=0时,/(可山=旭+2,................8分

,口工5乙(m+3<4,八

由题设知4................10分

m+2>-4,

解之，得—6〈加<1.................12分

71-5/3COS2x,XG71兀

24.已知函数f(x)=2sin2—+X一,一

42

(1)求/(幻的最大值和最小值;

7T7T

(2)|/(x)-对＜2在xe上恒成立，求实数加的取值范畴.

【试题解答】(I)•••/(x)=1-cos[/+2xj-V3cos2x=1+sin2x-V3cos2x

-l+2sin(2x-g].

又・・・尤£「2E,2E~|—

142」633

即2Wl+2sin(2x—微了3,

•••/(0皿=3,〃X)mm=2.

(II)V|/(x)-m|<2<^>/(x)-2<m</(x)+2,xe,

m

•*->/(X)m,x-2且加<f(x)min+2,

/.l<m<4,即加的取值范畴是(1,4).

25.在锐角△ABC中，角A.B.C的对边分别为a、b、c,已知(/+c?-/)tanA=限

(I)求角A;

(II)若a=2,求&ABC面积S的最大值。

【试题解答】：(1)由已知得匕*W•"A=3=sinA走

2bccosA22

又在锐角△ABC中，所以A=60。,［不说明是锐角△ABC中，扣1分］

,,1

(II)因为a=2,A=60°所以/r+c?=bc+4,S=—OcsinA

244

而人？+c2>2bc=>be+4>2bc=>be<4

▽cL-AV3,V3.仄

又S=—Z?csinA=——be<——x4=43

244

所以△ABC面积S的最大值等于6

26.甲船由A岛出发向北偏东45。的方向作匀速直线航行，速度为

15亚浬/小时，在甲船从A岛出发的同时，乙船从A岛正南

40浬处的B岛出发，朝北偏东。(6=〃cfgg)的方向作匀速直

线航行，速度为106浬/小时.(如图所示)东

(I)求出发后3小时两船相距几浬？

(II)求两船出发后多长时间相距近来？近来间隔为儿浬？

【试题解答】：以A为原点,BA所在直线为y轴创立如图所示的平面直角坐标系.

设在t时候甲、乙两船分别在P(xi,y,)Q(x2,y2).

x,=15V2rcos450=15?

则2分

必—Xj—1

由。=arctgg可得,cos。=~~,sin，=g,

匕=10V5/sin6>=10/

力=10^cos6-40=20f-40......5分

(I)令r=3,P、Q两点的坐标分别为(45,45),(30,20)

IPQ\=1(45-30)2+(45-20)2=7850=5734.

即两船出发后3小不时，相距5后锂

(II)由⑴的解法过程易知：

IPQ\=近2-王尸+(为=>/(10f-15r)2+(20r-40-15z)2……1诩

=A/50?2-400/+1600=j50Q-4)2+800>2072

:.当且仅当t=4时,|PQ|的最小值为20V2

即两船出发4小不时，相距20痣海里为两船近来间隔.

27.在锐角AA3C中，已知内角A.B.C所对的边分别为a、b、c,且招"(tanA-tanB)=l+tanA-tan

B.

(1)若/—求A.B.C的大小；

(2)已知向量i?i=(sinA,cosA),n=(cosB,sinB),求I3m—2iiI的取值范畴.

【试题解答】

解：•・•-tanB)=1+tan4・tanB,又为锐角三角形，

,-1+tan/1-tanB-3-H)-3-

V°<A<^,0<B<-^<A-B<^.

A-B"会.

(1)Va2—ab=c2—b2,

a'+6?-J1.rn

•C08C=-2^b=爹，・・C;丁・

4+B+C=7T

由A-8=看，解得4二答,8二彳.

1C"

J・4=普'5u茅c=-y.

(2)I3m-2nI2=13-l2(sin4cosB+cosXsin^)

=13-12sin(A+B)

=13-12sin(2B+y).

・・・△ABC为锐角三角形"-B=看，

..不<28+不<木,

J.sin(26+卷)e-y»1].

I3m-2“「C[1,7).

I3m-2nI的取值范围是[1JY).

28.如图，某住宅小区的平面图呈扇形4。C.小区的两个出入口设置在

点A及点C处,小区里有两条笔直的小路A£）,DC,且拐弯处的转

角为120".已知某人从。沿C。走到。用了10分钟，从。沿QA走

到A用了6分钟.若此人步行的速度为每分钟50米，求该扇形的半

径。4的长（精确到1米）.

【试题解答】解法一：设该扇形的半径为r米.由题意，得

8=500(米)，D4=300(米)，ZCDO=60°

在ACDO中，82+。。2一2.。。.0。40$60°=0。2,

71

BP5002+(r-300)--2x500x(r-300)x-=r2

4900

解得「=-----«445（米）

11

解法二：毗邻