2021高考“函数与导数”高考解析及2022年备考建议

2021年高考“函数与导数”高考解析及2022年备考建议

目录

一、内容分析..................................................................................1

二、用初等方法研究基本初等函数...............................................................2

三、用导数研究基本初等函数..................................................................12

四、解答题命题分析..........................................................................24

四、解答题命题分析...........................................................错误!未定义书签。

五、教学建议.................................................................................33

1.认识T主线.........................................................................34

2.把握两个“基本”.....................................................................34

3.培养三种能力.........................................................................34

4.渗透四种思想.........................................................................34

2021年高考“函数与导数”高考解析及2022年备考建议

函数是数学教学的核心，贯穿整个高中数学学习过程，是学生进入大学继续学习的基础，起着承上启

下的作用.因此，函数与导数内容一直是高考数学命题的重点，呈现出题量多、分值大、区分度高、选拔性

强的特点.

一、内容分析

2021年全国各地高考数学试卷，依然将函数与导数列为重点考查内容，在命题理念、题项设置、分值

分布方面大同小异；在知识内容、思想方法、素养能力考查方面既保持一定的稳定性，又有变化创新.

2021年高考数学函数与导数试题的命题特点表现为：命题以课程标准为纲，以考查数学学科核心素养

为出发点，试题发端于平常，源于教材，在平凡中见不平凡，既精巧雅致又综合恢弘.

2021年全国卷函数与导数试题考查情况汇总

卷别题型题号分值考查内容

45函数的单调性

全国甲卷（文选择题65对数函数模型的应用

科）125函数的奇偶性；周期性

解答题2012用导数研究含参数函数的单调性；最值

卷别题型题号分值考查内容

125函数的奇偶性；周期性；求表达式

全国甲卷(理选择题

135导数的几何意义；切线方程

科)

解答题2112用导数研究含参数函数的单调性

85函数的最值

全国乙卷(文选择题95判断函数的奇偶性

科)125函数的极值；利用函数的性质比较大小

解答题2112函数的单调性；导数的几何意义

45判断函数的奇偶性

全国乙卷(理选择题105函数的极值；利用函数性质比较大小

科)125利用函数性质比较大小

解答题2012函数的极值；利用函数性质证明不等式

选择题75导数的几何意义；切线方程

全国新高考I135函数的奇偶性

填空题

卷155导数；分段函数

解答题2212函数的单调性；证明不等式

选择题85函数的奇偶性；周期性

全国新高考n145根据所给条件写函数表达式

填空题

卷165切线方程；求最值

解答题2212含参数函数的单调性；证明不等式

试题特点分析如下.

(1)与往年相比，2021年高考函数与导数相关试题在题型、题量上基本保持稳定，选择题、填空题、解

答题均有考查，一般按“一大”的规律分布.

(2)函数与导数内容在每份试卷中所占的分数均在22-27分，比重较大，可见函数与导数内容在高中数

学中不可忽视的重要地位.

(3)2021年高考全国卷中均有函数与导数试题作为压轴题，凸显了其区分度高、选拔性强的特点.

(4)考点覆盖全面，对函数的概念、函数的性质、函数的图象、导数的应用等内容实现考查全覆盖.

(5)数学思想方法蕴涵丰富，函数与方程、数形结合、分类讨论、转化与化归等数学思想方法紧密联系，

突出对关键能力的考查.

二、用初等方法研究基本初等函数

基本初等函数的图象与性质一般通过选择题和填空题两种题型进行考查，通过最基本的初等函数的组

合叠加，构造新的函数，考查函数的定义域、值域、图象、单调性、奇偶性等基本性质.函数的表达类型包

括整式型、分式型、根式型、分段型、绝对值型等.

例1(2021全国甲卷-文4)下列函数中是增函数的为()

A.f(x)=-xB./(x)=(|rC.f(x)=VD.f(x)=&

【考点】函数单调性的性质与判断

【分析】结合基本初等函数在定义域上的单调性分别检验各选项即可判断.

【解答】解：由一次函数性质可知/*)=-在/?上是减函数，不符合题意；

由指数函数性质可知/(幻=(；『在R上是减函数，不符合题意；

由二次函数的性质可知在R上不单调，不符合题意；

根据哥函数性质可知f(x)=阪在R上单调递增，符合题意.

故选：D.

【评析】此题以基本的一次函数、寻函数、指数函数为载体,以选择题的形式对函数的单调性进行考查，体现

了高考数学命题的，，基础性，，原则,属于简单题.

拓展题1.下列函数中，在区间(0,2)上为增函数的是()

2

A.y=—x+1B.y=—x2+4x+5C.y=—D.y=|x—21

x

【分析】结合基本初等函数的单调性分别检验各选项即可判断.

【解答】解：根据一次函数的性质可知，y=-x+l在(0,2)上单调递减，A不符合题意；

根据二次函数的性质可知，y=-x?+4x+5的开口向下，对称轴x=2,在(0,2)上单调递增，符合题意；

根据反比例函数的性质可知，y=4在(0,2)上单调递减，不符合题意；

x

根据函数图象的变换可知，y=|x-2|在(0,2)上单调递减，不符合题意.

故选：B.

【评析】本题主要考查了基本初等函数的单调性的判断，属于基础题.

拓展题2.下列函数在(0,一)是减函数的是()

A./(x)=2.r-3B./(x)=x2-lC./(x)=」D./(x)=x3

X

【分析】利用基本初等函数的单调性依次判断四个选项即可.

【解答】解：函数/(x)=2x-3在R上为单调递增函数，故选项A错误；

函数/(x)=x2-1在(0,+oo)是增函数，故选项3错误；

函数/'(x)=^■在(0,+w)是减函数，故选项C正确；

X

函数在(0,+OO)是增函数，故选项。错误.

故选：C.

【评析】本题考查了函数单调性的判断，解题的关键是掌握基本初等函数的性质，考查了逻辑推理能力，

属于基础题.

例2(全国乙卷•文8)下列函数中最小值为4的是()

i4o4

A.y=x2+2x+4B.y=|sinx14--；------C.y=21+2~~D.y=lnx-\-----

|sinx|Inx

【考点】基本不等式及其应用

【分析】利用二次函数的性质求出最值，即可判断选项A,根据基本不等式以及取最值的条件，即可判断

选项B,利用基本不等式求出最值，即可判断选项C,利用特殊值验证，即可判断选项Q.

【解答】解：对于A,y=x2+2x+4=(x+l)2+3..3,

所以函数的最小值为3,故选项A错误；

对于3,因为0vsinx|„1,所以y=|sinx|+—--..2/|sinx|---=4,

|sinx|7|sinx|

4

当且仅当|sinx|=——,即|sinx|=2时取等号，因为|sinx|,,l,所以等号取不到，

|sinx|

所以y=|sinx|+—-—>4，故选项3错误；

|sinx|

对于C,因为2*>0,所以y=2"+22r=2*+土.2,6上=4,当且仅当2*=2,即x=l时取等号，

'2'V2'

所以函数的最小值为4,故选项C正确；

114

对于因为当x='时，y=/,J+「，=T-4=-5<4,所以函数的最小值不是4,故选项。错误.

eeln-

e

故选：C.

【评析】此题考查函数求最值的方法：单调性和利用基本不等式.函数类型涉及二次函数、二角函数、指数

函数、对数函数.形式上有整式型、分式型、绝对值型.所有函数表达形式都源于教材，命题精巧灾活,解法多

样，体现了高考数学命题的“多样性”原则.

拓展题1.下列函数中，最小值为9的是()

14144(2八1)(4炉+8)

A.y=(x+-)(%+-)B.y=—+——C.y=/gx+；—-D.y=

xxsin-xcos-xlgx-5(x2+1)2

【考点】基本不等式及其应用

【分析】化简>=(》+!)。+勺=/+2+5,利用基本不等式可得；化简

XXX

y=—!^+'==(—^+」<)(sin2x+cos2x)=R+生皑+5,利用基本不等式可得；举例可判

sinxcos-xsinxcosxsin~xcosx

断c、。错误.

144

【解答】解：y=(x+—)(x+—)=/++5..4+5=9,

XXX

(当且仅当％2=三4，即工=±2时，等号成立)，即函数y=(%+1与(x+43)的最小值为9,故选项A正确;

XXX

22

14z14».2°、cosx4sinx...

y=..2+——「=(--厂+——厂)(sm~x+cos~x)=———+-----+5..4+5=9,

sinxcosxsinxcosxsinxcosx

(当且仅当/=生”M时，等号成立)，故函数y=—的最小值为9,故选项3正确;

sin"xcos~xsimcos'x

当x=10000时，y=4-4=0,故选项C错误；

当x=0时，(2^+0(4^+8)=8)故选项。错误.

a2+i)2

故选：AB.

【评析】本题考查了基本不等式的应用，属于中档题.

例3(全国乙卷-文9/理4)设函数/(%)=—,则下列函数中为奇函数的是()

A./(x-l)-lB./(x-l)+lC./(x+l)-lD./(x+1)+1

【考点】函数奇偶性的性质与判断

【分析】先根据函数/(X)的解析式，得到F(x)的对称中心，然后通过图象变换，使得变换后的函数图象的

对称中心为(0,0),从而得到答案.

【解答】解：因为/(》)=上三=上也工=一1+二_,所以函数“X)的对称中心为(-1,7),

1+X1+XX+1

所以将函数/(X)向右平移一个单位，向上平移一个单位，得到函数y=/(x-1)+1,该函数的对称中心为

(0,0),故函数y=f(x-l)+l为奇函数.

故选：B.

【评析】此题是根据已知函数表达式，判断另一函数的性质.可以求出四个选项中的函数表达式，再根据表

达式判断函数的对称性.但是如果能够发现〃x)=上三=-1+二-的对称中心为(」,一1),利用平移变换即可

1+X1+X

直接得到答案.此题以一次分式函数的对称性为命题起点，考查函数图象的平移和对称性的判断.对称性体

现了数学的形式美，一直受到高考命题者的青睐.命题从一个简单函数出发，在此基础上，构造新函数进行

深度研究，体现了高考数学命题的“创新性”原则.

柘展题2.设函数/(x)=±l,则下列函数中为奇函数的是()

X+1

A./(x-l)-lB,/(x-l)+lC,/(x+l)-!D./(x+l)+l

【分析】根据题意，先分析/(X)的对称性，结合函数平移变换的规律依次分析选项，判断选项中函数的对

称中心，分析可得答案.

【解答】解：根据题意，函数八幻=士1=上上2=一二_+1,则f(x)的图象关于点(7,1)对称，

x+\x+1x+\

依次分析选项：

对于A,/(x-l)-l,由函数/(x)的图象向右平移1个单位，

向下平移一个单位得到，即的图象关于(0,0)对称，是奇函数，A正确；

对于B,/(x-l)+l,由函数的图象向右平移1个单位，

向上平移一个单位得到，即/(x-l)+l的图象关于(0,2)对称，不是奇函数，B错误；

对于C,/(x+l)-l,由函数/(x)的图象向左平移1个单位，

向下平移一个单位得到，即+的图象关于(-2,0)对称，不是奇函数，C错误；

对于D,/(x+l)+l,由函数f(x)的图象向左平移1个单位，

向上平移一个单位得到，即/*+1)+1的图象关于(-2,2)对称，不是奇函数，O错误；

故选：A.

【评析】本题考查函数奇偶性的判断以及性质的应用，涉及函数解析式的计算，属于基础题.

拓展题3.已知函数f(x)=log2(2x+2++8x+8),则下列函数为奇函数的是()

A./(x-l)-lB./(x-l)+lC./(x+l)-lD./(x+l)+l

【分析】化简/(X)=lOg2[(X+l)+J(X+l)2+1]+1,从而可得—l=R)g2(X++1),由奇函数的性

质即可求解.

【解答】解：函数

2

f(x)=log2(2x+2+"x+8x+8)=log2[2(x+1)+54(无+1)?+4]=log2Kx+1)+J(x+1)'+1]+1,

22

则/(x—1)—1=log2(x+yjx+1),f(—x—1)—1=log2(—x+yjx+1)=—log2(x+Jx?+1)=~[f(x—1)—1],

所以/(x-1)—1为奇函数.

故选：A.

【评析】本题主要考查函数奇偶性的性质与判断，考查运算求解能力，属于基础题.

拓展题4.下列函数中的奇函数是()

A./(x)=x+lB./(x)=3x2-1

,4

C./(X)=2(X+1)3-1D.f(x)=—

x

【分析】由奇函数的定义：f(-x)=-f{x},即可判断.

【解答】解：A./(%)=x+1,f(-x)=-x+1,不满足/"(-x)=-/(x),不为奇函数；

B./(x)=3f-l,f(-x)=3(-x)2-l=f(x),/")为偶函数；

C./(x)=2(x+l)3-l,/(-x)=2(-x+1)3-1,不满足/(-x)=-f(x),不为奇函数；

44

D.f(x)=一一，/(-x)=—=-/(x),则/(X)为奇函数・

xx

故选：D.

【评析】本题考查函数的奇偶性的定义，注意运用奇函数的定义，考查推理能力，属于基础题.

例4(全国甲卷.文12)设/口)是定义域为R的奇函数，H/(l+x)=/(-x).若/(T=g,则/§=()

A.--B.--C.-D.-

3333

【分析】由已知/(-工)=一/(幻及/(1+%)=-/(%)进行转化得/(2+%)=/(x),再结合/(-g)=g从而可求.

【解答】解：由题意得/(-X)=-/(x),又/(I+X)=/(-X)=-/(X)，

所以f(2+x)=/(x),X/(-1)=p则/g)=/(2-g)=/(-g)=g.

故选：C.

【评析】此题在第12题的位置，具有区分性和选拔功能.此题无函数表达式，以抽象函数为载体，考查函数的

对称性和周期性.作为选择题解法多样,可以推理转化，运用条件/(-x)=-/(x)和/(1+x)=/(-x),将

咯)进行转化,即/图={1+{|=(I卜-同=-《1-扪-吗卜{-{|;也可以构

造一个对称轴为x=；的奇函数，首先想到三角函数/(x)=Asin万x.当然，如果能看出函数的周期为2,则立

刻得出答案.此题能很好地考查学生的阅读理解、转化翻译、逻辑推理、运算求解和构造能力，属较难题.比

较全面地考查了学生的数学科的“综合性”原则.

柘展题1.已知函数/(x)是定义R上的奇函数，满足f(x+2)=-f(x),且当-L,x<0时，f{x}=-x2+1,

则八2020)=()

A.OB.IC.-1D.-3

【分析】由已知可得函数的周期7=4,然后结合奇函数性质可得/(0)=0,利用周期性将f(2020)转化为

求〃0),即可求解.

【解答】解:因为f(x+2)=-f(x),

所以f(x+4)=/(x),即函数的周期7=4,

因为f(x)为奇函数，故f(0)=0,

则了(2020)=/(0)=0.

故选：A.

【点评】本题主要考查了函数的周期性及奇函数的性质，考查了转化思想，考查了逻辑推理的能力，运算

求解能力.

拓展题2.设函数/*)定义域为R,若/(x+2),/(x-2)都为奇函数，则下面结论成立的是()

A./(x)为奇函数B./(x)为偶函数

C./(x)=/(x+4)D./(x+6)为奇函数

【分析】根据奇函数的性质，建立方程进行判断即可.

【解答】解：•."(x+2),/(x-2)都为奇函数,

f+2)=—/(x+2),f(—x—2)=—/(x—2)>

即。一(x-2)+2]=-f(x-2+2),即f[-x+4)=-f(x),

f[-(x+2)-2]=-f(x+2-2),BPf(-x-4)=-f(x),

则/(—x+4)=/(—x—4),则/(x+4)=/(x-4)，

即/(x+8)=/(x),则/(x)是周期为8的周期函数,

于(-x+6)=/(-x+6-8)=f(-x-2)=-f(x-2)=-f(x-2+8)=-f(x+6),

即〃x+6)是奇函数，故。正确，

故选：D.

【点评】本题主要考查函数奇偶性的应用，根据奇函数的性质建立方程是解决本题的关键，是中档题.

拓展题3己知y=/(x+2)为奇函数，且f(3+x)=f(3-x),当xe[O,1]时，/(x)=2'+log4(x+l)-l,

则/(2021)=()

3

A.1B.2C.3+log43D.9

【分析】由已知结合函数的对称性与周期性关系可求出函数的周期T,然后把所求函数值转化到已知区间

上，代入已知函数解析式即可求解.

【解答】解：因为y=/(x+2)为奇函数，

所以y=/(x)的图像关于(2,0)对称,即f(2+x)=-/(2-x),

因为f(3+x)=/(3-x),

所以函数的图像关于x=3对称，/(x+4)=f(-x+2),

/(2+x)=-/(x),即/(4+x)=f(x),

故函数的周期7=4,

r

因为当1]时，/(x)=2+log4(x+l)-l,

贝i」f(2021)=/(1)=2+log42-l=|.

故选：A.

【点评】本题主要考查了函数的奇偶性，对称性及周期性在函数求值中的应用，属于中档题.

例5(全国甲卷-理12)设函数f(x)的定义域为R,/(x+1)为奇函数，/(x+2)为偶函数，当xe[l,2]时,

f(x)=ax2+b.若/(0)+/(3)=6,则/(1)=()

375

A•-2--C.-D.

242

【考点】函数奇偶性的性质与判断；函数的值

【分析】由/(尤+1)为奇函数，/。+2)为偶函数，可求得的周期为4,由/。+1)为奇函数，可得了

(1)=0,结合/(0)+/(3)=6,可求得。，b的值，从而得到工£[1,2]时:/*)的解析式，再利用

周期性可得/($=/(^)=-/(|),进一步求出/(|)的值.

【解答】解：・."(x+l)为奇函数，.•./(1)=0,且/(x+l)=—/(—x+1),

v/(x+2)偶函数，.，♦/(x+2)=/(-x+2)，

A/[(x+1)+1]=-f[-(x+1)+1]=，即f(x+2)=-/(-x)，

f{-x+2)=/(x+2)=-f(.-x).令f=-x,则f(t+2)=_J(f),

■-f(t+4)=-f{t+2)=f(t),:.f(x+4)=/(x).

当xe[l,2]时，f(x)=ax2+b./(O)=/(-I+1)=-/(2)=Ta-b,

f(3)=/(l+2)=/(-l+2)=/(1)=a+b,

X/(O)+/(3)=6,:.-3a=6,解得。=-2,■：f(1)=a+b=O,:.b=-a=2,

.•.当X€[l,2]时，/(x)=_2/c+2,.•./(9*=/(]1)=—3/(1)=—(—2x、9+2)=^5.

故选：D.

【评析】明显可以看出，全国甲卷的文、理科第12题为姝妹题，考查的内容都是函数的对称性和周期性，但在

给出的条件形式上，理科比文科复杂.高考文、理科同类型试题往往呈现姊妹题特征，一般文科比较简单，理科

试题在文科试题上延展深入，思维拔高，落实深度学习要求，体现了高考数学命题的“研究性”原则.

拓展题1.设奇函数/。)的定义域为实数集/?,且满足/。+1)=/。-1),当xw[O,1)时，/(x)=2r-l.则

135

/(0)+/(-)+/(I)+/(-)+/(2)+/(-)的值为()

A.忘+1B.72-1C.0D.1-72

【分析】先根据题意求出函数的周期，然后将不在区间[0,1)上的值通过周期性和奇函数化到给定区间，

代入解析式即可求出所求.

【解答】解：•・•/(x+l)=/(x-l),.•./(x+2)=/(x)则/(x)是周期为2的周期函数

•••/(1)=/(-1)=-/(1)：.f(1)=0

/(O)+/(；)+/(D+/(|)+/(2)+/(|)=/(0)+/(1)+f(1)-吗)+/(0)+/(^)=0+^-1=72-1

故选：B.

【评析】本题主要考查了函数的周期性，以及求函数的值，同时考查了转化能力，属于基础题.

拓展题2.设f(x)是定义域为A的奇函数，且/(I+©=/(—).若/(一手=3,则/•(?)的值是3.

【分析】由函数的奇偶性和周期性的定义，可得/(x)的最小正周期为2,结合已知条件，可得所求值.

【解答】解：f(x)是定义域为R的奇函数，可得/(-x)=-/(x),

又/(i+x)=/(—x)，则y(x+i)=-/(x)，

即有f{x+2)=-/(%+1)=/(%),

可得f(x)的最小正周期为2,

若/(-1)=3,则/(y)=/(4-1)=/(-1)=3.

故答案为：3.

【评析】本题考查函数的奇偶性和周期性的定义和运用，考查转化思想和运算能力、推理能力，属于基础

题.

拓展题3.函数/'(X)的定义域为£),若对于任意X],x2e£),当工心勺时，都有了(西),,/(出)，则称函数

f(x)在。上为非减函数.设函数/(x)在［0,1］上为非减函数，且满足以下三个条件：①/(0)=0;②

/(l-x)+/(x)=l;®/(|)=l/(x),则/《)+/($的值为.

【分析】由已知条件求出/(1)、/(g)、/(9、/(")、/(＞的值，利用当占＜/时，都有了(毛),,/(七)，

有/(J张叭京)而/(1)=:="!)'有/号)结果可求.

93669366946364

【解答】解：•.・函数/(X)在［0,1］上为非减函数，①f(0)=0；②f(l一x)+/(x)=l,.^./(1)=1,

令x=g,所以有又•.•③吟="(x),"(x)=2吟,舄)=2舄)

/(3)=^/(%)，令xj有心="⑴I'

令T，有吗£)=/$=；,

非减函数性质:当王＜当时，都有了(王),"应)，二＜?＜］，有，(3颗忌)是)，

93669366

而宿)=：=/(》，所以有/号)=；，则W)+舄)=”吗)=T+2X}1.

【评析】本题考查抽象函数的应用，充分利用题意中非减函数性质.

例6(全国新高考I卷-13)已知函数2一)是偶函数，则。=.

【考点】函数奇偶性的性质与判断

【分析】利用奇函数的定义即可求解。的值.

【解答】解:函数=是偶函数,＞为尺上的奇函数，

故)，=如2工-2T也为R上的奇函数，所以yko=a-2°-2°=a-l=O,所以a=I.

法二：因为函数/(幻=132，-2-，)是偶函数，所以/(—x)=/(x),

即-x\a-2T-2，)=x\a-2X-2”即x\a-2*-2-x)+x\a-2--2、)=0,即(a-1)(2*-2r)d=0,

所以“=1.故答案为：1.

【评析】本题主要考查利用函数奇偶性的应用，考查计算能力，属于基础题.

柘展题1.已知函数/。)=/02'-2一')是奇函数，则。=1.

【分析】由奇函数的性质/(-x)=-/(x),即可求解a的值.

【解答】解:因为函数八》)=/(“2-2-*)是奇函数，

所以/(_*)=-/(力对任意x恒成立,即/他.2T-2、)=-/(。2-2成,整理得+2〉=0,

所以a—1=0,所以a=l.故答案为：1.

【评析】本题主要考查函数奇偶性的性质，考查运算求解能力，属于基础题.

拓展题2.若函数〃©=七+”是奇函数，则实数。的值是.

【分析】根据题意，由函数奇函数的定义可得f(x)+/(-x)=O,结合函数的解析式计算可得答案.

【解答】解：根据题意，函数/。)=七+”是奇函数，

1112r1

贝"有/(幻+/(-x)=0,即----+a+-----+々=2〃+------H------=2a+l=0，解可得——.

2"+12-'+12-'+12、+12

故答案为：

2

【评析】本题考查函数奇偶性的性质以及应用，考查运算求解能力，属于基础题.

柘展题3.已知函数/(幻=夕2'-2f'是偶函数，贝l]a=.

【分析】由偶函数的性质即可求解。的值.

【解答】解：因为函数f(x)=“-2”-2T是偶函数，所以/(—x)=f(x),即如2一*—2*=a2—2',

整理的(a+1)(2*-2一*)=0,所以a+l=O,解得a=—1,故答案为：—1.

【评析】本题主要考查函数奇偶性的性质，考查运算求解能力，属于基础题.

例7(全国新高考n卷-14)1.写出一个同时具有下列性质①②③的函数f(x):.

①/(斗口=/(4)〃9)；②当xe(o,w)时，.[(x)>0；③r(x)是奇函数.

【分析】可看出/(幻=》2满足这三个性质.

【解答]解：/'。)=工2时，=斗2々2=/(%)/(々)；当xe(0,+oo)时，f'(x)=2x>0；f'(x)=2x

是奇函数.

故答案为：f(x)=x2.

另解：幕函数/(x)=x"(a>0)即可满足条件①和②；偶函数即可满足条件③，

综上所述,取即可.

【评析】本题考查了寻函数的求导公式，奇函数的定义及判断，考查了计算能力，属于基础题.

拓展题1.写出一个同时具有下列性质的函数/(X)=r,(答案不唯一，符合条件即可).

①/(X)是奇函数；

②/(X)在(0,+00)上为单调递减函数；

【分析】由常见函数的性质即可求解.

【解答】解：由③的运算规律可知/(X)可以为幕函数，

由①②可得/(x)可以为f(x)=xT,答案不唯一.

故答案为：(答案不唯一，符合条件即可).

【评析】本题主要考查函数奇偶性与单调性的综合，考查基函数的性质，属于基础题.

柘展题2.写出一个同时具有下列性质①②③的函数：f(x)=ln\x\.

①f(x)在(0,+oo)上单调递增；②/(x)的值域为R；③/(X)为偶函数.

【分析】结合对数函数的性质分析可得答案.

【解答】解：根据题意，分析可得/(X)可以由对数函数沿y轴翻转变换得到，故要求函数可以为/(x)=/〃|x|,

故答案为：/〃|x|(答案不唯一).

【评析】本题考查函数奇偶性和单调性的判断，注意常见函数的奇偶性和单调性，属于基础题.

拓展题3.写出一个同时具有下列性质①②③的函数/(x)=.

①f(x)在R上单调递增；②“%)/1)=/(0)；③/(0)>1.

f(xt+七)

【分析】结合指数函数的性质分析可得答案.

【解答】解：根据题意，分析可得/(x)为指数型函数，且底数a>l,故要求函数可以为，(%)=2川，

故答案为：2M(答案不唯一).

【评析】此题要求根据函数满足的几个条件，写出具体的函数解析式，答案不唯一，考查学生思维的灵活性和

发散性.此题以开放的形式，给不同水平的学生提供了充分发挥自己数学能力的空间.末来高考将会加大对开

放试题和结构不良试题的考查力度，师生务必引起注意.

函数的概念、性质(单调性、奇偶性、周期性)、图象、最值与值域等是函数主干知识,也是基本内容，更

是学生学习高等数学的必备知识,因而倍受高考命题者的青睐.命题时难度控制自如随意，解题思想方法灵活

多样，能有效考查学生的数感、量感、形感.试题区分度较高,能够让不同层次的学生都有获得感.命题题型

一般为选择题和填空题,同时关注开放试题、结构不良试题的考查形式，全国新高考H卷第14题就是探索

与尝试.

三、用导数研究基本初等函数

对导数简单应用的考查一般出现在选择题或填空题的后半部分，主要考查利用导数求曲线的切线方程

和函数的最值，试题难度中等偏上，具有很好的区分度与选拔性.

例8(全国甲卷•理13)1.若曲线/(x)=ae*+eT在点(0,7(0))处的切线与直线x+3y=0垂直，则“=.

【分析】求出函数的导数，求得切点处的切线的斜率，即可解得。的值.

【解答】解：/(》)=•+6-*在的导数为八幻=四*-0-3即有f(x)在x=0处的切线斜率为无=a-1,

由在x=0处的切线与直线x+3y=0垂直，即有a-1=3,解得a=4.

故答案为：4.

【评析】本题考查导数的几何意义：函数在某点处的导数即为曲线在该点处切线的斜率，同时考查两直线

垂直的条件，正确求出导数是解题的关键.

拓展题1.已知曲线f(x)=/-3x及曲线y=f(x)上一点P(l,-2).

(I)求曲线y=/(x)在P点处的切线方程；

(II)求曲线y=/(x)过户点的切线方程.

【分析】(1)由已知可得斜率函数为/'(x)=39-3,进而求出所过点切线的斜率，代入点斜式公式即可.

(2)设切点为(不，%),求出切点坐标，即可求曲线过点P处的切线方程.

【解答】解：(1)vy=/(x)=?-3x,=/V)=3x2-3.则在P(l,-2)处直线的斜率匕=/(1)=0,

.••所求直线的方程为y=-2.

(2)设切点坐标为(％,£-3x°),则直线/的斜率k2=f\x0)=3x(；-3,

-

2-(片—3x0)=(3x()—3)(1—x0),x；—3x0+2=(3xj—3)(x0—1),

2

即片-4+2-2%=3(片-l)(x0-l),即(片+-2)(x0-l)=3(x°+l)(x0-l),

即(x0+2)(%-1)2=3(%+1)5-1尸，则为一1=0或兑+2=3(々)+1),解得%=1或X。=-L

x0=l,所求直线的方程为y=-2,x0=-L,所求直线斜率4=3片-3=-\,

QQI

于是所求直线的方程为y-(-2)=~(x-l),即尸一力+L

444

综上所述，所求直线的方程为y=-2或y=-2x+_L.

44

【评析】此题以一次分式函数为背景进行命制，考查求切线方程的方法，直接求导即可求解，属于简单题.而

全国新高考I卷中涉及切线问题的试题，则比较复杂.

例9(全国新高考I卷7)(2021•新高考I)若过点3,6)可以作曲线y=，的两条切线，贝1()

A.eh<<zB.ea<bC.0<a<ebD.0<b<ea

【考点】函数与方程的综合运用；利用导数研究曲线上某点切线方程

【专题】数形结合；数形结合法；函数的性质及应用；直观想象；数学运算

【分析】法一：画出函数的图象，判断(见。)与函数的图象的位置关系，即可得到选项.

法二：设过点3。)的切线横坐标为f,求出切线方程，代入(“力)，设f(/)=(a+lT),利用函数的导数,

判断函数的单调性，然后推出6的范围即可.

【解答】解：法一：函数y=e"是增函数，y=">0恒成立，

函数的图象如图，y>0,即切点坐标在x轴上方，如果(〃力)在x轴下方，连线的斜率小于0,不成立.

点3打在x轴或下方时，只有一条切线.如果(a,力在曲线上，只有一条切线；(〃力)在曲线上侧，没有切

线；由图象可知5力)在图象的下方，并且在x轴上方时，有两条切线，可知0<6<e".

故选：D.

法二：设过点36)的切线横坐标为f,则切线方程为y=d(x-f)+e',可得b=d(a+l-r),

设/(f)=(a+l—f),可得加)=-),fe(ro,a),/(f)是增函数,

re(a,-w),f'(r)<0,/(f)是减函数，

因此当且仅当0<6<e"时，上述关于/的方程有两个实数解，对应两条切线.

故选：D.

【评析】此题以常见的指数函数为命题背景，简洁明快，但内涵丰富，具有很好的区分度，不同思维水平的学

生会产生不同的解法.如果利用导数求切线方程，运算量很大，费时费力.此题表面考查切线问题，实则考查学

生对函数y=e'图象的理解程度，如渐近性和凸凹性.能很好地考查学生的直觉思维，特别是利用函数图象分

析问题的能力.如下图，画出函数y=e，的图象，即可直观判定当点(。力)在曲线下方、x轴上方时，才可以作

出两条切线.由此可知0<。<e".此题重视对学生数学学科核心素养的考查，避免了“机械刷题，现象，充分发

挥了高考指挥棒的作用，可谓独具匠心,在平凡处见不平凡.

拓展题1.若过点①力)可以作曲线y=/nx的两条切线，则3

A.eh<aB.ea<bC.0<a<ehD.0<b<ea

【分析】设切点(%,%)，由导数的几何意义可求出切线方程为y-/%=L(x-x。)，又因为切线过点色,与，

%

所以匕-阮r0=-!-(a-x。)，即方程加'o+q-l-Z^O有两个解，构造函数8⑴二加+乌―1-匕，利用导数得

X。X。X

到函数g。)的单调性和极值，由函数g(x)有两个零点可知极小值g(a)=lna—b<0,从而求出结果.

【解答】解：设切点(%,%),

r

•/y=—^切线的斜率k=—y切线方程为y-bvc()=—(x-x0),又「切线过点(a,b),

x%%

:.b-lnx0=—(4?-x0),即方程+“一1一。=0有两个解，

%%

设g(x)=/nr+幺一1一〃，则函数g(x)有两个零点，,.,g'(x)=)_q=上方：,

xxxx

.,.当人£(0,。)时，g'(x)<0,g(x)单调递减；当xw3+00)时，g'O)>0,g(x)单调递增，

，函数g(x)的极小值为g(a)=lna-b,

要使函数g(x)有两个零点,则g(a)=lna-b<09:.lna<bf即

故选：C.

【评析】本题主要考查了利用导数的几何意义求曲线上某点处的切线方程，考查了利用导数研究函数的单

调性和极值，属于中档题.

拓展题2.若过点(〃，〃)3>0)可以作曲线y=的三条切线，贝|」()

A.b<—3aB,-3a<b<a3-3a

C.b>a3-3^D.b=-3a^b=a3-3a

【分析】设切线过点3/),则存在“吏b=(3"-3)。一2户,于是过点m力)可作曲线y=/(x)的三条切线即

为方程2尸—+3a+b=0有三个相异的实数根.记g⑴=2/-3m?+3"+。，求出其导函数为0时,的值，

利用f的值分区间讨论导函数的正负得到g⑴的单调区间，利用g(t)的增减性得到g⑴的极值，根据极值

分区间考虑方程g(f)=O有三个相异的实数根，得到极大值大于0,极小值小于0列出不等式，求出解集即

可得到结论.

【解答】解：y=d-3x的导数为y=3x2-3,设切点为(/,?-30,切线的方程为y-r+3f=(3r2-3)(x-t),

如果有一条切线过点(a,。)，则存在f,使b=(3*-3)a-2/.

于是，若过点(a,6)可作曲线y=/(x)的三条切线，

则方程2尸-3«r+3a+b=0有三个相异的实数根.

记gQ)=2J-3at2+3a+b,则g'(f)=Gt2-6at=6z(r-a).

当r变化时，g(f),g'⑺变化情况如下表：

ty,o)0(o,a)a(a,+oo)

g")+0—0+

g(r)增极大值3a+b减极小值6-f(a)增

由g⑺的单调性，当极大值a+6<0或极小值b-/(a)>0时，

方程g⑺=0最多有一个实数根；

当3。+力=0时，解方程g(r)=0得，=0,z=y,即方程g⑺=0只有两个相异的实数根；

当b-f(a)=0时，解方程g(r)=0得/=即方程g⑺=0只有两个相异的实数根.

综上，如果过3份可作曲线y=/(x)三条切线，

即g(f)=0有三个相异的实数根，贝",即-3a<6</(a)=a3-3a.

[b-f(a)<0

故选：B.

【评析】本题主要考查了利用导数研究曲线上某点切线方程，考查导数的几何意义：切点处的导数值是切

线的斜率；注意“在点处的切线”与“过点的切线”的区别，会利用导数研究函数的增减性得到函数的极

值.

拓展题3.若过点P(a,0)可以作曲线y=的切线有且仅有两条，则实数。的值可以是()

A.2B.-2C.-4D.-6

【分析】设出切点坐标，求出在切点处的切线方程，把P的坐标代入，整理可得关于P的横坐标的一元二

次方程，由判别式大于0求得〃的范围，则答案可求.

xv

【解答】解：设切点坐标为*o，/*),•/y=(-V+y)e,yix=v(i=(x0+i)e0,

Xii

切线方程为y—xQe'=(x0+(x-),

将点P{a,0)代入可得一为/=避+l)e&,化简得不？-秩-。=0,

•.•过点P(a,0)作曲线C的切