2021届甘肃省第二次高考诊断数学（理）试卷解析

绝密★启用前

2021届甘肃省第二次高考诊断数学（理）试题

注意事项：1、答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息2、请将答案

正确填写在答题卡上

一、单选题

1.已知集合4B={-2,-l,0},则AC]3=()

A.{-2,-1,0,1}B.{-1,0,1}c.{-1,0}D.{-2,—1,0}

答案：C

化简集合A,根据交集运算可求得结果.

解：因为乂等价于，(x-l)(x+2)W0

c,、等价于-2<xWl,

x+2X+2H0

所以A={x|-2<x41},又3={-2,-1,0},

所以4口8={-1,0}.

故选：C

2.已知复数z满足z（l-2i）=3+F,则复数z的虚部为（）

A.-iD.1

答案：D

根据复数的除法运算法则，结合复数虚部的定义进行求解即可.

5〜c.33+『(3-z)(l+2z)3+6z-z+2,

解：由z(l-2。=3+r=z=-----=------------------------=1+

')l-2z(l-2z)(l+2z)5

所以复数z的虚部为1，

故选：D

3.已知函数"xbsinx+ZI，则函数的图象为（）

B.

答案：C

判断出函数为奇函数，根据图象关于原点对称排除选项D,根据/(0)=0排除选项B,

根据/(乃)〉。排除选项A,从而可得答案.

解：因为/(x)=sinx+Vq，定义域为R,关于原点对称，

所以/(-x)=sin(-x)+^~~=-sinx+^―=-/(%)>

所以函数f(x)为奇函数，其图象关于原点对称，所以D不正确；

e0—1

因为/(O)=sinO+-5-=0,所以B不正确；

/-1/-]

因为/(〃)=sin〃+-------=-------->0,所以A不正确.

/+1d+1

故选：c

4.双曲线上—《=1（机>0,〃>0）的渐近线方程为y=±*实轴长为2,则，

为（）

11^2

A.-1B.1-72C.-D.1--

22

答案：A

根据双曲线的渐近线方程得到〃=2加，根据双曲线的实轴长求出加=1,〃=2,从而

可得结果.

解：因为双曲线二—工=1（加>0,〃>0）的渐近线方程为y=土与x，

所啜等

即〃=2m,

又双曲线的实轴长为2,所以2诟=2,得机=1，所以〃=2,

所以加一〃=1-2=-1.

故选：A

5.如图，在棱长为2的正方体ABC。一ABCQI中，E,£G分别是棱AB,BC,CG

的中点，尸是底面ABCO内一动点，若直线。P与平面EFG不存在公共点，则三角

形PBB,的面积的最小值为

2

D.

答案：c

延展平面EFG,可得截面瓦其中“、Q、R分别是所在棱的中点，可得

。尸//平面EFGHQR，再证明平面QAC//平面E/G//QR,可知p在AC上时，符合

题意，从而得到P与。重合时三角形PB用的面积最小，进而可得结果.

解:

延展平面EFG,可得截面EFGHQ&其中H、Q、R分别是所在棱的中点,

直线2P与平面EFG不存在公共点,

所以DF”平面EFGHQR,

由中位线定理可得AC//EF,

ER在平面EFGHQR内，

AC在平面EFGHQR外，

所以AC//平面E/GHQR,

因为。尸与AC在平面。AC内相交，

所以平面。AC//平面EFGHQR,

所以「在AC上时，直线。尸与平面EFG不存在公共点，

因为B。与AC垂直，所以P与0重合时BP最小，

此时，三角形的面积最小，

最小值为''2'友=/，故选C.

2

本题主要考查线面平行的判定定理、面面平行的判定定理，属于难题.证明线面平行的

常用方法：①利用线面平行的判定定理，使用这个定理的关键是设法在平面内找到一条

与已知直线平行的直线，可利用几何体的特征，合理利用中位线定理、线面平行的性质

或者构造平行四边形、寻找比例式证明两直线平行.②利用面面平行的性质，即两平面

平行，在其中一平面内的直线平行于另一平面.

6.某地以“绿水青山就是金山银山”理念为引导，推进绿色发展，现要订购一批苗木，

苗木长度与售价如下表：

苗木长度X（厘米）384858687888

售价y（元）16.818.820.822.82425.8

由表可知，苗木长度8（厘米）与售价y（元）之间存在线性相关关系，回归方程为

y=Q.2x+a,则当苗木长度为15（）厘米时，售价大约为（）

A.33.3B.35.5C.38.9D.41.5

答案：C

根据表格中的数据求出样本点中心,根据回归直线经过样本点中心求出2,再将x=150

厘米代入回归方程可求出结果.

._38+48+58+68+78+88

解：因为------------------------=63,

6

_16.8+18.8+20.8+22.8+24+25.8°=

y=------------------------------=21.5,

6

所以样本点中心为（63,21.5）,

又回归直线9=0.21+&经过（63,21.5）,

所以21.5=0.2x63+2,所以4=8.9,

所以回归方程为9=0.2x+8.9,

当x=150时，3=38.9厘米.

则当苗木长度为150厘米时，售价大约为38.9厘米.

故选：C

7.数列｛。“｝的前〃项和为S“，若点（〃同,）在函数/（x）=f+2x的图象上，则。2冈=

（）

A.2021B.4041C.4042D.4043

答案：D

根据点（〃，5“）在函数/（x）=f+2x的图象上，得到S“=〃2+2〃，再利用数列通项与

色,〃=1

前n项和的关系。.求解•

[5„-Sn_,,n>2

解：因为点（”,S“）在函数/（x）=f+2x的图象上，

所以5“=1+2〃，

当〃=1时，q=$=3,

22

当篦之2时,an=Sn-Sn_i=n+2n-^(n-l)+2(n-l)j=2n+l,

又q=3适合上式,

所以勺=2〃+1,

所以]=2x2021+1=4043,

故选：D

方法点评：1、数列的通项。〃与前〃项和S〃的关系是。〃=〈，当〃=1

时，ai若适合Si,则〃=1的情况可并入时的通项a”；当〃=1时，m若不适

合S〃一S-,则用分段函数的形式表示.

8.已知sin(a+/?)=l,a,4均为锐角，且tana=芋，贝|cos^=()

AV3R也^nV6

3223

答案：A

根据已知得到a+〃=1,根据tana=手求出sina=弓，再根据诱导公式可求出

cos力.

解：因为sin(a+尸)=1,a，/均为锐角，所以4=],

因为tana=，所以,也”=,即cosa=&sina，

2cosa2

所以(asina)2+sin2a=1,得sin2a=g,因为a为锐角，所以sina=#，

所以cosp=cos(y-a)=sina=等■

故选：A

9.中国古代制定乐律的生成方法是最早见于《管子•地员篇》的三分损益法，三分损益

包含两个含义：三分损一和三分益一.根据某一特定的弦，去其工，即三分损一，可得

出该弦音的上方五度音；将该弦增长g,即三分益一，可得出该弦音的下方四度音.中

国古代的五声音阶：宫、徵商、羽、角(/“。，就是按三分损一和三分益一的顺序交

替，连续使用产生的.若五音中的“宫”的律数为81,请根据上述律数演算法推算出“羽”

的律数为()

A.72B.48C.54D.64

答案：B

按三分损一和三分益一的顺序交替进行计算可得结果

解：依题意，将“宫”的律数81三分损一可得“徵”的律数为81x(1)=54,

将“徵，，的律数54三分益一可得“商”的律数为54x(l+1)=72,

将“商”的律数72三分损一可得“羽”的律数为72x(l-l)=48.

故选：B

10.数列｛q｝的前〃项和为s.,且S“=2a“-1,则()

an

A.2-2-"B.2—2~C.2—2"D.2-20-1

答案：B

Sn

利用a,,=Sn-S,-(〃22)求出a„,则可得Sn,进一步可得广.

解：当〃=1时,S]=2q—1,得4=1,

当“22时，S,i=2a,i—1,

ss

所以％=„~„-i=2an-2a,-,即an=2an_1,又q=1,

所以数列｛%｝是首项为4=1,公比4=2的等比数列，

所以4=2"」，=—1,

"1-2

q?n-1

所以-=k=2-2i

an」

故选：B

11.过抛物线C：V=4x焦点F的直线/与抛物线交与A,8两点，过A,8两点分

别作抛物线C准线的垂线，垂足分别为M，N,若线段M/V的中点为尸，且线段EP

的长为4,则直线/的方程为()

A.x+V3y-1=0B.x-y/3y-l=0

C.x+y/3y-l=0^x-y/3y-\=0D.#>x-y-6=0或6x+y-#>=G

答案：C

利用抛物线方程求出焦点和准线方程，再设直线/的方程为x=9+l,并代入抛物线方

程，利用韦达定理求出P的纵坐标，再根据勾股定理可求得结果.

解：由y2=4x得〃=2,所以21,0),准线为X=—1,

设直线/的方程为x=fy+l,

x=(y+l,

联立〈2\，消去X并整理得y-49—4=0,△=16*+16>0恒成立，

y=4x

设A(XI,y)、B(x2,y2),

则乂+必=由，所以汽上"=2/,

依题意得加(一1,%)、N(—1,以)，则线段MN的中点打一1,2。，

因为|PF|=4,所以j2?+49=4,解得r=±6，

所以直线/的方程为：x+6y-l=0或=

故选：C

关键点点评：联立直线/与抛物线方程，利用韦达定理求出点尸的坐标是解题关键.

12.已知函数/(x)=xlnx,,g(x)=x2+ar(«eR),若经过点A(l,0)存在一条直

线/与“X)图象和g(x)图象都相切，贝!|。=()

A.0B.-1C.3D.一1或3

答案：D

先求得/(x)在A(l,0)处的切线方程,然后与g(x)=x2+ax(aGR)联立，由△=()求

解.

解：因为/(x)=xlnx,

所以广(x)=l+lnx,

则尸(l)=l+lnl=l,

所以％=1

所以函数/(x)在41,0)处的切线方程为y=X-1,

V=x-\,/、八

由<2得无~+(Q—1)工+1=0,

y=x+ax

由A=(a—if—4=0,解得a=3或a=—1,

故选：D

二、填空题

13.平面内单位向量1,h>^满足M+方+乙=6,则鼠5=.

答案：—1

2

由歹+5+0=。得了=-（万+5）,两边平方并利用单位向量的长度可求得结果.

解：因为第为乙为单位向量,

所以I引=出|=|司=1,

因为汗+5+1=。，所以］=-（万+5）,

所以于=（@+5）2="2+5?+2万-5,

_rr1

所以1=1+1+2@石，得a-b=一3.

故答案为：—

2

x-y+l>0

14.若实数x,y满足约束条件<x+y+120,贝！|z=ar+b（。>匕>0）取最大值4

x-l<0

21

时，一+丁的最小值为.

ab

答案：2

21

作出可行域，利用线性规划知识求出。+2人=4,再根据基本不等式可求出一+二的最

ah

小值.

解：作出可行域如图

x+y+l=03

\2

x—y+l=O(x=l

联立:，得(c，所以N(l,2),

x=l[y=2

因为Q>Z?>0,所以一丁<—1,

b

将目标函数Z=<2X+力化为斜截式可得丁=一@%+三，

bb

因为直线x+y+1=0的斜率为一1,

/77

所以由图可知，当直线y=--x+—经过N(l,2)时，z,=a+2。，所以。+2匕=4,

bbnax

,,211c,、,21.1,.4ba、1,..14ba..

所cr以v一+：=；(a+2/?)(一+])=:(4+—+—)>-(4+2J-----)=2,

ab4ab4ab4\ab

当且仅当。=2/=1时，等号成立.

故答案为：2

易错点评：利用基本不等式求最值时，要注意其必须满足的三个条件：

(1)“一正二定三相等"“一正''就是各项必须为正数；

(2)“二定”就是要求和的最小值，必须把构成和的二项之积转化成定值；要求积的最

大值，则必须把构成积的因式的和转化成定值；

(3)“三相等”是利用基本不等式求最值时，必须验证等号成立的条件，若不能取等号

则这个定值就不是所求的最值，这也是最容易发生错误的地方.

15.孙子定理(又称中国剩余定理)是中国古代求解一次同余式组的方法.问题最早可见于

南北朝时期的数学著作《孙子算经》卷下第二十六题“物不知数”问题：有物不知其数，

三三数之剩二，五五数之剩三，七七数之剩二.问物几何？它的基本解法之一是：列出

用3整除余2的整数：2,5,8,11,14,17,20,23...,用5整除余3的整数：3,8,

13,18,23.......用7整除余2的整数：2,9,16,23...,则23就是“问物几何?”中“物”

的最少件数，“物”的所有件数可用105〃+23(〃eN)表示.试问：一个数被3除余1,

被4除少1,被5除余4,则这个数最小是.

答案：19

列举出被3除余1的整数有、被4除少1的整数、被5除余4的整数，从中找到同时满

足条件的最小整数可得结果.

解：因为被3除余I的整数有：1,4,7,10,13,16,19,22,25,…,

被4除少1即被4除余3的整数有：3,7,11/6,19,23,27,…,

被5除余4的整数有：4,9,14,19,24,29,…,

所以这个数最小为19.

故答案为：19

16.三棱锥P-A5C的底面是边长为3的正三角形，面Q46垂直底面ABC,且

PA=2PB，则三棱锥P一ABC体积的最大值是.

答案遭

设尸到AB的距离为〃，PB=x,PA=2x,则可得,求出〃的

最大值即可求出体积最大值.

解：因为面Q46垂直底面ABC,则三棱锥的高即为P到AB的距离，设为〃,

VPA=2PB，设尸8=%,抬=2%，

在△PAB中，cosNPBA=-----------=——

6x2x

」-/+10%2-9

则sinZPBA=-cos2ZPBA

2x

mil\l—x4+1Ox2-9(f_5)+16

则h=PBsinZPBA=7"——/——

22

当/=5,即％=石时，然ax=2,

又S=—x3x3xsin60°=——-，

做ARr24

则三棱锥P-A8C体积的最大值为JxS=1x2叵X2=3叵.

3nidx32

故答案为：正.

2

关键点评：本题考查三棱锥体积最值的求解，解题的关键是求出产到A8的距离的最大

值，根据题意能得出九一1一（1一5）+16

2

三、解答题

17.如图，在直四棱柱ABC。-44GA中，底面A8CO是边长为2的菱形，且

M=3,E，/分别为CG，BD］的中点.

（1）证明：EF工平面BBQQ；

（2）若045=60。，求二面角4-BE-。的余弦值.

答案：（1）证明见解析；（2）M3.

26

（1）连接AC交BO于。点，连接OF,F为8。的中点，易得四边形OEEC为平行

四边形，从而。C7/FE,再利用线面垂直的判定定理证得。C_L平面即可.

（2）以。为原点，以OB,OC,OF建立空间直角坐标系，分别求得平面ABE的一个

rr

法向量〃=（x,y,z）和平面。/E的一个法向量加=（5,,/1）,然后由

m-n

cos伍昉二丽求解•

解：（1）如图所示:

连接AC交8。于。点，连接。尸，尸为的中点，

所以尸〃。

09，OF=^DDl,

又E为CG的中点，CC,//£>£>,,

所以

CE〃DD\,CE=^DDt,

所以OF//CE,OF=CE,

所以四边形OEEC为平行四边形，OCHFE.

直四棱柱ABC。一中，平面ABC。，OCu平面ABCD,

所以。。LOC.

又因为底面ABCD是菱形，

所以OC_L3O,

又DDJBD=D,。。］匚平面8月2。，BDu平面BBQQ,

所以OC_L平面8gAO.

所以所，平面8AqO.

(2)建立如图空间直角坐标系。-孙z,

由NZMB=60。，知6O=A8=6C=2,

又A4,=3,则3(1,(),0),£^0,V3,|j,A(0，-G，3)，°(—1,0,3),

设。=(x,y,z)为平面A/E的一个法向量.

x+百y-3z=0

n-A^B=0

由＜(得.r3

n-BE=0-x+>/3y+—z=0

、2

令y=6,可得万=(9,6,4b

设工=(%，X，zJ为平面的一个法向量.

J衍n卜2%+3Z|=0

m-BD,=0

由〈一，即〈厂3

m-BE=0-Xj++—Zj=0

令玉=3,可得2=(3,0,2).

m-n_9X3+A/3x0+4x2_7>/13

丽一旧+(可+4；.j32+02+22-后

如图可知二面角A-BE-。为锐角,

所以二面角的余弦值是叵

\-BE-Dx2

26

方法点评：1、利用向量求异面直线所成的角的方法：设异面直线AC,BD的夹角为£,

\AC-BD\

则COSB=I---.1I—.

HH

2、利用向量求线面角的方法：（1）分别求出斜线和它所在平面内的射影直线的方向向量,

转化为求两个方向向量的夹角（或其补角）；（2）通过平面的法向量来求，即求出斜线的方

向向量与平面的法向量所夹的锐角，取其余角就是斜线和平面所成的角.

3、利用向量求面面角的方法：就是分别求出二面角的两个面所在平面的法向量，然后

通过两个平面的法向量的夹角得到二面角的大小，但要注意结合实际图形判断所求角是

锐角还是钝角.

18.某校为了解高三学生周末在家学习情况，随机抽取高三年级甲、乙两班学生进行网

络问卷调查，统计了甲、乙两班各40人每天的学习时间（单位：小时），并将样本数据分

成[3,4）,[4,5）,[5,6）,[6,7）,[7,8]五组，整理得到如下频率分布直方图：

甲班

乙班

（1）将学习时间不少于6小时和少于6小时的学生数填入下面的2x2列联表:

不少于6小时少于6小时总计

甲班

乙班

总计

能以95%的把握认为学习时间不少于6小时与班级有关吗？为什么？

(2)此次问卷调查甲班学生的学习时间大致满足自〜N(〃,0.36),其中〃等于甲班学

生学习时间的平均数，求甲班学生学习时间在区间(6.2,6.8]的概率.

参考公式：K-=-------(adjc)-----------n^a+b+c+d.

(a+b)(c+d)[a+c)[b+d)

参考数据①:

尸(片之石)0.0500.0100.001

女03.8416.63510.828

②若XD则p(〃一b<xWM+b)=0.6827,

P(〃-2b<XW〃+2b)=0.9545.

答案：(1)列联表答案见解析，没有95%的把握认为学习时间不少于6小时与班级有关,

理由见解析；(2)0.1359.

(1)利用频率分布直方图计算出甲班学习时间不少于6小时的人数和乙班学习时间不

少于6小时的人数，可得2x2列联表：计算长2,对照临界值表可得结果；

(2)根据频率分布直方图计算〃，再根据

5,

/(6.2<^<6.8)=/(i4/+cr<^<xz+2cr)

=尸(〃-2O<XW〃+2。)-P(〃-+G计算可得结果

2

解：(1)由频率分布直方图可知，甲班学习时间不少于6小时的人数为：

(0.250+0.050)x1x40=12人，则甲班学习时间少于6小时的人数为28人；

同理得乙班学习时间不少于6小时的人数为(0.250+0.200)x1x40=18人，

则甲班学习时间少于6小时的人数为22人.

由此得到2x2列联表：

不少于6小时少于6小时总计

甲班122840

乙班182240

总计305080

因为K、8OX02X2278X28）；L92<3.841

40x40x30x50

所以没有95%的把握认为学习时间不少于6小时与班级有关.

（2）甲班学生学习时间的平均数

〃=0.05x3.5+0.15x4.5+0.5x5.5+0.25x6.5+0.05x7.5=5.6.

cr=J。.36=0.6>

所以P（6.2<《W6.8）=/5（//+cr<^<//+2cr）

_P（"-2<j<X</d+2cr）-P（/J-cr<X<//+cr）

0.9545-0.6827八

=---------------=0.1359.

2

即甲班学生学习时间在区间（6.2,6.8］的概率为0」359.

关键点点评：（1）中掌握独立性检验的基本思想是解题关键；（2）中利用正态分布的两

个特殊概率求解是解题关键.

22

19.已知圆O:/+y2=〃经过椭圆0：J+=的右焦点B，且经过

点用作圆。的切线被椭圆C截得的弦长为0.

（1）求椭圆C的方程；

（2）若点A,8是椭圆C上异于短轴端点的两点，点M满足次7=砺+而，且

两2+而2=6,试确定直线OA，OB斜率之积是否为定值，若是，求出这个定值;

若不是，说明理由.

，1

答案：（1）—+/=1；（2）是定值，定值为土二.

22

（1）由/?=c以及点b,与在椭圆上列方程可求出椭圆。的方程；

（2）设A（X1,yJ,B（X2,>-2）,则M（%+孙y+必），根据两2+通2=6可得

片+犬+考+尤=3,再根据点A,8在椭圆上，可得才考从而

1

k（）A'k（）B~=+—

中2-2

解：(1)因为圆0:炉+、2=〃经过椭圆。的右焦点入，所以b=c,a=6b，

因为经过点F2作圆。的切线被椭圆C截得的弦长为V2，

解得6=1,故。=血.

所以椭圆。的方程为与+V=1.

(2)直线OA,0B斜率之积是定值，证明如下:

设A（Wy）,3（々,%）,

由丽=西+砺,得“（％+与,凹+%）―

故

OM+AB=（石+%2）+（丁1+%）+（玉-9）+（乂-%）=2（片+y；+x；+%）=6

又点A,3在椭圆上，所以x：+2_y；=2,x；+2y；=2,

联立解得片+年=2,y；+y；=L

由片=2-2y；,%2=2-2yl,

得%；.¥=(2-2对(2-2团=4-4(弁+团+4加；=4寸£,

从而自屋％。8="=±4，即直线OA,08斜率之积是定值土工.

玉龙222

关键点点评：将0M+福2=6化为X：+才+考+为=3,再结合X：+2犬=2,

¥+2〉；=2求解是解题关键.

2().DABC的内角A,B,C的对边分别是。，b,c,且后a—csinB=GhcosC.

(1)求角B的大小；

(2)若6=3,。为AC边上一点，BD=2,且___________,求DABC的面积.(从

①8。为D3的平分线，②。为AC的中点，这两个条件中任选一个补充在上面的横线

上并作答)

答案：(1)B=g；(2)选择①：S^c=—；选择②：SABC=--

328

(1)利用正弦定理的边角互化以及三角形的内角和性质、和差角的正弦公式求解即可.

（2）选择条件①，由SVABC=SVABD+SvBDC，根据三角形的面积公式可得

J§ac=2（a+c）,再由余弦定理可得（ac,—4碗-12=0,求出ac=6,根据面积公

25

式求解即可；选择②，由N8ZM=7E-NBDC,利用余弦定理可得/+/=一，再

2

7

由a2+c2-qc=9,求出ac=一即可求解.

2

解：解：（1）因为由a-csin8=J§Z?cosC,

所以6$山(3+(7)—5111。51113=\/^51113(：05。，

即得J5cos8sinC=sinCsinB，sinC/0,则有tan8=J5,

又因为3«0,兀），所以8=；.

（2）选择条件①30为03的平分线,

JT

因为BZ）为D8的平分线，所以NABZ）=NO8C=一,

6

又因为SVABC=^VABD+^VBDC»

所以』acsin二=Lx2asin¥+!x2csin¥,即6QC=2(Q+C),

232626

又根据余弦定理得：〃=/+/—2QCCOS3,即9=(〃+C)2-3QC,

3

选择②。为AC的中点，则AO=£>C=—,NBDA=JI—/BDC,

2

cosABDA=-cosZBDC

工一〃

则有(1-)-+---2--7--=-k0lZ-------------,可得/+。2=一,

332

2x-x22x-x2

22

又根据余弦定理得：/+/一QC=9，

解得ac=:，则SAABc=Lacsin3=^^.

2△质28

21.已知函数一ctx-xlnx,aeR.

（1）若/（X）在［1,转）单调递增，求。的取值范围;

(2)若〃eN_,求证：++++

答案：(1)(-8,1］；(2)证明见解析.

(1)由函数〉=/(%)在［1,+8)上单调递增，则/'(x"0在［1,+8)上恒成立，由

a+lW(2x-lnx)n而求解.

(2)由(1)的结论，取4=1,有/(x)N/(l)=O,即InxWx_1在［1,”)上恒成

立，然后令士=1+/，有+求解.

解：(1)因为函数y=/(x)在［1,+8)上单调递增，

所以./1'(%)=2%-4-(111》+1)20在［1,+00)上恒成立，

则有a+1W2x-lnx在［l,+oo)上恒成立，即a+1W(2x-Inx)mjn.

令函数g(x)=2x-lnx,g［x)=2——，

所以xe［l,+8)时，g'(x)>0,g(x)在［L+oo)上单调递增,

所以g(x)min=g(l)=2，

所以有a+lW2,即因此ae(—8,l］.

(2)由⑴可知当ae(YO/］时，/(》)=幺一以一xlnx为增函数，

不妨取a=l,则有/(X)=d-x—xlnx在［1,+8)上单调递增，

所以/(x)2/(1)=0,即有InxWx-1在［1,+8)上恒成立，

令七=1+?,则有坨(1+"|""'

所以ln(l+；)+ln(l+5)+L+ln(l+：)〈g+(+L+!(〃eN+),

所以1n口+扣+升［1+2以V〃N+),

因此(l+Jl+„扑(1+扑小五.

方法点评：(1)利用导数研究函数的单调性的关键在于准确判定导数的符号，当7(x)含参

数时，需依据参数取值对不等式解集的影响进行分类讨论.（2）若可导函数«r）在指定的

区间。上单调递增（减），求参数范围问题，可转化为/（x）NO（或/（x）WO）恒成立问题，从

而构建不等式，要注意"=''是否可以取到.

22.在直角坐标系中，点A是曲线弓：（犬-2）2+丁=4上的动点，满足2丽=西

的点B的轨迹是

（1）以坐标原点。为极点，X轴的正半轴为极轴建立极坐标系，求曲线G，G的极

坐标方程；

（2）直线/的参数方程是“为参数），点P的直角坐标是（-1,0）,若

y=tsina

直线/与曲线G交于M，N两点，当|。M||「"=|用"2时，求cosa的值.

答案：（1）G的极坐标方程夕=4cos。，C2的极坐标方程：〃=2cos8：（2）土叵.

4

（1）利用极坐标与直角坐标的互化公式可得曲线G的极坐标方程；设动点B极坐标为

则由2丽=丽得点A的极坐标，代入曲线G的极坐标方程Q=4cos6>可求

出曲线C?的极坐标方程；

（2）将曲线G的极坐标方程化为直角坐标方程，将直线/的参数方程代入