数字信号处理中df频率分辨率的分析

数字信号处理中df频率分辨率的分析

1关于频率分辨率的问题在数字信号课程的教育中，“频率分辨率”是一个重要的概念，因为它决定了dft参数的选择。频率分辨率是指所用的算法能将信号中两个靠得很近的谱峰保持分开的能力。当序列x(n)的长度为N,时域采样频率为fs时,比较统一的观点认为在利用DFT进行频谱分析时,所能达到的最小频率间隔(频率分辨率)为Δf=fs/N或Δω=2π/N(1)式中,Δf和Δω分别为模拟和数字域频率分辨率。根据上式可估算在频率分辨率和采样频率确定情况下所需要的最小采样点数N≥fs/Δf或N≥2π/Δω(2)在实际教学中,我们碰到这样一个问题:对模拟信号x(t)=sin(4πt)+cos(8πt),以t=0.01n(n=0:N-1)进行采样。试问1)N=40点DFT的幅度频谱,从图中能否观察出信号的2个频率分量?2)提高采样点数,如N=128,再求该信号的幅度频谱,此时幅度频谱发生了什么变化?根据理论分析,为了区分其两个频率分量,要求频率分辨率Δf≤2Hz。本例中采样频率fs=100Hz,因此所需要的最小采样点数N=50。第一问中,因为采样点数N=40<50,显然不能从信号频谱中观察出信号的两个频率分量;对于第二问,由于N=128>50,因此可以从信号频谱中观察出信号的两个频率分量。到目前为止,似乎和理论没有相悖之处,然而如果我们将第一问中N从40换成64,通过Matlab仿真将会发现,即使N=64仍不能分辨出信号的两个频率分量。这说明,按照式(2)估算的最小采样点数不一定能达到所要求的频率分辨率。针对公式不适用的情况,目前一些有关数字信号处理理论的书籍中都未有进一步讨论。下面,结合笔者的理解对这个问题进行分析。2分辨率dft测量2.1xn中两频率分量的交叠问题x(n)=cos(ω1n)+cos(ω2n)以N点矩形窗函数wR(n)=RN(n)进行截取,得到x1(n)=x(n)·wR(n)。矩形窗函数的频谱WR(ω)=e−jN−12ωsinNω/2sinω/2=W(ω)e−jN−12ωWR(ω)=e-jΝ-12ωsinΝω/2sinω/2=W(ω)e-jΝ-12ω则x1(n)的频谱X1(ejω)=12[WR(ω−ω1)+WR(ω+ω1)+WR(ω−ω2)+WR(ω−ω2)](3)X1(ejω)=12[WR(ω-ω1)+WR(ω+ω1)+WR(ω-ω2)+WR(ω-ω2)](3)WR(ω)在ω=2π/N处第一次过零点,文献认为,如果|ω2-ω1|<2π/N,窗函数WR(ω-ω1)和WR(ω-ω2)将交叠,x(n)中两频率分量将不能被区分。反之,频谱X1(ejω)中将显示两个独立的峰。因此,频率分辨率被窗函数的主瓣宽度限制。直观地理解,由于WR(ω)的主瓣宽度为4π/N,当|ω2-ω1|<4π/N时,窗函数WR(ω-ω1)和WR(ω-ω2)主瓣还有交叠。只有当|ω2-ω1|≥4π/N,窗函数WR(ω-ω1)和WR(ω-ω2)主瓣才不会有交叠,这时,频谱X1(ejω)中才显示两个独立的峰。因此,从这个意义上讲,似乎我们应该定义频率分别率(数字域)为4π/N。导致上述错误结论是由于忽略了WR(ω-ω1)和WR(ω-ω2)的复函数特性。因为,不能仅考虑包络WR(ω-ω1)和WR(ω-ω2)的叠加作用,还要考虑相频特性的影响。为此,对式(3)作进一步的化简。考虑正频率部分,令X2(ejω)=WR(ω-ω1)+WR(ω-ω2)则X2(ejω)=W2(ω-ω1)+W2(ω-ω2)+2W(ω−ω1)W(ω−ω2)cos[N−12(ω1−ω2)〗(4)2W(ω-ω1)W(ω-ω2)cos[Ν-12(ω1-ω2)〗(4)式(4)等号的右边由三部分构成,各部分波形如图1所示(分别对应曲线①～③),曲线④为三者合成曲线。由图可见,曲线①、②峰值间隔为两频率差|ω2-ω1|。显然,合成曲线的形状除了与曲线①和②的间隔有关外,还和曲线③的形状有关。当|ω2-ω1|=2π/N时,由于cos[N−12(ω1−ω2)cos[Ν-12(ω1-ω2)≈-1因此,|X2(ejω)|≈|W(ω-ω1)-W(ω-ω2)|。考察曲线①和②的交叠点ω=(ω1+ω2)/2处所对应的|X2(ejω)|的值(图1中A3点)。由于W(ω-ω1)=W(ω-ω2)因此|X2(ejω)|≈0。由此,|X2(ejω)|有两个独立的峰,且互不重叠,如图1中曲线④所示。因此,x(n)中的两个频率分量可以被区分开来。当(ω2-ω1)<2π/N时,两峰将产生交叠,频率分辨率降低。从上述分析可知,DFT能够被分辨的最小频率间隔(数字域)确实为2π/N,而非上文所提到的4π/N。2.2相位差对采样测量方法的影响既然频率分辨率(数字域)为2π/N,相应模拟域分辨率为Δf=fs/N,但为什么据此计算出的最小采样点数不满足文初所举的例子呢?这是因为以上分析均假设两信号的初相位为0。以下考虑信号的初相位对DFT测频分辨率的影响。现在考虑这样一种复合信号x(n)=cos(ω1n+φ1)+cos(ω2n+φ2)此时,两信号含有一定的初相位φ1和φ2。经推导,|X2(ejω)|2表达式中前两项将不发生变化,第三项中的cos[N−12(ω1−ω2)cos[Ν-12(ω1-ω2)将变为cos[φ1−φ2N−12(ω1−ω2)cos[φ1-φ2Ν-12(ω1-ω2)。可见,两信号的相位差φ1-φ2将影响曲线③的形状。信号有不同的相位差,将会有不同的曲线③,从而有不同的合成曲线④。当φ1-φ2使得ω=(ω1+ω2)/2附近|X2(ejω)值上升时,将会使频率分辨率降低。图2显示了在|ω2-ω1|=2π/N情况下,不同相位差(Δφ=φ1-φ2)分别取0,0.2π,0.4π,0.6π,0.8π和π)对|X2(ejω)|的影响。由图可见,由于信号间存在相位差,使得频率分辨率下降。因此在满足相同频率分辨率的情况下,应增加采样点数N。为了求得考虑信号相位差后频率分辨率和采样点数之间的关系,我们令曲线①和②的交叠点在ω=(ω1+ω2)/2处,|X2(ejω)|≈0,可得|ω1-ω2|=4π/N(最大值)或cos[φ1−φ2+N−12(ω1−ω2)cos[φ1-φ2+Ν-12(ω1-ω2)=-1,(|ω1-ω2|<4π/N时)(5)对上式的讨论分析,可得到不同相位差时,频率分辨率和采样点数之间的关系。对于本文初始所举的例子,由于x(n)=sin(0.04πn)+cos(0.08πn)=cos(0.04πn+3π/2)+cos(0.08πn)因此,φ1-φ2=3π/2。根据式(5),可得N=25,或N=100,或N=125。这里,取N=100。因此,所需最小采样点数N=100。当N<100时,两峰主瓣会发生部分重叠。显然,如果仅按理论式(2)计算,认为最小采样点数N=50,将不能得出正确结果。2.3n和n的参数设定dft的幅度频谱图3给出了针对上述三种情况Matlab仿真结果,图中横坐标取值对π进行了归一化。图(a)和图(b)分别为x(n)=sin(0.04πn)+cos(0.08πn),而N=50和N=100点时DFT的幅度频谱;图(c)为x(n)=cos(0.04πn)+cos(0.08πn),N=50点时DFT的幅度频谱。由图可见,为了区分两个频率分量,对于信号相位差φ1-φ2=3π/2的两个单频信号,当N=100时才能正确区分,而对于φ1=φ2的两个单频信号,当N=50即能正确区分,由此验证了信号相位对DFT频率分辨率的影响。