中考数学复习之考点题型全归纳与分层精练（全国通用）：专题13 二次函数(原卷版)

专题13二次函数【专题目录】技巧1：二次函数的图像与系数的六种关系技巧2：二次函数图像信息题的四种常见类型技巧3：求二次函数表达式的常见类型【题型】一、二次函数的图象及性质【题型】二、二次函数的图象与系数之间的关系【题型】三、二次函数的对称性【题型】四、二次函数的最值【题型】五、用待定系数法求二次函数解析式【题型】六、二次函数平移问题【题型】七、二次函数解决实际问题【考纲要求】1、理解二次函数的有关概念，会用描点法画二次函数的图象，能从图象上认识二次函数的性质．2、会根据公式确定图象的顶点、开口方向和对称轴，并能掌握二次函数图象的平移．3、熟练掌握二次函数解析式的求法，并能用它解决有关的实际问题．【考点总结】一、二次函数二次函数二次函数的概念一般地，如果y＝ax2＋bx＋c(a，b，c是常数，a≠0)，那么y叫做x的二次函数．注意：(1)二次项系数a≠0；(2)ax2＋bx＋c必须是整式；(3)一次项可以为零，常数项也可以为零，一次项和常数项可以同时为零；(4)自变量x的取值范围是全体实数．二次函数的图象及性质二次函数y＝ax2＋bx＋c(a，b，c为常数，a≠0)图象(a＞0)(a＜0)开口方向开口向上开口向下对称轴直线x＝－eq\f(b,2a)直线x＝－eq\f(b,2a)顶点坐标eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(b,2a)，\f(4ac－b2,4a)))eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(b,2a)，\f(4ac－b2,4a)))增减性当x＜－eq\f(b,2a)时，y随x的增大而减小；当x＞－eq\f(b,2a)时，y随x的增大而增大当x＜－eq\f(b,2a)时，y随x的增大而增大；当x＞－eq\f(b,2a)时，y随x的增大而减小最值当x＝－eq\f(b,2a)时，y有最小值eq\f(4ac－b2,4a)当x＝－eq\f(b,2a)时，y有最大值eq\f(4ac－b2,4a)【考点总结】二、二次函数的性质1、抛物线的顶点式，对称轴是平行于轴的直线。2、当时，抛物线在轴的上方（除顶点外），它的开口向上，并且向上无限伸展；当时，抛物线在轴的下方（除顶点外），它的开口向下，并且向下无限伸展。3、当时，在对称轴（）的左侧，随着的增大而减小；在对称轴（）的右侧，随着的增大而增大；当时，函数的值最小（是0）；当时，在对称轴（）的左侧，随着的增大而增大；在对称轴（）的右侧，随着的增大而减小；当时，函数的值最大（是0）。4、二次函数与的图像形状相同，可以看作是抛物线整体沿轴平移了个单位（当时，向右平移个单位；当时，向左平移个单位）得到的。【考点总结】三、二次函数与的关系二次函数与的关系一般地，由的图像便可得到二次函数的图像：的图像可以看成先沿轴整体左（右）平移了个单位（当时，向右平移个单位；当时，向左平移个单位），再沿轴整体上（下）平移了个单位（当时，向上平移个单位；当时，向下平移个单位）。因此，二次函数的图像是一条抛物线，它的开口方向、对称轴和顶点坐标与的值有关二次函数的图像与性质抛物线顶点坐标对称轴直线直线位置由和的符号确定由和的符号确定开口方向向上向下增减性在对称轴的左侧，随着的增大而减小；在对称轴的右侧，随着的增大而增大。在对称轴的左侧，随着的增大而增大；在对称轴的右侧，随着的增大而减小。最值当时，最小值为当时，最大值为开口大小|a|越大,开口越小，|a|越小,开口越大。【注意】二次函数ax2+bx+c=0①a决定开口方向及开口大小，这与y=ax2中的a完全一样.a>0时，抛物线开口向上；a<0时，抛物线开口向下；a的绝对值越大，开口越小.②b和a共同决定抛物线对称轴的位置.由于抛物线y=ax2+bx+c的对称轴是直线，故：A.b=0时，对称轴为y轴；B.>0（即a,b同号）时，对称轴在y轴左侧；C.<0（即a,b异号）时，对称轴在y轴右侧.(口诀:“左同右异”）【技巧归纳】技巧1：二次函数的图像与系数的六种关系【类型】一、a与图像的关系1．如图，四个函数的图像分别对应的是①y＝ax2；②y＝bx2；③y＝cx2；④y＝dx2，则a，b，c，d的大小关系为()A．a＞b＞c＞dB．a＞b＞d＞cC．b＞a＞c＞dD．b＞a＞d＞c【类型】二、b与图像的关系2．若二次函数y＝3x2＋(b－3)x－4的图像如图所示，则b的值是()A．－5B．0C．3D．43．当抛物线y＝x2－nx＋2的对称轴是y轴时，n______0；当对称轴在y轴左侧时，n______0；当对称轴在y轴右侧时，n______0.(填“＞”“＜”或“＝”)【类型】三、c与图像的关系4．下列抛物线可能是y＝ax2＋bx的图像的是()5．若将抛物线y＝ax2＋bx＋c－3向上平移4个单位长度后得到的图像如图所示，则c＝________．【类型】四、a，b与图像的关系6．二次函数y＝ax2＋bx＋c的图像如图所示，则下列说法中不正确的是()A．a＞0B．b＜0C．3a＋b＞0D．b＞－2a【类型】五、a，c与图像的关系7．二次函数y＝(3－m)x2－x＋n＋5的图像如图所示，试求eq\r(（m－3）2)＋eq\r(n2)－|m＋n|的值．【类型】六、b，c与图像的关系8．【中考·六盘水】已知二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象如图所示，则()A．b＞0，c＞0B．b＞0，c＜0C．b＜0，c＜0D．b＜0，c＞0【类型】七、a，b，c与图像的关系9．在二次函数y＝ax2＋bx＋c中，a＜0，b＞0，c＜0，则符合条件的图像是()10．如图，已知二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象如图所示，给出以下四个结论：①abc＝0，②a＋b＋c＞0，③a＞b，④4ac－b2＜0.其中正确的结论有()A．1个B．2个C．3个D．4个技巧2：二次函数图像信息题的四种常见类型【类型】一、根据抛物线的特征确定a，b，c及与其有关的代数式的符号1．如图，二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图像与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，且OA＝OC.则下列结论：①abc＜0；②eq\f(b2－4ac,4a)＞0；③ac－b＋1＝0；④OA·OB＝－eq\f(c,a).其中正确结论的个数是()A．4B．3C．2D．1【类型】二、利用二次函数的图像比较大小2．二次函数y＝－x2＋bx＋c的图像如图，若点A(x1，y1)，B(x2，y2)在此函数图像上，且x1<x2<1，则y1与y2的大小关系是()A．y1≤y2B．y1＜y2C．y1≥y2D．y1＞y2【类型】三、利用二次函数的图像求方程的解或不等式的解集3．二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图像如图所示，则当函数值y＞0时，x的取值范围是()A．x＜－1B．x＞3C．－1＜x＜3D．x＜－1或x＞34．如图，二次函数y＝ax2＋bx＋3的图像经过点A(－1，0)，B(3，0)，那么一元二次方程ax2＋bx＝0的根是____________．【类型】四、根据抛物线的特征确定其他函数的图像5．二次函数y＝ax2＋bx的图像如图所示，那么一次函数y＝ax＋b的图像大致是()6．如图，A(－1，0)，B(2，－3)两点在一次函数y1＝－x＋m与二次函数y2＝ax2＋bx－3的图像上．(1)求m的值和二次函数的表达式；(2)设二次函数的图像交y轴于点C，求△ABC的面积．技巧3：求二次函数表达式的常见类型【类型】一、由函数的基本形式求表达式题型1：利用一般式求二次函数表达式1．已知二次函数y＝x2＋bx＋c的图像与y轴交于点C(0，－6)，与x轴的一个交点坐标是A(－2，0)．(1)求二次函数的表达式，并写出顶点D的坐标；(2)将二次函数的图像沿x轴向左平移eq\f(5,2)个单位长度，当y<0时，求x的取值范围．题型2：利用顶点式求二次函数表达式2．已知二次函数y＝ax2＋bx＋c，当x＝1时，有最大值8，其图像的形状、开口方向与抛物线y＝－2x2相同，则这个二次函数的表达式是()A．y＝－2x2－x＋3B．y＝－2x2＋4C．y＝－2x2＋4x＋8D．y＝－2x2＋4x＋63．已知某个二次函数的最大值是2，图像顶点在直线y＝x＋1上，并且图像经过点(3，－6)．求这个二次函数的表达式．题型3：利用交点式求二次函数表达式4．已知抛物线与x轴交于A(1，0)，B(－4，0)两点，与y轴交于点C，且AB＝BC，求此抛物线对应的函数表达式．题型4：利用平移法求二次函数表达式5．把二次函数y＝2x2的图像向左平移1个单位长度，再向下平移2个单位长度，平移后抛物线的表达式是___________．6．已知y＝x2＋bx＋c的图像向右平移2个单位长度，再向下平移3个单位长度，得到的图像的表达式为y＝x2－2x－3.(1)b＝________，c＝________；(2)求原函数图像的顶点坐标；(3)求两个图像顶点之间的距离．题型5：利用对称轴法求二次函数表达式7．如图，已知抛物线y＝－x2＋bx＋c的对称轴为直线x＝1，且与x轴的一个交点为(3，0)，那么它对应的函数表达式是________________．8．如图，抛物线与x轴交于A，B两点，与y轴交于C点，点A的坐标为(2，0)，点C的坐标为(0，3)，抛物线的对称轴是直线x＝－eq\f(1,2).(1)求抛物线的表达式；(2)M是线段AB上的任意一点，当△MBC为等腰三角形时，求点M的坐标．题型6：灵活运用方法求二次函数的表达式9．已知抛物线的顶点坐标为(－2，4)，且与x轴的一个交点坐标为(1，0)，求抛物线对应的函数表达式．【类型】二、由函数图像中的信息求表达式10．如图，是某个二次函数的图像，根据图像可知，该二次函数的表达式是()A．y＝x2－x－2B．y＝－eq\f(1,2)x2－eq\f(1,2)x＋2C．y＝－eq\f(1,2)x2－eq\f(1,2)x＋1D．y＝－x2＋x＋211．某企业生产并销售某种产品，假设销售量与产量相等．如图中的折线ABD，线段CD分别表示该产品每千克生产成本y1(单位：元)，销售价y2(单位：元)与产量x(单位：kg)之间的函数关系．(1)请解释图中点D的横坐标、纵坐标的实际意义；(2)求线段AB所表示的y1与x之间的函数表达式；(3)当该产品产量为多少时，获得的利润最大？最大利润是多少？【类型】三、由表格信息求表达式12．若y＝ax2＋bx＋c，则由表格中信息可知y与x之间的函数关系式是()x－101ax21ax2＋bx＋c83A.y＝x2－4x＋3B．y＝x2－3x＋4C．y＝x2－3x＋3D．y＝x2－4x＋813．已知二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)自变量x和函数值y的部分对应值如下表：x…－eq\f(3,2)－1－eq\f(1,2)0eq\f(1,2)1eq\f(3,2)…y…－eq\f(5,4)－2－eq\f(9,4)－2－eq\f(5,4)0eq\f(7,4)…则该二次函数的表达式为______________．【类型】四、几何应用中求二次函数的表达式14．某校校园内有一个大正方形花坛，如图甲所示，它由四个边长为3米的小正方形组成，且每个小正方形的种植方案相同．其中的一个小正方形ABCD如图乙所示，DG＝1米，AE＝AF＝x米，在五边形EFBCG区域上种植花卉，则大正方形花坛种植花卉的面积y与x的函数图像大致是()【类型】五、实际问题中求二次函数表达式15．在美化校园的活动中，某兴趣小组想借助如图所示的直角墙角(两墙足够长)，用28m长的篱笆围成一个矩形花园ABCD(篱笆只围AB，BC两边)，设AB＝xm，花园的面积为Sm2.(1)求S与x之间的函数表达式；(2)若在P处有一棵树与墙CD，AD的距离分别是15m和6m，要将这棵树围在花园内(含边界，不考虑树的粗细)，求花园面积的最大值．【题型讲解】【题型】一、二次函数的图象及性质例1、二次函数的部分图象如图所示，则下列选项错误的是（）A．若，是图象上的两点，则B．C．方程有两个不相等的实数根D．当时，y随x的增大而减小【题型】二、二次函数的图象与系数之间的关系例2、如图，抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）与x轴交于点（4，0），其对称轴为直线x＝1，结合图象给出下列结论：①ac＜0；②4a﹣2b+c＞0；③当x＞2时，y随x的增大而增大；④关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0有两个不相等的实数根．其中正确的结论有（）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个【题型】三、二次函数的对称性例3、抛物线与x轴的一个交点坐标为，对称轴是直线，其部分图象如图所示，则此抛物线与x轴的另一个交点坐标是（）A． B． C． D．【题型】四、二次函数的最值例4、点P(m，n)在以y轴为对称轴的二次函数y＝x2+ax+4的图象上．则m﹣n的最大值等于（）A． B．4 C．﹣ D．﹣【题型】五、用待定系数法求二次函数解析式例5、已知二次函数（是常数，）的与的部分对应值如下表：02606下列结论：①；②当时，函数最小值为；③若点，点在二次函数图象上，则；④方程有两个不相等的实数根．其中，正确结论的序号是__________________．（把所有正确结论的序号都填上）【题型】六、二次函数平移问题例6、把函数的图象向右平移1个单位长度，平移后图象的函数解析式为（）A． B．C． D．【题型】七、二次函数解决实际问题例7、如图，某小区有一块靠墙（墙的长度不限）的矩形空地ABCD，为美化环境，用总长为100m的篱笆围成四块矩形花圃（靠墙一侧不用篱笆，篱笆的厚度不计）．（1）若四块矩形花圃的面积相等，求证：AE＝3BE；（2）在（1）的条件下，设BC的长度为xm，矩形区域ABCD的面积为ym2，求y与x之间的函数关系式，并写出自变量x的取值范围．二次函数（达标训练）一、单选题1．（2022·广东广州·一模）如图，二次函数y＝ax2+bx的图象开口向下，且经过第三象限的点P．若点P的横坐标为﹣1，则一次函数y＝（a﹣b）x+b的图象大致是（）A． B． C． D．2．（2022·山东烟台·二模）二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象如图所示，对称轴为直线x=1．下列结论：①abc>0；②若(−3，y1)，(4，y2)在抛物线上，则y1<y2；③当−1<x<3时，y<0时；④8a+c>0．其中正确的有（

）A．①② B．①④ C．①③④ D．②④3．（2022·河南新乡·二模）二次函数y=−x2+4x+7的顶点坐标和对称轴分别是（

）A．，x＝2 B．，x＝2 C．，x＝－2 D．，x＝24．（2022·黑龙江哈尔滨·三模）将抛物线向左平移2个单位长度，在向上平移1个单位长度，则平移后得到的抛物线解析式是（

）．A． B．C． D．5．（2022·福建福州·一模）下列y关于x的函数中，是二次函数的是（）A． B．C． D．二、填空题6．（2022·河南·驻马店市第二初级中学模拟预测）观察函数与的图像，写出一条它们的共同特征：______．7．（2022·甘肃·一模）已知抛物线的部分图像如图所示，则方程的解是___________三、解答题8．（2022·浙江丽水·一模）如图，抛物线与x轴相交于点，与y轴相交于点C．(1)求抛物线的解析式．(2)点是抛物线上