2021年10月中学生标准学术能力诊断测试2022届高三毕业班诊断性测试数学(文)试题及答案

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中学生标准学术能力诊断测试

2022届高三毕业班上学期10月诊断性测试

数学(文科)试题

2021年10月

本试卷共150分，考试时间120分钟。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项

中，只有一项是符合题目要求的。

1.已知集合A={x6N|x-3<0},集合B={x£R|-4<x<4},则AAB=

A.{0,1,2,3}B.{1,2,3}

C.{x|-4<xW3}D.{x|-4<x<4}

22

2.双曲线上-乙=1的焦点坐标为

34

A.(±V7,0)B.(±5,0)C.(0,±V7)D.(0,±5)

3.复数z满足(1—i)z=3+2i(i为虚数单位)，则z的虚部为

A.-B.--C.-iD.--i

2222

2

4.“上<1”是“b>a+2”的

b-a

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充要条件D.既不充分也不必要条件

5.(2x—l)(x—l)3展开式中含x2项的系数为

A.-3B.-9C.3D.9

6.已知a,b,c是三条不同的直线,a,P，y是三个不同平面，则下列说法正确是

A.a_Lc,b_l_c，则a//bB.a_La,a〃仇则a_l_p

C.a，0,a_LB，则a//aD.aLyF，/则a//p

7.已知抛物线:y2=8x,O为坐标原点,过其焦点的直线交抛物线于A,B两点，满足|AB|

=10,则AOAB的面积为

A.46B.4V6C.5V5D.5逐

8.已知ABCD是矩形，且满足AB=3,BC=4o其所在平面内点M,N满足：3BM=

MC,BN=2NC,则的取值范围是

A.[—,—]B.[—,40]C.[-44,44]D.[-40,40]

933

9.已知正方体ABCD-AiBiCiD,棱长为1,P是棱AAi上一点，点Q在棱BiCi上运

动,使得对任意的Q点，直线PQ与正方体的所有棱所成的角都大于求|AP|的取值

6

范围

A.OW|AP|<1-#B.1-乎W|AP|<；C.1<|AP|<yD.0W|AP|<；

10.已知a>0,b>0,满足3a2b2-2a2-3b2+9=0,5!iJ—+—的最小值为

ab

A.2V6B.4GC.4A/6D.6G

11.已知等差数列{aQ的公差不等于0,其前n项和为Sn,若a4,S5,S7£{-10,0),WJSn

的最小值为

A.-6B.—11C.-12D.-14

12.定义在(一C,0)上的函数f(x),其导函数为f(x),若恒有f(x)>—f(x)C,则下列

2sinx

不等式成立的是

A.V3f(-^-)>f(-1)B.f(一7)>百f(一?)

C.V3f(-^)<f(-^)D.f(—g)<6f(一g)

o3o3

二、填空题：本题共4小题,每小题5分，共20分。

13.已知数据X1,X2,X3,X4,X5,X6的标准差为5,则数据3xi—2,3x2-2,3x3—2,3XL2,3x5

-2,3x6-2的方差为o

14.已知直线Z：kx-y+l-2k=O,51iJ|Blx2—2x+y2—4y—4=0截直线/所得的弦长

的取值范围是o

15.在锐角4ABC中，内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,若c=2,C=^，则a2+8sin(B

-9）的取值范围为。

Y4_2

16.已知函数f（x）=63，xe[0,1],则该函数的值域为___________。

x-16x-1

三、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

第17〜21题为必考题,每个试题考生都必须作答。第22、23题为选考题，考生根据

要求作答。

（一）必考题：共60分。

17.（12分）已知函数f（x）=sinxsin（x+y）—sin2x+l,x£R。

⑴求函数f（x）的对称轴；

⑵求函数f（x）在区间[一工二]上的最大值和最小值。

43

18.（12分）有编号为2,3的两个红球,编号为2,3,4的三个黑球，这五个球的形状和大小

完全相同，现从中任意取出两个球。

（1）求取出的两个球颜色不同的概率；

⑵求取出的两个球的编号之和不为6的概率。

19.（12分）等比数列｛aQ的首项ai=2,前n项和记作Sn,且｛Sn+1｝也是等比数歹U,公比

为q。

⑴求加的通项公式；

（2）记bn=log2an,求数列｛n+—!一｝的前n项和T”

bnbn+I

20.（12分）如图所示，菱形ABCD所在的平面垂直于直角三角形ABP所在的平面，且

ZDAB=60°,ZABP=90°,AB=2,BP=3o

（1）求证:AC1DP；

⑵求直线BC与平面CDP所成角的正弦值。

21.（12分）如图所示，已知椭圆］+丁=1,过右焦点作两条互相垂直且均不平行于坐

标轴的弦AB,CD,它们的中点分别为M,N,延长OM,ON分别与椭圆交于点P,Q。

（1）证明：OM,ON斜率之积为定值；

⑵若叫=县,求直线AB,CD斜率之比。

|OQ|6

（二）选考题：共10分。请考生在第22、23题中任选一题作答。如果多做，则按所做

的第一题计分。作答时请写清题号。

22.（10分）［选修44：极坐标与参数方程］

20

已知曲线C的极坐标方程为p2=—T—-，以极点为原点,极轴为X轴的正半

5sirrO—4cos6

X=1H---1

轴建立平面直角坐标系，直线/的参数方程为「3（t为参数,tsR）。

艮

V=——t

3

⑴求直线/的普通方程和曲线C的直角坐标方程；

⑵设直线/交曲线C于P,Q两点,求线段PQ的长度。

23.(10分)［选修4—5：不等式选讲］

⑴解不等式：|2x—3|+|x+l|<4；

⑵求函数f(x)=|x-l|+|x—2|+x2—2x的值域。

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数学（文科）试题参考答案

2021年10月

中学生标准学术能力诊断性测试2021年10月测试

文科数学参考答案

一、选择题；本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项

是符合题目要求的.

123456789101112

ACABDBABADCD

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.

13.225

14.[2^,6]

15.（16,17]

16.[o,—

一15.

三、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17~21

题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答.

（-）必考题：共60分.

17.（12分）

解析：

smxLm.且co*

⑴/(x)+cos2X

22

1.J3.j1-cos2x、1+cos2x

=-siir7x+——sin.vcosx+cos*x=------------+——sin2.v+-------------2分

22442

3

G.r1-31/7t+

—sin2x+-cos2.v+-=-sin2.v+-4-4分

4442I6

2x+—=—+kn,ArGZ»W.v=—+—,AreZ,

6262

所以函数〃*)的对称轴为x.+与，kwZ.........................................................................6分

(2)v--<x<—,<2x+—<—,

43366

则当2x+E=4时，/(x)=-...................................................................................................9分

62八人4

当2々冶时，小小学..........................................12分

18.(12分)

解析:

从五个球中任取两个球的基本事件有：红2红3,黑2黑3,黑3黑4,黑2黑4,红2黑

2,红2黑3,红2黑4,红3黑2,红3黑3,红3黑4,共10种取法.............4分

(1)记“取出的两个球颜色不同”为事件4,有：红2黑2,红2黑3,红2黑4,红3

黑2,红3黑3,红3黑4,共6种,

•••尸⑷哈!..........................................................................................................................8分

(2)记“取出的两个球的编号之和为6”为事件8,有：黑2黑4,红2黑4,红3黑3,

；.尸⑻q..............................................................................................................................io分

记“取出的两个球的编号之和不为6”为事件C,事件B与事件C为对立事件,

37

.................................................................................................12分

''''1010

19.(12分)

解析:

(1)由已知得：S“+l=(*+l>g"T,:.S„=3x<z"-'-l.......................................................2分

当〃22时，a“=S“-S.i=3(g-l)g--2,fli=2.................................................................4分

•.・｛叫为等比数列，又=g("N2,〃eN),

...”=g,...迤23=1，...g=3,所以数列｛%｝的公比也为0且1=3.

a12

.•.an=2x3"-'........................................................................................................................6分

-1

(2)/>„=log:(2x3")=l+(w-l)log:3

；.｛4｝为等差数列，首项为1,公差"为log?3..................................................................7分

T_(1+力)"।n

21+//log,3

20.(12分)

解析：

(1)连接。3,•.,四边形4BCD为菱形，.•.*C_LDB,

•.•平面4BCD_L平面4&P,平面々COD平面.®BPu平面BPLAB,

由（1）可知，CEJ.面BR9,

点C到平面BPD的距离即为CE,设点B到平面CDP的距离为h,

SACDP'h~SAPD•CE........................................................6分

平面4BCD,且BCu平面:.BPLBC,

因为四边形4BCD为菱形，.•.BC=HB=2,则PC=QBP+3。，=8+2?=而,

■：BPLBD,又•.•ZDdB=60,.•.△4RD为边长为2的等边三角形,

:.DB=2,DP=-]DB2+BP-=TF+F=A/B,

为等腰三用形，

SgR=?、¥二=26..........................................................9分

SABPD==3»；CE=2x§=«，

;.2拒xh=3x6,h=—........................................................11分

2

设BC与平面CDP所成角为。，则皿。=与=1..................................12分

BC4

21.（12分）

解析：

(1)已知尸(1,0),设直线^B:y=*(x-1),贝!|直线CDy=-：(x-l),

X22_]

联立直线和椭圆方程(■?+y==>(2Jt2+l)x2-4Rr+2A-2-2=0...............2分

y=NxT)，

则…=击，中点M1，就），同理心匕，号）...............4分

直线。M:y=-1x,直线。My=±x,OM,ON的斜率之积为定值-白.........5分

2k24

(2)直线OM与椭圆三+/=1联立，[2=>f1+=2=>.rp=

2「去"I叼

.................................................6分

则囱=原二.册同理阳=炉,高

............................8分

］（值+撇+2）叵

1°。1存."供+1）俨+4厂6

解得二=4,%=4=-N=-4..........................................................................................12分

k

（二）选考题：共10分.请考生在第22、23题中任选一题作答.如果多做，则按所做的第一

题计分.作答时请写清题号.

22.（10分）［选修I：极坐标与参数方程］

解析：

（1）由/的参数方程消去f,得y=G（x-l）,

故直线/的普通方程为缶-y-忘=0..................................................................................2分

由炉=---『3.......—,可得：5(psintf)2-4(pcos0)2=20.

5sill'。一4cos~0

x=pcos。,x2

而/.5y2-4.v2=20,=i，

y=psin。,T

故双曲线c的直角坐标方程为广-工=1

4分

45

…旦,

(2)将直线|「3代入双曲线方程匕-二=1,可得:

yW45

[-3

化简可得：3--4后-36=0...................................................................................................6分

_4G

点P,。