2024届一轮复习人教A版 第7章数列第4节数列求和 学案

第四节数列求和考试要求：1．掌握等差、等比数列前n项和公式．2．掌握非等差、非等比数列求和的几种方法，如分组求和、裂项相消以及错位相减等．一、教材概念·结论·性质重现1．求数列前n项和的常用方法方法数列求和公式公式法等差数列Sn＝na1+an2等比数列Sn＝n分组求和法等差±等比适用于一个等差数列和一个等比数列对应项相加(减)构成的数列求和倒序相加法对偶型将一个数列倒过来排列与原数列相加，主要用于倒序相加后对应项之和有公因式可提的数列求和裂项相消法积商化差型适用于通项公式可以积商化差的数列求和错位相减法等差×等比适用于一个等差数列和一个等比数列对应项相乘(除)构成的数列求和并项求和法正负号间隔适用于奇数项与偶数项正负号间隔的数列求和，常需对n分奇偶讨论一些常见数列的前n项和公式(1)1＋2＋3＋4＋…＋n＝nn+1(2)1＋3＋5＋7＋…＋2n－1＝n2.(3)2＋4＋6＋8＋…＋2n＝n2＋n.(4)12＋22＋…＋n2＝nn+1(5)13＋23＋…＋n3＝(1＋2＋…＋n)2＝n22.常用结论常见的裂项技巧(1)1nn+1＝(2)1nn+2＝(3)12n-1(4)1n+n+1(5)1nn+1n+2(6)loga1+1n＝loga(n＋1)－logan(a＞0且二、基本技能·思想·活动经验1．判断下列说法的正误，对的画“√”，错的画“×”．(1)如果数列{an}为等比数列，且公比不等于1，则其前n项和为Sn＝a1 (√)(2)sin21°＋sin22°＋sin23°＋…＋sin287°＋sin288°＋sin289°可用倒序相加求和． (√)(3)当n≥2时，1n2-1＝12(4)求数列12n+2n+3的前n项和可用分组求和法．2．在数列{an}中，an＝1nn+1，若{an}的前n项和为20192020A．2016 B．2017C．2018 D．2019D解析：an＝1nn+1＝1n-1n+1，Sn＝1－12+12-3．数列{an}的通项公式是an＝(－1)n(2n－1)，则该数列的前100项之和为()A．－200 B．－100C．200 D．100D解析：根据题意有S100＝－1＋3－5＋7－9＋11－…－197＋199＝2×50＝100.故选D．4．已知数列：112，214，318，…，n+nn+12＋1－12n解析：设所求的数列前nSn＝(1＋2＋3＋…＋n)＋12+14＋…＋125．已知数列{an}的前n项和Sn＝10n－n2，数列{bn}满足bn＝|an|，设数列{bn}的前n项和为Tn，则T4＝________，T30＝________．24650解析：当n＝1时，a1＝S1＝9；当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝10n－n2－[10(n－1)－(n－1)2]＝－2n＋11，当n＝1时也满足上式，所以an＝－2n＋11(n∈N*)．所以当n≤5时，an>0，bn＝an，当n>5时，an<0，bn＝－an，所以T4＝S4＝10×4－42＝24，T30＝S5－a6－a7－…－a30＝2S5－S30＝2×(10×5－52)－(10×30－302)＝650.考点1利用公式、分组求和——基础性1．若数列{an}的通项公式为an＝2n＋2n－1，则数列{an}的前n项和为()A．2n＋n2－1 B．2n+1＋n2－1C．2n+1＋n2－2 D．2n＋n－2C解析：Sn＝a1＋a2＋a3＋…＋an＝(21＋2×1－1)＋(22＋2×2－1)＋(23＋2×3－1)＋…＋(2n＋2n－1)＝(2＋22＋…＋2n)＋2(1＋2＋3＋…＋n)－n＝21-2n＝2(2n－1)＋n2＋n－n＝2n+1＋n2－2.故选C．2．已知等差数列{an}的前n项和为Sn，且满足S4＝24，S7＝63.(1)求数列{an}的通项公式；(2)若bn＝2an＋an，求数列{bn}的前n项和T解：(1)因为{an}为等差数列，所以S4=4所以an＝2n＋1.(2)因为bn＝2an＋an＝22n+1＋(2n＋1)＝2×4n＋(2所以Tn＝2×(4＋42＋…＋4n)＋(3＋5＋…＋2n＋1)＝2×4＝83(4n－1)＋n2＋2n1．分组的实质是分成两个(或多个)数列求和，这些数列必须是等比数列或等差数列，因此要仔细观察通项公式，合理分组．2．有些式子如22n+1需要变形，以方便确定首项、公差，如果不变形会导致运算过程复杂，也会导致运算错误．考点2裂项求和——综合性(2022·武汉三模)已知各项均为正数的数列{an}的前n项和为Sn，a1∈0，2(1)求{an}的通项公式；(2)设bn＝1anan+1，求数列{bn}的前n解：(1)当n＝1时，由an2＋3an＋2＝6Sn，得a12+3a1＋2＝6S1＝6a1，即又a1∈(0，2)，解得a1＝1.由an2＋3an＋2＝6Sn，可知an+12＋3an＋1＋2＝6两式相减，得an+12-an2＋3(an＋1－an)＝6an＋1，即(an＋1＋an)(a由于an>0，可得an＋1－an＝3，所以{an}是首项为1，公差为3的等差数列，所以an＝3n－2.(2)因为an＝3n－2，所以bn＝1anan+1＝所以Tn＝b1＋b2＋…＋bn＝131-本例的条件变为：an＝12n-1，bn＝an+1a解：因为bn＝12n1所以b1＋b2＋b3＋…＋bn＝1121+1-1120应用裂项相消法求和的注意点(1)用裂项相消法求和时，要对通项进行变换，如：1n+n+k＝1k((2)抵消后并不一定只剩下第一项和最后一项，也有可能前面剩两项，后面也剩两项等．在等比数列{an}中，a1＝3，a2＋a3＝6.(1)求an；(2)设bn＝2nan+1an+1+1，且b4<1，求数列{b解：(1)设等比数列{an}的公比为q，a1(q＋q2)＝6，代入a1＝3，解得q＝－2或q＝1.当q＝－2时，an＝a1·qn-1＝3·(－2)n-1；当q＝1时，an＝a1＝3.(2)当an＝3时，b4＝243+13+1＝1，这与所以an＝3·(－2)n-1.所以bn＝2n3·所以Sn＝2313·2考点3错位相减法求和——应用性(2021·全国乙卷)设{an}是首项为1的等比数列，数列{bn}满足bn＝nan3.已知a1，3a2，9a(1)求数列{an}和{bn}的通项公式；(2)记Sn和Tn分别为{an}和{bn}的前n项和，证明：Tn<Sn(1)解：因为{an}是首项为1的等比数列且a1，3a2，9a3成等差数列，所以6a2＝a1＋9a3，所以6a1q＝a1＋9a1q2，即9q2－6q＋1＝0，解得q＝13，所以an＝1所以bn＝nan3(2)证明：由(1)可得Sn＝1×1-Tn＝13+2313Tn＝132+①－②得23Tn＝13+132+所以Tn＝34所以Tn－Sn2＝341-13n错位相减法求和的注意点(1)若在数列{an·bn}中，{an}成等差数列，{bn}成等比数列，在和式的两边同乘公比，再与原式错位相减，整理后即可以求出前n项和．(2)分组求和时，中间部分等比数列的求和要找好等比数列的首项和项数．最好用Sn＝a1设数列{an}满足a1＝3，an＋1＝3an－4n.(1)计算a2，a3，猜想{an}的通项公式并加以证明；(2)求数列{2nan}的前n项和Sn.解：(1)a2＝5，a3＝7.猜想an＝2n＋1.证明：由已知可得an＋1－(2n＋3)＝3[an－(2n＋1)]，an－(2n＋1)＝3[an－1－(2n－1)]，…a2－5＝3(a1－3)．因为a1＝3，所以an＝2n＋1.(2)由(1)得2nan＝(2n＋1)2n，所以Sn＝3×2＋5×22＋7×23＋…＋(2n＋1)×2n.①从而2Sn＝3×22＋5×23＋7×24＋…＋(2n＋1)×2n+1.②①－②得－Sn＝3×2＋2×22＋2×23＋…＋2×2n－(2n＋1)×2n+1＝2×21-2n1-2＋2－(2n＋1)·2n+1＝2·2n+1－(2n＋1)·2n所以Sn＝(2n－1)·2n+1＋2.考点4分奇偶讨论求和——应用性(2022·济宁二模)已知数列{an}是正项等比数列，满足a3是2a1，3a2的等差中项，a4＝16.(1)求数列{an}的通项公式；(2)若bn＝(－1)nlog2a2n＋1，求数列{bn}的前n项和Tn.解：(1)设等比数列{an}的公比为q，因为a3是2a1，3a2的等差中项，所以2a3＝2a1＋3a2，即2a1q2＝2a1＋3a1q.因为a1≠0，所以2q2－3q－2＝0，解得q＝2或q＝－12因为数列{an}是正项等比数列，所以q＝2.因为a4＝16，即a4＝a1q3＝8a1＝16，解得a1＝2，所以an＝2×2n-1＝2n.(2)由(1)可知，a2n＋1＝22n+1，所以bn＝(－1)n·log2a2n＋1＝(－1)n·log222n+1＝(－1)n·(2n＋1)．①若n为偶数，Tn＝－3＋5－7＋9－…－(2n－1)＋(2n＋1)＝(－3＋5)＋(－7＋9)＋…＋[－(2n－1)＋(2n＋1)]＝2×n2＝n②若n为奇数，当n≥3时，Tn＝Tn－1＋bn＝n－1－(2n＋1)＝－n－2，当n＝1时，T1＝－3适合上式．综上得Tn＝n，n为偶数，-n-2，n为奇数(或T对于分奇偶的数列求和一般思路是：当n为偶数时，分组求其前n项和；当n为奇数时，则n－1为偶数，故代入先求出前n－1项的和再加第n项，即前n项的和．用式子表示为Sn＝S已知等差数列{an}的公差为2，前n项和为Sn，且S1，S2，S4成等比数列．(1)求数列{an}的通项公式；(2)令bn＝(－1)n-14nanan+1，求数列{bn}的前n解：(1)由于等差数列{an}的公差为2，故S1＝a1，S2＝2＋2a1，S4＝12＋4a1.由于S1，S2，S4成等比数列，故(2＋2a1)2＝a1(12＋4a1)，解得a1＝1，故an＝2n－1.(2)由(1)可知bn＝(－1)n-14nanan+1＝(－1)n-1·4n2n当n为偶数时，Tn＝1+13-13+1当n为奇数时，Tn＝Tn－1＋12n-1+1所以Tn＝2n课时质量评价(四十二)A组全考点巩固练1．(2023·济南模拟)记Tn＝－1＋1＋3＋5＋…＋(2n＋1)(n∈N*)，则Tn为()A．n2 B．n2＋nC．n2－2n D．n2＋2nD解析：因为Tn＝－1＋1＋3＋5＋…＋(2n＋1)(n∈N*)，所以Tn＝n+2-1+2n+12＝n22．已知数列{an}满足a1＝1，an＋1＝2aA．16 B．20C．33 D．120C解析：由已知得a2＝2a1＝2，a3＝a2＋1＝3，a4＝2a3＝6，a5＝a4＋1＝7，a6＝2a5＝14，所以S6＝1＋2＋3＋6＋7＋14＝33.故选C．3．已知{an}是首项为1的等比数列，Sn是{an}的前n项和，且9S3＝S6，则数列1aA．158或5 B．31C．31C解析：设{an}的公比为q，显然q≠1，由题意得91-q31-q＝1-q61-q，所以1＋4．已知数列{an}满足an＝n，在an，an＋1之间插入n个1，构成数列{bn}：a1，1，a2，1，1，a3，1，1，1，a4，…，则数列{bn}的前100项的和为()A．178 B．191C．206 D．216A解析：数列{an}满足an＝n，在an，an＋1之间插入n个1，构成数列{bn}：a1，1，a2，1，1，a3，1，1，1，a4，…，所以共有n＋[1＋2＋…＋(n－1)]＝n＋n-11+n-12＝1当n＝13时，12当n＝14时，12由于an＝n，所以S100＝(a1＋a2＋…a13)＋(100－13)×1＝1+13×5．化简Sn＝n＋(n－1)×2＋(n－2)×22＋…＋2×2n-2＋2n-1的结果是()A．2n+1＋n－2 B．2n+1－n＋2C．2n－n－2 D．2n+1－n－2D解析：因为Sn＝n＋(n－1)×2＋(n－2)×22＋…＋2×2n-2＋2n-1，①2Sn＝n×2＋(n－1)×22＋(n－2)×23＋…＋2×2n-1＋2n，②所以①－②得，－Sn＝n－(2＋22＋23＋…＋2n)＝n＋2－2n+1，所以Sn＝2n+1－n－2.故选D．6．(2022·贵阳摸底)定义为n个正数u1，u2，u3，…，un的“快乐数”．若已知正项数列{an}的前n项的“快乐数”为13n+1，则数列36aA．20182019 B．C．20192018 D．B解析：设数列{an}的前n项和为Sn，则根据题意nSn＝13n+1，Sn＝3n2＋n，所以an＝Sn－Sn－1＝6n－2(n≥2)．当n＝1时也适合上式，所以an＝6n－2.所以36an+2an+1+2＝366n6n+6＝1nn+17．等比数列{an}的前n项和Sn＝2n－1，则a113(4n－1)解析：当n＝1时，a1＝S1当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝2n－1－(2n-1－1)＝2n-1.又因为a1＝1适合上式，所以an＝2n-1，所以an2＝4n所以数列{an2所以a12+a22+8．(2022·淄博一模)已知数列{an}满足：a1＝2，且an＋1＝an+1，n为奇数，2设bn＝a2n－1.(1)证明：数列{bn＋2}为等比数列，并求出{bn}的通项公式；(2)求数列{an}的前2n项和．(1)证明：bn＋1＝a2n＋1＝2a2n＝2(a2n－1＋1)＝2bn＋2，所以bn+1+2bn+2＝2，又b所以{bn＋2}是首项为4，公比为2的等比数列，则bn＋2＝4·2n-1＝2n+1，所以bn＝2n+1－2.(2)解：数列{an}的前2n项和为S2n＝a1＋a2＋a3＋…＋a2n＝(a1＋a3＋a5＋…＋a2n－1)＋(a2＋a4＋…＋a2n)＝(a1＋a3＋a5＋…＋a2n－1)＋(a1＋a3＋…＋a2n－1＋n)＝2(a1＋a3＋a5＋…＋a2n－1)＋n＝2(b1＋b2＋…＋bn)＋n＝2×(22＋23＋…＋2n+1－2n)＋n＝2×41-2n1-2－39．已知数列{an}中，a1＝2，n(an＋1－an)＝an＋1.(1)求证：数列an(2)令bn＝(－1)nan，Sn为数列{bn}的前n项和，求使得Sn≤－99的n的最小值．(1)证明：由n(an＋1－an)＝an＋1得：nan＋1＝(n＋1)·an＋1，即an+1n+1＝所以an+1n+1＝ann+所以数列an(2)解：由(1)知：an+1n＝a1＋1＝3，所以an＝3n－1，所以bn＝(－1)n即bn＝3n所以当n为偶数时，Sn＝(－2＋5)＋(－8＋11)＋…＋[－(3n－4)＋(3n－1)]＝3n2，显然Sn当n为奇数时，Sn＝Sn＋1－an＋1＝3n+12－[3(n＋1)－1]＝－3n+12，令Sn结合n为奇数得n的最小值为67.所以n的最小值为67.B组新高考培优练10．(2023·泰安模拟)已知数列{an}满足a1+12a2+122a3+…+12A．2×(22022－1) B．23(22022C．23(24044－1) D．23(2C解析：因为a1＋12a2＋122a3＋…＋12n所以当n≥2时，a1＋12a2＋122a3＋…12n-两式相减得12n-1an＝2，所以an＝2又a1＝2也适合该式，故an＝2n，所以a1＋2a2＋22a3＋…＋22021a2022＝242022-1411．若数列{an}是2，2＋22，2＋22＋23，…，2＋22＋23＋…＋2n，…，则数列{an}的前n项和Sn＝____________．2n+2－4－2n解析：an＝2＋22＋23＋…＋2n＝2-2n+11Sn＝(22＋23＋24＋…＋2n+1)－(2＋2＋2＋…＋2)＝22-2n+21-2－212．已知Tn为数列2n+12n的前n项和，若m＞T1024解析：因为2n+12所以Tn＝n＋1－12所以T10＋1013＝11－1210＋1013＝1024－又m＞T10＋1013，所以整数m的最小值为1024.13．数列{an}满足an+2+-1na7解析：因为an＋2＋(－1)nan＝3n－1，所以当n为偶数时，an＋2＋an＝3n－1，所以a4＋a2＝5，a8＋a6＝17，a12＋a10＝29，a16＋a14＝41，所以a2＋a4＋a6＋a8＋a10＋a12＋a14＋a16＝92.因为数列{an}的前16项和为540，所以a1＋a3＋a5＋a7＋a9＋a11＋a13＋a15＝540－92＝448.①因为当n为奇数时，an＋2－an＝3n－1，所以a3－a1＝2，a7－a5＝14，a11－a9＝26，a15－a13＝38，所以(a3＋a7＋a11＋a15)－(a1＋a5＋a9＋a13)＝80.②由①－②得a1＋a5＋a9＋a13＝184.又a3＝a1＋2，a5＝a3＋8＝a1＋10，a7＝a5＋14＝a1＋24，a9＝a7＋20＝a1＋44，a11＝a9＋26＝a1＋70，a13＝a11＋32＝a1＋102，所以a1＋a1＋10＋a1＋44＋a1＋102＝184，所以a1＝7.14．若数列{an}满足an＋an＋1＝2n+2+n，则S2n+1－1解：因为an＋an＋1＝2n+2+n所以S2n＝(a1＋a2)＋(a3＋a4)＋…＋(a2n－1＋a2n)＝(3-1)＋(5-3)＋(7-15．在等差数列{an}中，已知a6＝12，a18＝36.(1)求数列{an}的通项公式