关于麦克斯韦方程的讨论

关于麦克斯韦方程的讨论

在《普通物理》一书中，有两个层次。1)变化的磁场激发涡旋电场,变化的电场激发涡旋磁场.2)位移电流与传导电流以同样规律(方式)激发磁场.经常有人把这两个提法联系在一起,甚至混为一谈.其实提法1)基本正确,但提法2)是不对的.有关提法2)的不当已有多篇文章论述,然而在物理教学界的同仁中对此还存在着一些异议,本文将对此问题作进一步的论述.麦克斯韦方程组Δ⋅E=ρ/ε0Δ×E=0Δ⋅B=0Δ×B=μ0(j+∂D∂t)}(1)在稳恒情况(∂/∂t=0)下的解为:E(r)=14πε0∭ρ(r′)eRR2dV′(库仑定律)B(r)=μ04π∭j(r′)×eRR2dV′(毕奥-萨伐尔定律)}(2)式中R=r-r′,eR为其单位矢量.在迅变情况下的普遍解为:E(r,t)=14πε0∭([ρ]eRR2+∂[ρ]∂teRRc-∂[j]∂tRc2)dV′B(r,t)=μ04π∭([j]×eRR2+∂[j]∂t×eRRc)dV′}(3)式中[…]表示有推迟效应,即{[ρ]=ρ(r′,t-Rc)[j]=j(r′,t-Rc)式(3)中两式分别称为Jefimenko广义库仑定律和广义毕奥-萨伐尔定律,可由矢势A和标势φ的推迟解导出,详见文献.式(2)到式(3)是怎样过渡的?为了说明这一点,我们按1/c的幂次将式(3)展开:E(r,t)=∞∑n=-1En(r,t)B(r,t)=∞∑n=0Bn(r,t)}(4)其中En(r,t)=(-1)nn(n+1)!14πε0cn+1⋅∭[∂n+1ρ∂tn+1RRn-2+(n+1)∂nj∂tnRn-2]dV′Bn(r,t)=(-1)n-1(n-1)n!μ04πcn⋅∭∂nj∂tn×RRn-3dV′}(5)(见文献).各阶场矢量满足的场方程为:Δ⋅E-1=ρ/ε0Δ×E-1=0Δ⋅B0=0Δ×B0-1c2∂E-1∂t=μ0j}(6)及Δ⋅En=0Δ×En+∂Bn-1∂t=0Δ⋅Bn=0Δ×Bn-1c2∂En-1∂t=0}(n=1,2,3,⋯)(7)其中式(6)是似稳条件下的麦克斯韦方程组.若注意到ε0μ0=1/c2,第四式中的位移电流项可写成通常熟悉的形式:1c2∂E∂t=ε0μ0∂E∂t=μ0∂D∂t按照式(5),式(6)的解为:E-1(r,t)=14πε0∭ρ(r′,t)eRR2dV′B0(r,t)=μ04π∭j(r′,t)×eRR2dV′}(8)亦即,除了场源ρ(r,t)和j(r,t)随时间变化外,此解的形式与稳恒情形的库仑定律和毕奥-萨伐尔定律式(2)一模一样,式中的j(r,t)只是传导电流,不包括位移电流.这种形式的解已能满足包含位移电流项的式(6)了,无需画蛇添足地在毕奥-萨伐尔公式中加上位移电流项.如若不信,我们不妨将式(8)直接代入式(6)试试.它们满足前三式是没有问题的,只看第四个方程.取式(8)中B0(r,t)的旋度:Δ×B0(r,t)=μ04π∭Δ×[j(r′,t)×eRR2]dV′=μ04π∭{j(r′,t)Δ⋅(eRR2)-[j(r′,t)⋅Δ]eRR2}dV′(9)式(9)积分第一项中Δ⋅(eRR2)=4πδ(R)=4πδ(r-r′)积分后此项对Δ×B0(r,t)的贡献为μ0j(r,t).式(9)积分第二项中-[j(r′,t)⋅Δ]eRR2=[j(r′,t)⋅Δ´其中,前一项是并矢的散度,其体积分可化为无穷远的面积分,在似稳情形下等于零.按电荷的连续方程,后一项中-Δ´⋅j(r′,t)=∂ρ(r′,t)∂t积分后此项对Δ×B0(r,t)的贡献为ε0μ0∂E-1(r,t)∂t.综上所述,式(9)化为Δ×B0(r,t)=μ0j(r,t)+ε0μ0∂E-1(r,t)∂t这就是似稳麦克斯韦方程组式(6)中的第四式.以上的推导又一次印证了文献的结论:如果在毕奥-萨伐尔公式中加上位移电流项:B0(r,t)=μ04π∭[j(r′,t)+∂D/∂t]×eRR2dV′(10)则在似稳条件下该项在全空间的积分贡献恒为零.所以从毕奥-萨伐尔形式的解式(10)看,位移电流总不激发磁场.那么,为什么不直接从微分方程组式(6)中的第四式看问题呢?的确,在这个式子里位移电流项是不能抹掉的,否则该式左端的散度恒等于零,右端的散度不一定为零.它在数学上就不能成立.在该式中位移电流的作用是把右端传导电流的散度抵消掉,这两者对激发磁场都不起作用.最后剩下有旋的传导电流激发磁场.此外,我们也不能只看到在此式中位移电流项与传导电流项的地位相当,因为电磁过程是由全套的麦克斯韦方程组联合决定的.从四个方程总体看,j与E(或者说∂E/∂t)的地位是不相当的.现在我们跨出似稳情形,向迅变情形过渡.首先应注意到,从式(5)可以看出,E0=0,B1=0,在场矢量的幂次展开式中跳过一级,从E1和B2重新开始向高阶延伸.下面几阶的微分方程和相应的解为:E1(r,t)=-14πε0c2∭[12∂2ρ∂t2RR-∂j∂t1R]dV′B2(r,t)=-μ04πc2∭12∂2j∂t2×RRdV′}(11)E2(r,t)=14πε0c3∭[13∂3ρ∂t3+∂2j∂t2]RdV′B3(r,t)=μ04πc3∭13∂3j∂t3×RdV′}(12)从微分方程式(7)的形式看,除了一个负号和数量级之差外,电矢量和磁矢量所处的地位基本上是对称的.本文开头引用的提法1)描述的正是这些微分方程组所表达的意思.不过我们应注意到,耦合在同阶的微分方程组中电矢量与磁矢量是不同阶的,这表明它们的数量级是不同的.可以看出,阶数n相同的磁矢量比电矢量高一个1/c量级.我们还应注意到,微分方程组中所有的旋度方程都等于零.磁矢量本来就纯粹是涡旋场,但无旋的电场(似稳的库仑电场)就被排除在外了,不参加激发磁场的过程.所以更确切地说,提法1)应改为:1′)变化的涡旋磁场激发涡旋电场,变化的涡旋电场激发涡旋磁场.而传导电流根本就没有参加到这些方程组中,所以在这里谈不上变化的涡旋电场(即涡旋位移电流)与传导电流以同样方式激发磁场.如果从解式(11)、(12)、…看,传导电流确实参与了,但这里连位移电流的影子也没有,更谈不上它与传导电流以同样方式激发磁场了.最后对本文的思想作如下小结:(a)在麦克斯韦方程组中电矢量与磁矢量的地位是不对称的,这表现在两个地方:一是电矢量具有无旋和有旋两部分,而磁矢量没有无旋部分;二是两者的数量级不同.(b)从似稳情形到迅变情形过渡,中间有一阶的跳跃.电矢量的无旋部分和有旋部分分别参与两种情形.(c)在似稳情形中,若从毕奥-萨伐尔形式的预解式看问题,位移电流不激发磁