2021年高考数学真题逐题解析与类似题型练习第10题 平面 向量的数量积（解析）

第10题平面向量的数量积

■'＞原题呈现

【原题】已知。为坐标原点，点片(cosa,sina)，6(cosP，-sin0，A(cos(a+/7),sin(a+0),A(l,O),

则()

A.|西卜网B.冏=阳

C.OAOP^OP.OP,D.丽•丽=漉•丽

【答案】AC

【解析】由O/f=(cosa,sintz).OE=(cos/?,—sin尸)，可得|。制=曰=1,故A正确；

|丽|=^/(cosa-1)2+sin2a=Jcos2a-2cosa+l+sin?a-J2(l-cosa)=^4sin2y=21si吟|,

同理IAg1=V(cos/7-l)2+sin2^=21sin，|J斯而|不一定相等，故B错误：

由OAOPi-1xcos(tz+p)+Oxsin(cr+/3)-cos(a+p),

OR.Og=cosa-cos尸+sine•(—sin夕)=cos(a+1),可得C正确；

由=lxcosa+Oxsina=cosa.Og。鸟=cos/3xcos(a+^)+(-sinp)xsin(a+p)

=cos(B+(a+B))=cos(a+2p),砺•西，函•就不一定相等,D错误，故选AC

【就题论题】本题涉及平面向量的数量积及坐标运算，又涉及三角变换，在知识交汇处命题，背景较新颖，能有

效考查考生分析问题解决问题的能力，是一道难度适中的好题，熟悉新教材必修二(A版)的同学们应该知道

P35有利用向量证明两角差余弦公式的例题，该题应该是由此题改编而成.

二、考题揭秘

【命题意图】本题考查平面向量的数量积及坐标运算、三角变换，考查数学运算、逻辑推理及数学抽象的核

心素养.难度：中等

【考情分析】平面向量是高考数学必考知识点，一般以客观题形式考查，热点是平面向量的线性运算及平面向

量的数量积,可以是容易题，也可以是中等难度题,中等难度题常用平面几何、不等式等知识交汇考查.

【得分秘籍】

(1)向量的夹角

已知两个非零向量a和"作况=a,彷=b,则/408就是向量a与b的夹角，向量夹角的范围是：［0,兀］.

(2)平面向量的数量积

设两个非零向量⑪的夹角为。，则数量⑷网<os。叫做a与b的数量

定义

积，记作ab

\a\cos0叫做向量a在b方向上的投影，

投影

\b\cos9叫做向量b在a方向上的投影

几何意义数量积ab等于a的长度⑷与〃在a的方向上的投影步|cos。的乘积

(3)平面向量数量积的性质

设a,b都是非零向量,e是单位向量£为。与"或e)的夹角.则

①e・a=a-e=|a|cos。.

@al.b^ab=O.

③当。与方同向时,a乃=|a|步|；当a与b反向时,a»=—⑷向.

特别地,a-a=|aF或同=如立

a，b

④8$。=丽，

®\a-b\<\a\\b\.

(4)平面向量数量积有关性质的坐标表示

①设向量a=(xi,yD,B=(X2,y2),则a仍=制及+»丫2,由此得到

若a=(x,y),则心|2=3+产或闷=衽阡^.

②设A(XI,)，I),B(X2J2),则A,B两点间的距离AB=\Ah\=-*2)~+(,一.

③设两个非零向量a力,a=(xi,yi),b=(x2,)2),则a±Z><^viX2+yiy2=0.

④若a.b都是非零向量,6是a与b的夹角，则cos0=^=/

倒叼y/x彳必+出

⑸两个向量a,b的夹角为锐角口山>0且a,b不共线；两个向量a,b的夹角为钝角田山<0且a,b不共线.

(6)平面向量数量积求解问题的策略

n*h

①求两向量的夹角：cose=］^而，要注意。£［0,兀］.

|u||£/|

②两向量垂直的应用：两非零向量垂直的充要条件是：a±b^a-b=0^a-b\=\a+b\.

③求向量的模：利用数量积求解长度问题的处理方法有：a2=au=|a|2或⑷=^^泡±臼=402±2“山+於；若4

=(x,y),则|a|=v^+y.

(7)平面向量数量积的四种运算方法：①定义法，要注意两个向量的夹角.②坐标法，引入直角坐标系，明确向量

的坐标进行运算.③利用向量数量积的几何意义，注意一个向量在另一向量上的投影是数量.④运用平方的

技巧.

(8)向量与平面几何的综合问题，往往要数形结合，借助平面几何的知识解题.(2)根据数量积求模或参数的值

(范围)问题的一般方法：①基底法，②坐标法.

(9)向量与函数、三角函数的综合题,多通过考查向量的线性运算、向量共线的充要条件、平面向量的基本定

理及数量积等来直接考查函数的基本概念，函数、三角函数的图象与性质，三角变换等内容.此类题目中，向量

往往是条件的载体,题目考查的重点仍是函数、三角函数,熟练掌握向量的概念和基本运算是解决问题的前

提.若题目条件给出向量的坐标中含有三角函数的形式,运用向量共线或垂直或等式成立等，得到三角函数的

关系式，然后求解.若给出用三角函数表示的向量坐标，要求的是向量的模或者其他向量的表达形式，解题思路

是经过向量的运算,利用三角函数在定义域内的有界性，求得值域等.

(10)向量在解析几何中的“两个”作用：(1)载体作用：向量在解析几何问题中出现,多用于“包装”,解决此类问

题的关键是利用向量的意义、运算脱去“向量外衣”,导出曲线上点的坐标之间的关系,从而解决有关距离、斜

率、夹角、轨迹、最值等问题.(2)工具作用：利用彷=0(“力为非零向量),a〃b=a=M(厚0),可解决

垂直、平行问题,特别地，向量垂直、平行的坐标表示对于解决解析几何中的垂直、平行问题是一种比较优越

的方法.

【易错警示】

(1)a±b<^x\X2+yi>2=0与a〃6田屯-及y=0混淆

(2)误认为两个向量的夹角为锐角ua6>0；两个向量a力的夹角为钝角<=»力<0.

(3)与平面几何有关的向量问题，向量的夹角求错，如4ABC中误认为而，配夹角为NABC.

三、以例及类

(以下所选试题均来自新高考I卷地区2020年1-6月模拟试卷)

一、单选题

1.(2021河北省邯郸市高三二模)已知向量1=(一2,6)石=(l,x),若［与B反向，则7(3£+杨=()

A.-30B.30C.-100D.100

【答案】D

【解析】由已知得々与行共线，则—2xx=lx6,解得x=—3,所以坂=(1,—3),

所以g+B=3(-2,6)+(1,-3)=(-5,15),因此7(32+5)=(-2,6)-(-5,15)=100.

故选D.

2.(2021湖北省武汉市高三5月质量检测)已知向量£=(1,3),则下列向量中与£垂直的是()

A.(0,0)B.(-3,-1)C.(3,1)D.(-3,1)

【答案】D

【解析】对于A选项，零向量与任何非零向量平行,A选项不满足条件；

对于B选项,♦.♦1X（—3）+3X（-1）=-6HO.B选项不满足条件；

对于C选项,•••1X3+3X1=6HO.C选项不满足条件；

对于D选项,・.Tx（―3）+3x1=0,D选项满足条件.故选D.

3.（2021江苏省南通市高三5月四模）已知向量£=（sinai）,B=（2sin，,T）闰£_LB,则cos26=（）

1/?

A.0B.—C.—D.-1

22

【答案】A

【解析】由Z'B有2sil6—1=0,化简有cosM=0.故选A.

4.（2021山东省日照市高三第二次模拟）已知同=夜,忖=4,当必卜3叫时，向量£与石的夹角为（）

A兀c乃-24r3兀

A.-B.-C.—D.—

6434

【答案】B

【解析】•.不“4a—可=欠=4,.・同44一可=0,即4部一万=4£石一同=0..•.标=4，

-ya,b44

•1•cos<a/>=雨=反］=万,所以向量£与石的夹角为I，故选B.

____________UUU1UUU1UUU1

5.（2021山东省局考考前热身押题）已知向量OM，OM，OP的模长均为2,且满足20M+20N+30P=0，

则AA/•闲的值为（）

A192321

A-TB.—c.D.5

2T

【答案】c

(uuuruuin、uin<|UUIT|2IUUUTi2uuiruuir、_____.2

【解析】•••2|OM+ON\=-3OP,:.4OM+ON+20”.ON=9x4、OMON二

-2

uuiruuii/iiuiruun、/iiumuun、uuiruuuium/uuiruumx

PM•PN=[OM-OP\-(ON-OP\^OMON-OP-lOM+ON\+

juin/3uun\J321

=OP•-2OP+4=—+^x4+4=—.故选C

2I2J222

6.（2021湖南省衡阳市高三下学期考前预测）已知。是边长为2的正六边形A5C0EF边上一动点，则

APAB()

A.最大值是4+2百，最小值是4-26B.最大值是6,最小值是-2月

C.最大值是6,最小值是-2D.最大值是4+20，最小值是一2

【答案】C

【解析】

AB的模为2,根据正六边形的特征，当尸和C重合时，投影最大，作CM±AB的延长线于M，可以得到AP

在AB方向上的投影最大值AM长是3,

同理当P和F重:合时，可以得到衣在通方向上的投影最小值是-1,

结合向量数量积的定义式，可知Q.通等于血的模与衣在而方向上的投影的乘积，所以而.AB的最

大值是6,最小值是-2.故选C

7.（2021湖北省黄冈中学高三下学期第三次模拟）己知△ABC是边长为4的等边三角形，且丽=2反,E

为AO中点厕丽.苑（）

48

A.—2B.---C.-D.—

【答案】B

【解析】正8c中,NABC=60.而•前=1丽卜|反；|85/43。=44（：056（）=8,

__._____1———1一12—­1—I—

因3Q=2OC,E为AD中点，则8E=5（8A+8O）=58A+548C=Q8A+HBC，AC=8C_8A，

则而玄=（,丽+,而）（而-函）=」丽2+,丽•而+」步4

23263633

故选B

8.（2021湖北省黄冈市高三高考适应性考）已知平面上三个不同的点MF,P,若赤•夜=|访『，则（）

A.PMA.PFB.PM上MF

C.PMPF<0D.PMPF>0

【答案】A

【解析】因为标=砺+而,所以赤.砺=（砺+而＞血=讲2+而.丽=丽:所以

方•丽=0,所以RW-LQF.故选A.

9.（2021河北省沧州市高三三模）已知非零向量。石满足W卜及同，且（2-与乂3万+25）,则々与B的

夹角为（）

A.45°B.135°C.60D.1200

【答案】B

【解析】•.♦（a-B）_L（3万+25）,:.（。一5）・（3万+25）=0.

即3a2-a-b-2b2=3\af-\a\■|^|cos<a,b>-2际=0,又同=夜同且同00,

3|a|'-y/2\a^cos<a,b>-4|a|'=一同?一正同一cos<1,5>=0.

cos<a,b>=~~~，又<>e[0,句,.，.<@石>=与,即<a,b>=135.故选B.

10.（2021福建省厦门市高三5月二模）已知工石是相互垂直的单位向量，与共面的向量。满足

a-c=B-c=2,则c的模为（）

A.&B.2C.272D.2G

【答案】C

【解析】3%是相互垂直的单位向量,不妨设£=（1,0）石=（0,1）.设"=（x,y）

山a=。。=2，可得"=y=2,即c=（2,2）则c的模为卜卜A/2_+2-=2-$/2,

故选C

11.（2021广东省深圳市高三下学期第五次统一考试）窗花是贴在窗纸或窗户玻璃上的剪纸,是中国古老的

传统民间艺术之一.每年新春佳节，我国许多地区的人们都有贴窗花的习俗，以此达到装点环境、渲染气氛的

目的,并寄托着辞旧迎新、接福纳祥的愿望.图一是一张由卷曲纹和回纹构成的正六边形剪纸窗花，已知图二

中正六边形ABCDER的边长为4,圆。的圆心为正六边形的中心，半径为2,若点P在正六边形的边上运动，

MN为圆。的直径，则两.丽的取值范围是（）

AP

A.[6,12]B.[6,16]C.[8,12]D.[8,16]

【答案】C

【解析】

如下图所示，由正六边形的几何性质可知,△03、AOBC、AOCD、AODE、AOEF、AOFA均为边长为

4的等边三角形，

当点P位于正六边形ABCDEF的顶点时.,|司|取最大值4,

当点P为正六边形各边的中点时,|词|取最小值，即|pd|m,n=4siny=2V3,

所以，叫e[2月,4]

所以，丽•丽=（而+两）•（用+而）=（用+两'）•（所-两）=用2_46[8,12].故答案为

[8,12].

12.（2021江苏省六校高三下学期第四次适应性联考）已知向量&"忖=1,且对任意年7?,归-©即

恒成立，则（）

A.aleB.cil（a-e）

c.川力）D,（a+e）±（a-；）

【答案】C

[解析]由即得⑻—2晶；+（@2伍）2_2£."+0）2

即产一2G•工+27工一120对任意reR恒成立，所以（―2£可一4（27工—1）40.仅•2—1『=0,所以

£.工=1,所以A错误;由W=1得I."=BHqcos(£©=问cos(£©=1,由

。,(。-6)=4七一4・6=卜|一1。0,所以8错误；由e^(a-e)=e^a-e^e=l—l=O,得e_L(a—e),所以C

正确：

由(Q+e)・(£—")=(a)2-(e)2=@一1w0,所以D错误.故选C.

13.(2021山东省烟台市高三第一次联考)如图,在平行四边形A8CO中,M是BC的中点，且A0=OM,N是线

段8。上的动点，过点N作AM的垂线，垂足为H,当丽7.丽最小时，阮=()

A.-AB+-ADB.-AB+-AD

4442

1—3—3—1—

C.-AB+-ADD.-AB+-AD

2442

【答案】C

【解析】•/AM.l^^AM\\MN\cos<AM,MN>,

山图易知,向量而所成的角为钝角，

所以cos<而，而7><0,

-.•NH±AM.

AM>MN=-\AM\\MH，|,当AM.MN最小时,MH的模最大，

数形结合易知点N与点£>重合时，丽的模最大，即AM.MN最小，

-,-AD=DM.DH±AM,

是AM的中点，

—.——.—.1-------1—.1—.1—.1—.1—.3—•1—»3—•

则HC=HM+MC=-AM+—8C=—(AB+—BC)+—8C=—AB+—8C=—AB+—A£).

222222424

故选c.

二、多选题

14.（2021江苏省盐城市高三下学期5月第三次模拟）将平面向量7=（%,W）称为二维向量，由此可推广至〃

维向量九=（%,々）.对于〃维向量£,B,其运算与平面向量类似，如数量积a-b=\a\Wcos0=^jxiyi

（。为向量£石的夹角），其向量£的模向=)

/..\z..、/..\2

A.不等式।不立&]可能成立

\n八〃)\«)

B.■圜胆小但翻］一定成立

〈八）\n）\/1/

c.不等式〃

n]n

D.若玉,0(i=1,2,…,n)，则不等式Z—Z善N"一定成立

i=lxi/=1

【答案】ABD

【解析】对于A,令a=a，孙…,x.）,B=（y,必，…,％），

因为kqW卜帆,所以kJ+9%+…+X“y,K"，+虫+…+xj-J城+%:+…+%2,

所以仕工,yj«£w，当且仅当五=五=…=z时取等号，所以A,B正确，

3=1）r=ii=lX%y〃

对于c令/）石=（1,1「、1），因为“I第W，所以

,+々+…+X/W+…+X：•〃,所以〃工苞22£Xj，所以C错误:

n]n

，所以川,所以D正确，故选ABD

/=1Xji=\

15.（2021江苏省七市高三下学期第三次调研）在“6c中,M是8C的中点，若丽=£,衣=5，则।“加卜

()

B-;卜+q

D.-7«2+b

2

【答案】BC

【解析】由题意，在AABC中，"是6C的中点，

根据平面向量的平行四边形法则，可得RW=｝通+恁）=10+为，

22

所以,而卜；忖+母

又由;小2（1+片）_,_石）=3Jj+2防+户=4”+同.故选BC.

16.（2021江苏省苏州市高三下学期三模）已知AABC是边长为2的正三角形，该三角形重心为点G,点P

为AABC所在平面内任一点，下列等式一定成立的是（）

A.\AB+AC\=2B.ABAC^2

C.PA+PB+PC=3PGD.\AB+BC\=\AB+CB\

【答案】BC

【解析】因为AABC是边长为2的正三角形，

所以|福+衣|=J（而+就『=>/丽？+2丽.而+/2=12x2x2xg+4=26,故A不正确;

A区恁=|A£j|・|恁|以%/区4。=2乂2、!=2,故8正确；

2

___2]_____।______

根据重心的性质可得AG=-—（AB+AC）=-（AB+AC）,

323

所以3可一3丽=丽一两+无一⑸，

所以3可=苏+而+定，故C正确；

因为|而+及|=|/匕2,

\AB+CB\=J（丽+方）=｛演2+流卡2演・丽=/+4+2x2x2xg=26,故D不正确.故选

BC

17.（2021华大新高考联盟高三下学期3月教学质量测评）已知边长为4的正方形ABCD的对角线的交点

为。，以0为圆心,6为半径作圆；若点E在圆。上运动，则（）

A.EAEB+EBEC+ECED+EDEA=12B.EA-EC+EB-ED=56

C.EAEB+EBEC+ECED+EDEA^\44^>-EAEC+EBED^2S

【答案】BC

【解析】作出图形如图所示，以0为坐标原点，

线段BC.AB的垂直平分线分别为x、丁轴建立平面直角坐标系xOy；

观察可知,A（-2,-2）,B（2,-2）,C（2,2）,D（-2,2）,

设E（x,y）,则/+>2=36,

故丽=（_2_x,_2_y）.丽=（2_x,_2_y）,或=（2-x,2_y）,

故丽=（-2-x,2-y）.

故西•丽+丽辰+反•丽+丽•丽

=（EA+ECy（EB+ED）=4EO2=\44,

EAEC+EBED^56

故选BC

JT

18.（2021河北省张家口市高三下学期阶段模拟）已知£不是平面上夹角为1的两个单位向量，"在该平面

上，且（£-cHb-2）=0,则下列结论中正确的有（）

rr

A.|a+^|=1B,a-b=1

C.忖<百D.3+B,2的夹角是钝角

【答案】BC

【解析】如图，砺=£.而^b]OA\=\OB\=1.ZA08=（,则卜|。4卜1，即卜-8|=1.B正确；

4=",由（£-c）（b-2）=0得6C_LAC.点。在以A6直径的圆上（可以与AB重合）.A6中点是M,

则.+q=|2OM卜G,A错；

，=\OC\的最大值为+|A/C|=#+g〈百,C正确；

£+B与丽同向，由图・丽与"的夹角不可能为钝角.D错误.故选BC.

19.（2021湖北省部分重点中学高三联考）对于给定的△A6C,其外心为0,重心为G,垂心为H,则下列结

论正确的是（）

■.1,2

A.AOAB=-AB

2

B.OAOB=OAOC=OBOC

过点G的直线/交回、AC于区?若通一通'通=〃/,则9+5=3

C.

AB

D.而与-----------F短F共线

cos3

【答案】ACD

【解析】

A

BC

如图，设AB中点为M,则^\AM\

』而「，故A正确;

AO-AB=|AO||AB|COSZOAS=网（厢IcosZOABH超

OAOB=OAOC等价于OA（OB-OC]=0等价TOA.CB=0,即3，BC.

对于一般三角形而言，。是外心,OA不一定与BC垂直，比如直角二角形ABC中,

若B为直角顶点，则0为斜边AC的中点,0A与8C不垂宜.故B