北京市西城区2022年九年级上学期《数学》期末试卷与参考答案

北京市西城区2022年九年级上学期《数学》期末试卷与参考答案一、选择题共16分，每题2分。第1-8题均有四个选项，符合题意的选项只有一个．1.古典园林中的窗户是中国传统建筑装饰的重要组成部分，一窗一姿容，一窗一景致．下列窗户图案中，是中心对称图形的是（）A. B. C. D.答案：C2.二次函数的图象的顶点坐标是（）A. B. C. D.答案：D3.如图，点，，在上，是等边三角形，则的大小为（）A.60° B.40° C.30° D.20°答案：C4.将一元二次方程通过配方转化为的形式，下列结果中正确的是（）A. B. C. D.答案：A5.如图，是正方形的外接圆，若的半径为4，则正方形的边长为（）A.4 B.8 C. D.答案：D6.生活垃圾无害化处理可以降低垃圾及其衍生物对环境的影响．据统计，2017年全国生活垃圾无害化处理能力约为2.5亿吨，随着设施的增加和技术的发展，2019年提升到约3.2亿吨．如果设这两年全国生活垃圾无害化处理能力的年平均增长率为，那么根据题意可以列方程为（）A. B.C. D.答案：C7.下列说法中，正确的是（）A.“射击运动员射击一次，命中靶心”是必然事件B.事件发生的可能性越大，它的概率越接近1C.某种彩票中奖的概率是1%，因此买100张该种彩票就一定会中奖D.抛掷一枚图钉，“针尖朝上”的概率可以用列举法求得答案：B8.抛物线的顶点为，且经过点，其部分图象如图所示.对于此抛物线有如下四个结论：①；②；③；④若此抛物线经过点，则一定是方程的一个根．其中所有正确结论的序号是（）A.①② B.①③ C.③④ D.①④答案：B二、填空题9.在平面直角坐标系中，点关于原点的对称点坐标为_______．答案：（-4，7）10.关于的一元二次方程有一个根为1，则的值为________．答案：-511.如图1所示的铝合金窗帘轨道可以直接弯曲制作成弧形．若制作一个圆心角为160°的圆弧形窗帘轨道（如图2）需用此材料mm，则此圆弧所在圆的半径为________mm．答案：90012.写出一个开口向下，且对称轴在轴左侧的抛物线的表达式：_______．答案：y=-x2-2x+113.如图，在平面直角坐标系中，点，，的横、纵坐标都为整数，过这三个点作一条圆弧，则此圆弧的圆心坐标为_______．答案：（2，1）14.如图，在平面直角坐标系中，抛物线可以看作是抛物线经过若干次图形的变化（平移、轴对称、旋转）得到的，写出一种由抛物线得到抛物线的过程：_______．答案：抛物线先向右平移4个单位，再关于直线轴对称得到抛物线．15.如图，将绕点顺时针旋转得到，点的对应点恰好落在边上，则_______．（用含的式子表示）答案：16.如图，在中，，是内的一个动点，满足．若，，则长的最小值为_______．答案：2三、解答题共68分，第17-18题，每题5分，第19题6分，第20题5分，第21题6分，第22-24题，每题5分，第25-26题，每题6分，第27-28题，每题7分。解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程．17.解方程：．答案：∴原方程的解为18.问题：如图，是的直径，点在内，请仅用无刻度的直尺，作出中边上的高.小芸解决这个问题时，结合圆以及三角形高线的相关知识，设计了如下作图过程．作法：如图，①延长交于点，延长交于点；②分别连接，并延长相交于点；③连接并延长交于点．所以线段即为中边上的高．（1）根据小芸的作法，补全图形；（2）完成下面的证明．证明：∵是的直径，点，在上，∴________°．（______）（填推理的依据）∴，．∴，________是的两条高线．∵，所在直线交于点，∴直线也是的高所在直线．∴是中边上的高．答案：（1）如图，CH为△ABC中AB边上的高；（2）证明：∵是的直径，点，在上，∴___90_°．（__直径所对的圆周角是直角_）（填推理的依据）∴，．∴，_BD__是的两条高线．∵，所在直线交于点，∴直线也是的高所在直线．∴是中边上的高．故答案为：90，直径所对的圆周角是直角，BD．19.已知二次函数．（1）求此函数图象的对称轴和顶点坐标；（2）画出此函数的图象；（3）若点和都在此函数的图象上，且，结合函数图象，直接写出的取值范围．答案：（1）∵抛物线解析式为，∴抛物线对称轴为直线，顶点坐标为（-2，-1）；（2）列表如下：…-4-3-2-10……30-103…函数图像如下所示：（3）由函数图像可知，当时，或．20.如图，在正方形中，射线与边交于点，将射线绕点顺时针旋转，与的延长线交于点，，连接．（1）求证：；（2）若，，直接写出的面积．答案：（1）∵四边形ABCD是正方形∴AD=AB=BC=CD，∴在和中，∴∴（2）由（1）得∴，∴∴是等腰直角三角形，在Rt△ADE中，，，∴AE=2DE=4∴AF=4∴21.已知关于的一元二次方程．（1）求证：此方程总有两个实数根；（2）若此方程恰有一个根小于，求的取值范围．答案：（1）证明：∵在方程中，Δ=[-（k+5）]2-4×1×（6+2k）=k2+2k+1=（k+1）2≥0，

∴方程总有两个实数根．

（2）解：∵，

∴x1=2，x2=k+3．

∵此方程恰有一个根小于，

∴k+3＜-1，解得：k＜-4，

∴k的取值范围为k＜-4．22.有甲、乙两个不透明口袋，甲口袋中装有两个相同的球，它们分别写有数，2；乙口袋中装有三个相同的球，它们分别写有数，，5．小明和小刚进行摸球游戏，规则如下：先从甲口袋中随机取出一个球，其上的数记为；再从乙口袋中随机取出一个球，其上的数记为.若，小明胜；若，为平局；若，小刚胜．（1）若，用树状图或列表法分别求出小明、小刚获胜的概率；（2）当为何值时，小明和小刚获胜的概率相同？直接写出一个符合条件的整数的值．答案：（1）画树状图如下：∵一共有6种可能的结果，，有2种可能，，有3种可能，∴小明获胜的概率=2÷6=，小刚获胜的概率=3÷6=；（2）当m=-1时，画树状图如下：此时，小明和小刚获胜的概率相同．23.如图，，是的两条切线，切点分别为，，连接并延长交于点，过点作的切线交的延长线于点，于点．（1）求证：四边形是矩形；（2）若，，求的长.．答案：（1）证明：∵，DE是的两条切线，于点∴∠EFC=∠EDC=∠FCD=90°，∴四边形是矩形；（2）∵四边形是矩形，∴EF=，CF=，∵，，DE是的两条切线，∴AB=AC，BE=DE，设AB=AC=x，则AE=x+2，AF=x-2，在中，，解得：x=5，∴AC=5．24.某篮球队员的一次投篮命中，篮球从出手到命中行进的轨迹可以近似看作抛物线的一部分，表示篮球距地面的高度（单位：m）与行进的水平距离（单位：m）之间关系的图象如图所示．已知篮球出手位置与篮筐的水平距离为4.5m，篮筐距地面的高度为3.05m；当篮球行进的水平距离为3m时，篮球距地面的高度达到最大为3.3m．（1）图中点表示篮筐，其坐标为_______，篮球行进的最高点的坐标为________；（2）求篮球出手时距地面的高度．答案：（1）由题意得：点坐标为（4.5，3.05），的坐标为（3，3.3），故答案是：（4.5，3.05），（3，3.3）；（2）设抛物线的解析式为：，把点坐标（4.5，3.05），代入得，解得：，∴当x=0时，，答：篮球出手时距地面的高度为2.3米．25.如图，是的直径，四边形内接于，是的中点，交的延长线于点．（1）求证：是的切线；（2）若，，求的长．答案：（1）证明：连接OD，∵是的中点，∴∠ABC=2∠ABD，∵∠AOD=2∠ABD，∴∠AOD=∠ABC，∴OD∥BC，∵，∴，∵OD为半径∴是的切线；（2）连接AC，交OD于点F，∵AB是直径，∴∠ACB=90°，∴AC=，∵是的中点，∴OD⊥AC，AF=CF=3，∴，∴DF=5-4=1，∵∠E=∠EDF=∠DFC=90°，∴四边形DFCE是矩形，∴DE=CF=3，CE=DF=1，∴，∴AD=CD=，∵∠ADB=90°，∴26.在平面直角坐标系中，抛物线的顶点为A，．（1）若，①点A到轴的距离为_______；②求此抛物线与轴的两个交点之间的距离；（2）已知点A到轴的距离为4，此抛物线与直线的两个交点分别为，，其中，若点在此抛物线上，当时，总满足，求的值和的取值范围．答案：（1）①当时，，∴抛物线的顶点坐标为，∴点A到轴的距离为8；②令，即，解得：，∴此抛物线与轴的两个交点为，∴此抛物线与轴的两个交点之间的距离为；（2）∵点A到轴的距离为4，∴，解得：，①当时，∴抛物线为，∵此抛物线与直线的两个交点分别为，，其中，∴，即，∴，解得：，把，，联立得：，解得：，∵点在此抛物线上，当时，总满足，∴抛物线对称轴在点的右侧，∴，∴，∵．∴的取值范围为．②当时，∴抛物线为，∵此抛物线与直线的两个交点分别为，，其中，∴，即，∴，解得：，把，，联立得：，解得：，∵点在此抛物线上，当时，总满足，∴抛物线对称轴在点的左侧，∴，∴，∴，∵．∴无解．综上，，取值范围为．27.如图1，在中，，，点，分别在边，上，，连接，，．点在线段上，连接交于点．（1）①比较与的大小，并证明；②若，求证：；（2）将图1中的绕点逆时针旋转，如图2．若是的中点，判断是否仍然成立．如果成立，请证明；如果不成立，请说明理由.答案：（1）①∠CAE=∠CBD，理由如下：在△CAE和△CBD中，，∴△CAE≌△CBD（SAS），∴∠CAE=∠CBD；②∵CF⊥AE，∴∠AHC=∠ACB=90°，∴∠CAH+∠ACH=∠ACH+∠BCF=90°，∴∠CAH=∠BCF，∵∠DCF+∠BCF=90°，∠CDB+∠CBD=90°，∠CAE=∠CBD，∴∠BDC=∠FCD，∠CAE=∠CBD=∠BCF，∴CF=DF，CF=BF，∴BD=2CF，又∵△CAE≌△CBD，∴AE=2BD=2CF；（2）AE=2CF仍然成立，理由如下：如图所示延长DC到G使得，DC=CG，连接BG，由旋转的性质可得，∠DCE=∠ACB=90°，∴∠ACD+∠BCD=∠BCE+∠BCD，∠ECG=90°，∴∠ACD=∠BCE，∴∠ACD+∠DCE=∠BCE+∠ECG，即∠ACE=∠BCG，又∵CE=CD=CG，AC=BC，∴△ACE≌△BCG（SAS），∴AE=BG，∵F是BD的中点，CD=CG，∴CF是△BDG的中位线，∴BG=2CF，∴AE=2CF．28.在平面直角坐标系中，的半径为1，点在上，点在内，给出如下定义：连接并延长交于点，若，则称点是点关于的倍特征点．（1）如图，点的坐标为．①若点的坐标为，则点是点关于的_______倍特征点；②在，，这三个点中，点_________是点关于的倍特征点；③直线经过点，与轴交于点，.点在直线上，且点是点关于的倍特征点，求点的坐标；（2）若当取某个值时，对于函数的图象上任意一点，在上都存在点，使得点是点关于的倍特征点，直接写出的最大值和最小值．答案：（1）①∵A点坐标为（1，0），P点坐标为（，0），∴，B点坐标为（-1，0），∴，∵，∴，故答案为：；②∵的坐标为（0，），A点坐标为（1，0），∴，，∴假设点是点A关于⊙O的倍特征点，∴，∴不符合题意，∴点不是点A关于⊙O的倍特征点，同理可以求出，假设点是点A关于⊙O的倍特征点，∴，∴即为AF的中点，∴点F的坐标为（0，-1），∵点F（0，-1）在圆上，∴点是点A关于⊙O的倍特征点，∵点的坐标为（，0），∴，∴，∴点不是点A关于⊙O的倍特征点，故答案为：；③如图所示，设直线AD交圆O于B，连接OE，过点E作EF⊥x轴于F，∵点E是点A关于⊙O倍的特征点，∴，∴E是AB的中点，∴OE⊥AB，∵∠EAO=60°，∴∠EOA=