通信技术与系统第二章信号与噪声分析

第二章信号与噪声分析主要内容信号与系统表示法信号频谱分析概述希尔波特变换随机信号通过系统的分析信息的度量信号信号是信息的载体，通常以某种客观物理量、客观现象或语言文字等形式表现出来。作为信息的载体，信号必须能被人的视觉、听觉、味觉或触觉感受到，或被机器设备检测到，否则就失去了信息传输的意义；信号如果不可变，则无法携带丰富多彩的信息；信号必须能够通过物理方法产生或实现。信号近代一切与电有关的通信都是把信息转化为电压、电流、电荷或无线电波等信号形式，再利用各种传输手段将这些信号进行传输；而光通信则是以光波作为信息的载体；通信系统常用信号类型1、周期信号与非周期信号按信号变化的特点分为周期信号与非周期信号。周期信号：信号的变化按一定规律重复出现的信号。用数学语言描述就是非周期信号：除周期信号外的所有信号。通信系统常用信号类型2、确定信号和随机信号 根据信号的变化规律可分为确定信号和随机信号。确定信号的变化规律是已知的，比如正弦型信号、指数信号等；随机信号的变化规律是未知的，比如我们打电话时的语音信号、电视节目中的图像信号还有一些噪声等。通信系统常用信号类型3、能量信号与功率信号瞬时功率：归一化瞬时功率或R=1Ω时的能量R=1Ω时的归一化能量：平均功率：通信系统常用信号类型3、能量信号与功率信号能量信号：能量有限的信号，能量信号的总平均功率等于0；非周期信号通常为能量信号；功率信号：平均功率有限的信号，功率信号的能量等于无穷大；周期信号和随机信号通常是功率信号。通信系统常用信号类型4、基带信号与频带信号根据信号是否进行了调制，可将信号分成基带信号和频带信号（调制信号）。未经调制的信号叫基带信号；基带信号一般直接携带信息，接收到信号也就收到了信息；。经过某种调制的信号叫频带信号，调制信号虽然也携带信息，但接收端必须对接收到的信号进行解调处理才能还原为原始信息通信系统常用信号类型5、模拟信号与数字信号按信号外在表现的特征可分为模拟信号和数字信号两大类。模拟信号：参量(因变量)取值随时间(自变量)的连续变化而连续变化的信号，通俗地讲，波形为连续曲线的信号就是模拟信号。模拟信号的主要特点是在其出现的时间内具有无限个可能的取值。正是这一特点使得模拟信号难以存储；离散信号：在时间上取离散值的信号。与模拟信号的主要区别是自变量的取值不连续。参量的取值与模拟信号一样，随函数的关系而定；数字信号：自变量取离散值，参量取有限个经过量化的离散值的信号。通信系统常用信号类型通信系统常用信号类型6、电信号和光信号根据信息载体的不同，把信号可分为电信号和光信号两大类。电信号主要包括电压信号、电流信号、电荷信号和电磁波(无线电)信号；光信号则是利用光亮度的强弱来携带信息的。通信系统常用信号类型7、多媒体信号按信息的类别不同，信号主要可分为语音信号、图片信号、活动图像(视频)信号、文字信号、数据信号等。在计算机领域为研究和叙述方便，常把经过模/数转换后的上述信号统称为数据信号。有时为了强调信号的多样性，也称其为多媒体信号。系统表示方式线性遵循叠加原理和比例倍增时不变信号频谱分析概述通信原理中一个很重要的基本概念就是信号的频谱；我们通常习惯于在时间域(简称时域)考虑问题，研究函数(信号)幅度(因变量)与时间(自变量)的关系。在通信领域，我们常常需要了解信号幅度和相位与频率(自变量)之间的关系。也就是说，要在频率域(简称频域)中研究信号。信号在时域和频域里的特性不同，其研究方法也不一样，信号频谱分析概述周期信号的频谱 在高等数学中我们学过傅里叶级数，其内容是：任意一个满足狄里赫利条件的周期信号f(t)(实际工程中所遇到的周期信号一般都满足)可用三角函数信号的线性组合来表示，即信号频谱分析概述信号频谱分析概述式中，n为正整数，a0是常数。T0是f(t)的周期。从电学的角度上讲，第一项表示直流分量；n=1时，a1cosω0t+b1sinω0t叫做基波，也就是基础波的意思，其频率为ω0；n=2时，a2cos2ω0t+b2sin2ω0t叫做二次谐波，其频率是基波的二倍。以此类推，ancosnω0t+bnsinnω0t叫做n次谐波。信号频谱分析概述傅里叶级数的物理意义就是一个周期信号可近似用一直流分量和以其频率(周期的倒数)为基频的各次谐波(正弦型信号)的线性叠加表示。信号频谱分析概述谐波次数取得越高，近似程度越好。由此得出结论，基波决定信号的大体形状，谐波改变信号的“细节”。信号频谱分析概述代入欧拉公式得到傅里叶级数的复指数表达形式：信号频谱分析概述傅里叶级数的复指数表达形式，表明一个周期信号可以由无穷个复指数信号线性叠加而成。其中F(nω0)是一个以离散变量nω0为自变量的复变函数，具有实部和虚部，即F(nω0)反映了f(t)在频域上各次谐波的幅值大小和相位多少，因此F(nω0)称为f(t)的频谱函数；实部称为幅频函数，虚部称为相频函数；信号频谱分析概述任何一个周期信号都可用与其惟一对应的频谱函数来描述。f(t)描述的是信号与时间的关系，而F(nω0)描述的是信号各次谐波的幅值、相位与频率之间的关系。信号频谱分析概述周期信号的频谱的特点：离散性、谐波性和收敛性谱线只出现在基波频率的整数倍（各次谐波点）处，具有非周期性、离散性的特点；其中谱线的间隔就是基频ω0，因为ω0=2π/T0，所以，周期越大，谱线越密,也就是单位频带中谐波个数越多。各次谐波振幅(即谱线的高低)的总变化规律是随着谐波次数的增加而逐渐减小。各次谐波振幅随频率的衰减速度与原始信号的波形有关。即时域波形变化越慢，频谱的高次谐波衰减就越快，高频成分就越少。反之，时域波形变化越剧烈，频谱中高次谐波成分就越多，衰减就越慢。信号频谱分析概述非周期信号的频谱当T0趋于无穷大，则ω0趋于无穷小，离散变量nω0趋于连续变量ω，F(nω0)也从离散函数变成连续函数。信号频谱分析概述无论是一个周期信号还是一个非周期信号都可在频域进行研究分析。对于周期信号，借助傅里叶级数可得到与该信号相对应的频谱函数F(nω0)；对于一个非周期信号，可用傅里叶变换求得该信号的频谱函数F(ω)；F(nω0)与F(ω)虽然都叫频谱函数，但概念不一样信号频谱分析概述任何一个信号都具有频谱(随机信号用功率谱描述)。对于非周期信号，根据频谱宽度我们把信号分为频带有限信号(简称带限信号)和频带无限信号。频带有限信号又包括低通型信号、带通型信号。低通型信号的频谱从零开始到某一个频率截止，信号能量集中在从直流到截止频率的频段上，由于频谱从直流开始，因此称为低通型信号。带通型信号的频谱存在于从不等于零的某一频率到另一个较高频率的频段。信号频谱分析概述信号频谱分析概述从频谱图中我们可以看到无论是周期信号的频谱还是非周期信号的频谱，其频谱曲线为偶对称，而实际上并没有负频率，那么如何解释这个问题呢？在三角函数形式展开时，求和变量n的下限从1开始，所以，频谱图没有负频率部分，这是符合实际情况的。信号频谱分析概述在复指数表达形式展开时，求和变量n的下限是-∞，则频谱中就有负频率分量：如果要用复指数信号表达正弦型信号就必须有正、负两种复指数信号，而在负复指数信号中，我们关心的是信号与频率的关系，且时间t不能为负，所以，把负号赋给角频率ω0，频谱就出现负频率分量。因此，频谱中出现负频率分量没有对应的物理解释，仅仅是一种数学需要而已。卷积时域卷积频域卷积卷积卷积定理调制定理相关自相关函数互相关函数能量谱和功率谱能量谱密度 若存在傅立叶变换对，能量信号f(t)的能量谱与其自相关函数也是一对傅立叶变换。简写为： 其中称为能量谱函数或能量谱密度。能量谱和功率谱功率谱密度 若存在傅立叶变换对，功率信号f(t)的功率谱与其自相关函数也是一对傅立叶变换。周期为T的信号在一个周期内的时间平均自相关函数对应着单位时段能量谱。能量谱和功率谱信号能量与功率的计算

时域： 频域：帕氏定理能量谱或功率谱在其频率范围内，对频率的积分等于信号的能量或功率，并且在时域、频域积分，以及自相关函数时，三者计算结果一致。功率谱、能量谱不反映信号相位特性，也不反映信号的时间位置希尔伯特变换如果信号存在傅立叶变换对f(t)F(ω)，则其希尔伯特变换的频谱等于信号频谱F(ω)的负频域频率成分相移－π/2，正频域成分相移π/2。其希尔伯特滤波器传递函数为： 希尔伯特变换频谱：希尔伯特变换由傅立叶变换的互易定理推出时域变换 希尔伯特时域表达式：余弦信号的希尔伯特变换等于正弦信号正弦信号的希尔伯特变换等于负余弦信号希尔伯特变换的性质信号f(t)及其希尔伯特变换的幅度频谱、功率（能量）谱，以及自相关函数和功率（能量）均相等。f(t)的希尔伯特变换再进行希尔伯特变换得：f(t)与互为正交。信息及其度量传输信息是通信系统的根本任务。在传输过程中，信息是以各种具体的电信号或光信号形式表现出来的。为了对通信系统的性能与质量进行定量的分析、研究与评价，就需要对信息进行度量。能够衡量信息多少的物理量叫做信息量，通常用I表示。信息和信息量信息是一个抽象的概念，它能否被量化并且如何量化呢？信息有量值可言，信息量与事件发生的概率有关：事件出现的概率越小，信息量就越大；必然事件的概率为1，则它传递的信息量就为0信息和信息量信息量与事件概率之间的关系式： 式中，P表示某事件发生的概率，I为从该事件发生的信息中得到的信息量。如果消息由若干个互相独立的事件构成，则该消息所含信息量等于各独立事件所含信息量之和。信息与信息量消息是信息的具体内容，信息通过消息来承载。通过对消息的分析就可得到其中所含的信息量。在通信领域，消息可分为离散消息和连续消息。由离散信息源产生的消息称为离散消息；由连续信息源产生的消息就是连续消息。信息与信息量离散消息只能有有限个符号，可看成是一种具有有限个状态的随机序列，可以用离散型随机过程的统计特性来进行描述。离散消息x所含信息量I与消息出现概率P(x)的关系为信息量单位的确定取决于式中的对数底a。如果取对数的底a=2，则信息量的单位为比特(bit)；如果取e为对数的底，则信息量的单位为奈特(nit)；若取10为底，则信息量的单位称为十进制单位，或叫哈特莱。信息与信息量等概率出现的离散消息的度量若要传递的离散消息是在M个消息中独立地选择其一，且认为每个消息的出现概率是相同的，则可采用一个M进制的波形进行传送。也就是说，传送M个消息之一与传送M进制波形之一是完全等价的。信息与信息量在等概率出现时，每个波形(或每个消息)的出现概率为1/M，我们取对数底为2，有当M=2，即二进制时，I=1，也就是说，每个二进制波形等概率出现时所含信息量是1bit。在数据通信(或数字通信)中，通常取M为2的整数幂，即M=2k，则每个波形等概率出现时所含信息量就是kbit信息与信息量非等概率的离散消息的度量设离散信息源是一个由n个符号组成的集合，称符号集。符号集中的每一个符号xi在消息中是按一定概率P(xi)独立出现的，即符号概率场为且有，

信息与信息量则整个消息的信息量为当消息很长时，用符号出现概率计算信息量比较麻烦，此时用平均信息量计算较好。所谓平均信息量是指每个符号所含信息量的统计平均值，因此，n个符号的离散消息的平均信息量为信息与信息量由于式子同热力学中的熵的计算公式形式一样，故通常又称它为信息源的熵，其单位为bit／符号。不同的离散信息源可能有不同的熵值。信息源的最大熵发生在每一个符号等慨率出现时，即P(xi)=1/n，最大熵值等于lbn(bit／符号)。信息与信息量对连续消息的信息量可用概率密度来描述。其平均信息量为 式中，f(x)是连续消息出现的概率密度。信道容量与香农公式信号必须经过信道才能传输，单位时间内信道上所能传输的最大信息量称为信道容量。它可用信道的最大信息传输速率(比特率)来表示。由于信道有数字(离散)和模拟(连续)之分，因此，信道容量也不相同。在此我们只讨论有扰模拟(连续)信道的信道容量问题。信道容量与香农公式信号在信道中传输要受到干扰的影响，以致引起信息传输错误，我们把具有干扰的信道称为有扰信道。那么，在怎样的条件下，信道可以无失真(不丢失)地将信息以速率R进行传输呢？香农定理给出了理论答案：对于一个给定的有扰信道，如果信息源的信息发出速率小于或等于信道容量，即R≤C，则理论上存在一种方法可使信息以任意小的差错概率通过该信道传输。反之，若R＞C，则该信道将无法正确传递该信息。信道容量与香农公式信道容量受到噪声和带宽的双重制约。香农公式给出了信道带宽、信道容量和白色高斯噪声干扰信号(或信道输出信噪比)之间的关系 式中,C为信道容量(单位为bit/s或b/s)，B为信道带宽(Hz)，S是信号功率，N是噪声功率。 在实际应用中，一般并不用S／N直接来表示信噪比，而是对它取对数变成分贝值，即用公式10lgS/N计算。信道容量与香农公式举例：若一帧电视图像的信息量为99600bit，电视的帧频为30Hz，为使接收端能收到良好的图像，要求信道的信噪比S/N=1000(10lgS/N=30dB),求信道的带宽B。信道容量与香农公式由于噪声功率N与信道的频带宽度有关，设单边噪声功率谱密度为n0，则可得到香农公式的另一种形式式中,N=n0B信道容量与香农公式从香农公式中我们可得出以下结论：一个给定信道的信道容量受B、S、n0“三要素”的约束。信道容量随“三要素”的确定而确定。提高信噪比(信号功率与噪声功率之比)可提高信道容量。一个给定信道的信道容量既可以通过增加信道带宽减少信号发射功率也可通过减少信道带宽增加信号发射功率来保证。也就是说，信道容量可通过带宽与信噪比的互换而保持不变。虽然C与B成正比关系，但B→∞时，C却不能随之趋于无穷大。若S/n0保持不变，当B→∞时，因为噪声功率(N=n0B)也随之趋于无穷大，所以信道容量保持有限值。信道容量与香农公式香农定理有扰信道的最大信息传输速率(即信道容量)是有限的，信道容量受信道带宽和信道信噪比的制约，只要给定了信道信噪比和带宽，则信道的最大信息传输速率就确定了，并且该容量与信号取的离散值个数无关，无论用什么调制方式都无法改变。随机信号随机信号：具有各种随机性特点，并符合统计特性；通常随机信号为时间函数；常见随机信号通信系统中传输的数字码流；系统中的干扰和噪声；统计平均特性

随机过程X(t)中任意两个时刻t1和t2，取τ＝t2-t1，有：自相关函数自协方差函数自相关系数平稳随机过程若随机过程X(t)的统计特性与时间原点无关，即概率密度函数满足： 则称该随机过程为狭义平稳随机过程。若随机过程满足一维和二维平稳条件，则称该随机过程为广义平稳随机过程。自相关函数的性质随机信号的总平均功率等于自相关函数当τ＝0时的值；等于交流功率和直流功率之和。偶函数双边非增函数

随机信号的功率谱功率谱：平均功率：功率谱的性质非负性实偶性

SX(ω)曲线下的面积等于X(t)平均功率

SX’(ω)是X(t)微分的功率谱平稳随机信号通过线性系统平稳随机信号X(t)作为线性系统激励时的响应随机过程仍然是平稳过程。其中Rh(τ)为系统冲击响应自相关函数

H(0)为线性时不变系统的直流传递系数。噪声(干扰)在信道中的表现形式根据噪声(干扰)在信道中的表现形式，通常分为加性噪声(干扰)和乘性噪声(干扰)两类。k(t)和n(