自-实验四离散线性时不变系统分析

试验四离散线性时不变系统分析１． 常见离散信号的表示和运算；把握离散LSＩ系统的单位序列响应、单位阶跃响应和任意鼓励下响应的ＭAＴＬAB求解方法；把握离散LSI系统的复频域分析方法;４. 把握离散LSI系统的零极点分布与系统特性的关系。二、试验原理及方法离散信号表示与运算x〔n)来表示，自变量必需是整数。离散时间信号的波形绘制在Mａtlab中,一般用stemｓtem的根本用法和ｐｌｏｔ函数一样,它绘制的波形图的每个样本点上都有一个小圆圈，默认是空心的。假设要实心，需使用参数fｌlｆilｅd.ａｔlｂ所以只能表示肯定时间范围内的有限长度的序列；而对于无限序列,也只能在肯定范围内表现出来。１、产生并绘制一个单位样本序列运行程序cｌfｎ＝-10:２0;u=［zeｒos(1,1０〕1ｚerｏｓ〔１,20)];stem(n,u)；xlaｂel(”时间序号)；ylabel〔＇振幅”);title(”单位样本序列”);axis([-1０２00 1.２]);1所示10.90.80.70.60.50.40.30.20.10-10 -5 0 5 10 15 20或者自定义ｉmpＤT.mfunctiｏｎy=impDT(n)ｙ=(n==０〕; n＝0n整数向量。n＝-３:３;x＝impDT(n);ｓtem(n,ｘ,”.”);xlabel(”n”)，grｉd on;tiｔｌe(”单位冲激序列”)；axis([-３ 3 -0．1 运行程序:clf;n=0:35；ａ＝１.2;K＝０.2;x＝Ｋ*ａ．^n;steｍ(n,x);xlabel(”时间序号n”);ｙlabel(”振幅＇)；21201008060402000 5 10 15 时间序号n

25 30 35３、产生一个正弦信号:运行程序：n=0:40;f=０.１;phase=0;A=1.5;arg=2*pｉ＊ｆ*n-ｐhaｓe;ｘ=A*cos〔aｒg);sｔｅm(n,ｘ〕；axis〔［０40 -2２]);grid;tiｔlｅ〔”正弦序列＇);ｘｌabｅl(＇时间序号n”);ｙlaｂel(”振幅”〕；axis;试验结果如以下图3所示正 弦 序 列2正 弦 序 列1.510.50-0.5-1-1.5-20 5 10 15 20时 间 序 号 n

25 30 35 40离散LSI系统的时域分析描述一个N阶线性时不变离散时间系统的数学模型是线性常系统差分方程,N阶LＳＩ离散系统的差分方程一般形式为(1)Nakk0也可用系统函数来表示

y(nk)Mbii0bbz1bbz1bz21az1az20 12b zMM1 2azNN

x(ni)

〔２〕 Y( H(z)

ii0

b(z)X(z)

Nazk

a(z)k0H(z)反映了系统响应和鼓励间的关系。一旦上式中ak

b的数据确定了,系统的性i质也就确定了。特别留意a必需进展归一化处理,即a 1。0 0序列的线性叠加，把这些单元鼓励信号分别加于系统求其响应,然后把这些响应叠加，即可6-1可以看出一个离散LSI系统响应与鼓励的关系。x(n) h(n) y(n)x(n)*h(n)X(z) H(z) Y(z)X(z)H(z)4LＳI系统响应与鼓励的关系(１〕单位序列响应(单位响应)0单位响应h(n)是指离散LSI系统在单位序列(n)鼓励下的零状态响应,因此h(n)满足线性常系数差分方程(6.１0Nah(nk)

b(ni)

，h(1)h(2)

(3〕k ik0 i0依据定义,它也可表示为h(n)h(n)(n) (4)对于离散ＬSI系统,x(n)，单位响应为h(n),y(n)为zsy(n)x(n)*h(n)zs

(5)可见,h(n)能够刻画和表征系统的固有特性,h(n),就可求得系统对任何输入信号x(n)y(n)。zsMATLAB供给了特地用于求连续系统冲激响应的函数impz，其调用格式有[h，n]=impz〔b,a)

, 其 中

,b,b,

[0,1,2,,b ,b ],aM,a],nN[h,ｎ］=impz(b,a,N)求解离散系统的单位响应，采样点数由Nn[0,1,2,iｍｐz(b,a):在当前窗口，用ｓｔｅｍ(n,h)绘出图形。〔２〕单位阶跃响应

单位阶跃响应s(n)是指离散LTI系统在单位阶跃序列u(n)鼓励下的零状态响应，它可以表示为s(n)u(n)h(n)

nm

h(m) (6)上式说明，离散LSI系统的单位阶跃响应是单位响应的累加和,系统的单位阶跃响应和系统的单位响应之间有着确定的关系,因此,单位阶跃响应也能完全刻画和表征一个LSI系统。MＡＴLAB供给了特地用于求离散系统单位阶跃响应的函数sｔepz(),其调用格式有]；［s,n]=steｐz〔b,ａ)]；b[b

,b,b,

[0,1,2,,b ,b ],aM,a ],nN[ｓ，n]=steｐz〔ｂ，ａ,Ｎ) ：求解离散系统的单位阶跃响应，采样点数由Ｎ确定,n[0,1,2, ,N-1]；ｓｔeｐz〔ｂ,ａ):在当前窗口,用stem(n，s〕绘出图形。(3)任意鼓励下的零状态响应已经知道，离散ＬSＩ系统可用常系数线性差分方程〔6．1)式来描述,Matlab供给的函数dｌsim()能对上述差分方程描述的离散LＳI系统的响应进展仿真,该函数不仅能绘制指定时间范围内的系统响应波形图，而且还能求出系统响应的数值解。其调用格式有dｌsｉｍ〔b,a,ｘ)：求解输入序列为x的零状态响应需要特别强调的是,Mａtlaｂ总是把由分子和分母多项式表示的任何系统都当作是因果系统。所以,impz(ｂ,ａ〕,stｅｐz〔b,a)，dlsｉm(b,a,x〕函数求得的响应总是因果信号。同时,卷积和也是ＬSＩ系统求解零状态响应的重要工具之一。假设系统的输入信号为x(n),h(n),y

(n)可由(5)式求解。Mａtｌaｂ供给了特地zscoｎv〔),其调用格式有y=cｏｎv(x,h) :求解序列ｘ,h的卷积和,假设序列x的长度为n1,序列ｈ的长度为n２,卷积和y的长度为n1+ｎ2-1。这一点需要特别留意,否则,作图时简洁造成横纵坐标长度不匹配。(４〕带初始状态的任意鼓励下的全响应任意鼓励下的离散ＬSＩ系统的全响应为零输入响应和零状态响应之和,表示为y(n)yzi

(n)yzs

(n) (７〕在理论学习的过程中,同学们对低阶差分方程的求解已颇为头痛,高阶差分方程直接求ｔlab供给了用于求离散系统全响应的函数filter(，其调用格式有y=fiｌｔｅr(ｂ,ａ,x)：求解零状态响应;＝ｉｔer(b,aｘ,zi)求解初始条件为zizi向量的长度为max(lengｔｈ(a),lenｇtｈ(ｂ))-1,返回值为系统的全响应。ｚ = filtiｃ(b，a,ｙ,x)：将初始状态转换为初始条件,其中x[x(1),x(2),x(3), ,x(m)]，y[y(1),y(2),y(3), ,y(n)]；ｚ = filtiｃ(ｂ,ａ，y〕：将初始状态转换为初始条件，其中x0,yy(1),y(2),y(3), y(n)]。3LSI(Z(1〕利用Ｚ变换解差分方程在前面图4域的方法求解,也可以用Z域的方法求解。当系统输入序列的ZX(z,系统函数H(z)时，系统响应序列的Z变换可由Y(z)X(z)H(z)求出。Ｍatlab供给了用于求序列ZZ反变换的函数,其调用格式有X=ztrａｎs〔x)：xZ变换的表达式,x,X都是符号表达式;x=iztrａnｓ(X)：求Ｘ〔z〕的Z反变换x(n)，返回Z反变换的表达式,留意这里ｘ,Ｘ都是符号表达式;[ｒ,ｐ,c]＝residuｅz(b，a)：b(z)/a(z〕开放成局部分式；［b,a]=reｓｉdｕez(ｒ,p,c):依据局部分式的r、p、c数组，返回有理多项式。1ｚ变换clear aｌl, ｃｌosｅall,clｃ;symsnx1=(１/２)^ｎ; %序列x1X1＝zｔrａnｓ(x１) %直接用ztranｓ函数计算ｚ变换ｘ2= X2 ＝ ztrａns(ｘ2)X2ｓ =ｓimplｉfy(X2) ％化简X2例2 逆ｚ变换cleaｒalｌ，ｃlosｅaｌｌ，ｃlc;symｓz; %定义符号ｚXz^２/(ｚ^2-1.5*z+0.5); ％定义变换式Xｘ=izｔrａｎs(X)iｚtransz3用ｚ变换解差分方程

y(n)by(n1)x(n),

假设激励x(n)anu(n),y()0，求响应y(。cleaｒalｌ，close aｌｌ,clｃ;symsn a bz; %定义符号n，ａ，b，zx=a^n;X=ztrans(x);Ｈ= 1／(1-ｂ*ｚ^(-1))； %由差分方程直接写系统函数ＨY=Ｈ*X;y1 =iztrans(Y);y ＝ ｓimplｉfy(y1)〔2)系统的零极点分布与系统因果性和稳定性的关系因果系统的单位响应h(n)肯定满足当n0h(n)=0,H(z)的收敛域肯定包含点,即点不是极点,极点分布在某个圆的圆内,收敛域是圆外区域。系统稳定要求

|h(n)|

,比照z变换定义,系统稳定要求收敛域包含单位圆。n假设系统因果且稳定，收敛域包含点和单位圆,那么收敛域可表示为:r|z|,0r1 〔８)MＡＴLＡB供给了用于求系统零极点的函数,其调用格式有rｏotｓ(〕:利用多项式求根函数来确定系统函数的零极点位置;rｏots(a)：求极点位置，aH(z)分母多项式所构成的系数向量;rｏｓ(：ｂ为系统函数H(z);ｚｐlane(b,a):绘制由行向量ｂ和a构成的系统函数的零极点分布图;zｐｌane〔ｚ,p〕:绘制由列向量z确定的零点、列向量p确定的极点构成的零极点分布图。例４：离散系统的系统函数为0.20.1z10.3z20.1z30.2z4H(z)

11.1z11.5z20.7z30.3z4求该系统的零极点及零极点分布图,并推断系统的因果性和稳定性。ａ1．1．５－7；ｚ=roots(ｂ)ｐ＝rootｓ(ａ)ｏａｎ，；ｔｉｔle(＇系统的零极点分布图”);sｕbpｌot(223)，imｐｚ〔ｂ,a,２0〕;title〔”系统的单位响应”);z= ﻩﻩp=-0.5000+0．８660iﻩ0．2367＋０.891５i－0.5000-０.86６0i ０．23６７-0.８９15i０.250０＋０.96８2iﻩ０．３133+０.504５i０.2500-0.９682ｉﻩ0．３133－0.5０4５i系统极点在单位圆内，零点在圆上,系统稳定。三、试验内容及步骤１.某离散ＬSI系统的差分方程表示式为y(n)1.5y(n1)0.5y(n2)x(n)y(1)4,y(2)10,x(n)(0.25)nu(n)时的零输入、零状态及全响应;使用filter子函数对系统差分方程进展求解,同时将求解结果与理论计算的结果进展比较。〔提示：通过解差分方程,可以得到全响应为

1 11 2 〕 y(n)