2024届新高考数学一轮复习配套练习专题6.2 平面向量的基本定理及坐标表示 （新教材新高考）（练）含答案

2024届新高考数学一轮复习配套练习专题6.2平面向量的基本定理及坐标表示练基础练基础1．（2021·全国高一课时练习）已知向量，，，，则的值为（）A． B． C．2 D．102．（2021·全国高三其他模拟（文））已知，记与夹角为，则的值为（）A． B． C． D．3.（2021·天津和平区·高一期末）已知正方形的边长为2，是的中点，是线段上的点，则的最小值为（）A． B． C．1 D．4．（2021·全国高三其他模拟（文））如图，平行四边形ABCD中，E是AD的中点，F在线段BE上，且，记，，则（）A． B． C． D．5.（2021·全国高一专题练习）已知三点共线，O为直线外任意一点，若，则________.6．（辽宁高考真题）在平面直角坐标系中，四边形的边，，已知点，，则D点的坐标为___________.7．（2021·中牟县教育体育局教学研究室高一期中）设已知向量，向量.（1）求向量的坐标；（2）当为何值时，向量与向量垂直.8．（2021·江西新余市·高一期末（文））已知，（1）若，求的坐标；（2）若与的夹角为120°，求.9．（2021·全国高一专题练习）如图，在△ABC中，D，E分别为AC，AB边上的点，，记，.试用向量，表示.10．（2021·江西省万载中学高一期末（理））已知向量，若，（1）求向量与的夹角；（2）求的值．练提升TIDHNEG练提升TIDHNEG1．【多选题】（2021·浙江高一期末）任意两个非零向量和，，定义：，若平面向量满足，与的夹角，且和都在集合中，则的值可能为（）A．5 B．4 C．3 D．22．（2021·江西新余市·高一期末（文））如图所示，A，B，C是圆O上的三点，线段的延长线与的延长线交于圆O外的一点D，若，则的取值范围是___________.3．（2021·宁夏银川市·高三其他模拟（理））已知(1，1)，(0，1)，(1，0)，为线段上一点，且，若，则实数的取值范围是___________.4．（江苏高考真题）在同一个平面内，向量OA,OB,OC的模分别为1,1,2,OA与OC的夹角为α，且tanα=7,OB5．（2021·福建漳州市·高一期末）在平面直角坐标系中，已知向量，，．若，则______；若存在两个不同的值，使得恒成立，则实数的取值范围为______．6．（2021·天津滨海新区·高一期末）已知四边形，，，，且，（i）___________；（ii）若，动点在线段上，则的最大值为___________.7．（2021·全国高一专题练习）已知A(-2，4)，B(3，-1)，C(-3，-4).设，且.（1）求；（2）求满足的实数m，n；（3）求M，N的坐标及向量的坐标.8．（2021·全国高一课时练习）已知△ABC的面积为S满足，且·＝3，与的夹角为θ.求与夹角的取值范围．9．（2021·全国高一专题练习）已知O，A，B是不共线的三点，且（1）若m+n=1，求证：A，P，B三点共线；（2）若A，P，B三点共线，求证：m+n=1.10．（2021·北京首都师大二附高一期末）在△ABC中.∠BAC=120°，AB=AC=1（1）求的值；（2）如图所示，在直角坐标系中，点A与原点重合，边AB在x轴上，设动点P在以A为圆心，AB为半径的劣弧BC上运动.求的最小值.练真题TIDHNEG练真题TIDHNEG1.（2019·全国高考真题（理））已知=(2,3)，=(3，t)，=1，则=（）A．-3 B．-2C．2 D．32.（2021·全国高考真题（理））已知向量．若，则________．3．（2021·全国高考真题（理））已知向量，若，则__________．4.（2021·全国高考真题（文））已知向量，若，则_________．5.（2018·北京高考真题（文））（2018年文北京卷）设向量a=（1,0），b=（−1,m）,若a⊥(ma−b)，则m=_________.6．（2020·北京高考真题）已知正方形的边长为2，点P满足，则_________；_________．专题6.2平面向量的基本定理及坐标表示练基础练基础1．（2021·全国高一课时练习）已知向量，，，，则的值为（）A． B． C．2 D．10【答案】C【解析】先求出的坐标，再借助向量垂直的坐标表示即可得解.【详解】因，，则，而，，于是得，即，解得，所以的值为2.故选：C2．（2021·全国高三其他模拟（文））已知，记与夹角为，则的值为（）A． B． C． D．【答案】B【解析】利用平面向量数量积的定义以及模长公式求解即可.【详解】因为，所以，因为，所以，所以．故选:.3.（2021·天津和平区·高一期末）已知正方形的边长为2，是的中点，是线段上的点，则的最小值为（）A． B． C．1 D．【答案】B【解析】根据题意，建立适当的平面直角坐标系，转化为坐标运算即可.【详解】如图所示，建立平面直角坐标系，由题意知，，，，由是线段上的点，设，且，因此，，故，因，所以当时，取最小值.故选：B.4．（2021·全国高三其他模拟（文））如图，平行四边形ABCD中，E是AD的中点，F在线段BE上，且，记，，则（）A． B． C． D．【答案】D【解析】取，作为基底，把用基底表示出来，利用向量的减法即可表示出.【详解】取，作为基底，则.因为，所以，所以.故选：D.5.（2021·全国高一专题练习）已知三点共线，O为直线外任意一点，若，则________.【答案】1【解析】由共线可设，进而得，化简对应的即可得解.【详解】∵三点共线，∴存在非零实数，使得，∴∴∵，∴.故答案为：16．（辽宁高考真题）在平面直角坐标系中，四边形的边，，已知点，，则D点的坐标为___________.【答案】【解析】平行四边形中，，∴，即点坐标为，故答案为.7．（2021·中牟县教育体育局教学研究室高一期中）设已知向量，向量.（1）求向量的坐标；（2）当为何值时，向量与向量垂直.【答案】（1）；（2）.【解析】（1）进行向量坐标的减法和数乘运算即可得出；（2）可求出，然后根据与垂直即可得出，解出即可．【详解】（1）∵，，∴.（2）∵，且与垂直，∴，解得.8．（2021·江西新余市·高一期末（文））已知，（1）若，求的坐标；（2）若与的夹角为120°，求.【答案】（1）或；（2）.【解析】（1）先求与向量共线的单位向量，结合，即可得出的坐标；（2）先根据夹角求出，根据模的运算律，即可得到.【详解】解：（1），与共线的单位向量为.，，或.（2），，，，，.9．（2021·全国高一专题练习）如图，在△ABC中，D，E分别为AC，AB边上的点，，记，.试用向量，表示.【答案】【解析】根据向量的减法及向量的数乘，化简即可求解.【详解】因为，，所以.即10．（2021·江西省万载中学高一期末（理））已知向量，若，（1）求向量与的夹角；（2）求的值．【答案】（1）；（2）．【解析】（1）根据得到，再求出，，，即得解；（2）直接利用向量的模的坐标公式求解.【详解】（1），，，，解得，，，，，所以向量与的夹角为.（2），．练提升TIDHNEG练提升TIDHNEG1．【多选题】（2021·浙江高一期末）任意两个非零向量和，，定义：，若平面向量满足，与的夹角，且和都在集合中，则的值可能为（）A．5 B．4 C．3 D．2【答案】CD【解析】由已知得集合的元素特征，再分析和的范围，再由定义计算后，可得答案.【详解】首先观察集合，从而分析和的范围如下：因为，∴，而，且，可得，又∵中，∴，从而，∴，又，所以．且也在集合中，故有或．故选：CD.2．（2021·江西新余市·高一期末（文））如图所示，A，B，C是圆O上的三点，线段的延长线与的延长线交于圆O外的一点D，若，则的取值范围是___________.【答案】【解析】如图所示，由，，三点共线，利用向量共线定理可得：存在实数满足，，，，即，与两比较，即可得出．【详解】解：如图所示，，，三点共线，存在实数满足，又，，，即，与两比较，可得，，则．的取值范围是．故答案为：．3．（2021·宁夏银川市·高三其他模拟（理））已知(1，1)，(0，1)，(1，0)，为线段上一点，且，若，则实数的取值范围是___________.【答案】【解析】根据可得，再表示出坐标，由条件可得，再将代入可得关于的不等式，从而可得答案.【详解】解析：设点，由，得，所以.因为，所以，即，化简得将代入，得，即，解得.因为为线段上一点，且，所以.综上，可知.故实数的取值范围是.4．（江苏高考真题）在同一个平面内，向量OA,OB,OC的模分别为1,1,2,OA与OC的夹角为α，且tanα=7,OB【答案】3【解析】以OA为x轴，建立直角坐标系，则A1,0，由OC的模为2与OA与OC的夹角为α，且tanα=7知，cosα=210,sinα=210，可得C15,75,5．（2021·福建漳州市·高一期末）在平面直角坐标系中，已知向量，，．若，则______；若存在两个不同的值，使得恒成立，则实数的取值范围为______．【答案】．【解析】根据向量平行的坐标表示可求；用坐标表示出，结合三角函数的图象可得实数的取值范围.【详解】由向量共线得，则，又，则；计算得，则，又存在两个不同的值，使得恒成立，则在上有两个不同的解，令，由，得，作出简图如下，所以有．故答案为：；．6．（2021·天津滨海新区·高一期末）已知四边形，，，，且，（i）___________；（ii）若，动点在线段上，则的最大值为___________.【答案】【解析】利用向量的数量积可得，过点作的垂线，垂足为，可得，进而可得，求出；以为坐标原点，为建立平面直角坐标系，首先求出点坐标，设，利用向量共线求出，再由向量数量积的坐标运算即可求解.【详解】由，则,因为，所以，过点作的垂线，垂足为，可得，因为，所以，由，所以.以为坐标原点，为建立平面直角坐标系，如图：则，，设由，即，解得，即，设，，，则，，因为三点共线，所以，即，，，所以，当时，取得最大值为.故答案为：；7．（2021·全国高一专题练习）已知A(-2，4)，B(3，-1)，C(-3，-4).设，且.（1）求；（2）求满足的实数m，n；（3）求M，N的坐标及向量的坐标.【答案】（1）(6，-42)；（2）；（3）M(0，20)，N(9，2)，.【解析】（1）利用向量加、减、数乘的坐标运算即可求解.（2）利用向量加法的坐标运算以及向量相等即可求解.（3）利用向量减法的坐标运算即可求解.【详解】由已知得=(5，-5)，=(-6，-3)，=(1，8).（1）=3(5，-5)+(-6，-3)-3(1，8)=(15-6-3，-15-3-24)=(6，-42).（2）∵=(-6m+n，-3m+8n)，∴，解得.（3）设O为坐标原点，∵，∴=(3，24)+(-3，-4)=(0，20).∴M(0，20).又∵，∴=(12，6)+(-3，-4)=(9，2)，∴N(9，2)，∴=(9，-18).8．（2021·全国高一课时练习）已知△ABC的面积为S满足，且·＝3，与的夹角为θ.求与夹角的取值范围．【答案】.【解析】可设与夹角为，则据题意得出为锐角，且，从而根据的面积可得出，这样根据正切函数在的单调性即可求出的范围．【详解】解：，的夹角为锐角，设的夹角为，则：，，又；，，，，，与夹角的取值范围为．9．（2021·全国高一专题练习）已知O，A，B是不共线的三点，且（1）若m+n=1，求证：A，P，B三点共线；（2）若A，P，B三点共线，求证：m+n=1.【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析.【解析】（1）由原式可代换为，再由，两式联立变形即可求证；（2）由A，P，B三点共线，可得，变形得，整理成关于的表达式，再结合，由对应关系即可求证【详解】（1）证明：若m+n=1，则，，故，即，，即共线，又有公共点，则A，P，B三点共线；（2）证明：若A，P，B三点共线，则存在实数λ，使得，变形得，即，，又，，故10．（2021·北京首都师大二附高一期末）在△ABC中.∠BAC=120°，AB=AC=1（1）求的值；（2）如图所示，在直角坐标系中，点A与原点重合，边AB在x轴上，设动点P在以A为圆心，AB为半径的劣弧BC上运动.求的最小值.【答案】（1）；（2）.【解析】（1）由，，利用坐标公式求得数量积即可.（2）设点坐标为，求得，利用三角函数的最值求得数量积的最值.【详解】解：（1），，.（2）点在以为圆心，为半径的劣弧上运动，设点坐标为，又，，，又，则，故当时，有最小值.练真题TIDHNEG练真题TIDHNEG1.（2019·全国高考真题（理））已知=(2,3)，=(3，t)，=1，则=（）A．-3 B．-2C．2 D．3【答案】C【解析】由，，得，则，．故选C．2.（2021·全国高考真题（理））已知向量．若，则________．【答案】.【解析】利用向量的坐标运算法则求得向量的坐标，利用向量的数量积为零求得的值【详解】,，解得,故答案为：.3．（2021·全国高考真题（理））已知向量，若，则__________．【答案】【解析】根据平面向量数量积的坐标表示以及向量的线性运算列出方程，即可解出．【详解】因为，所以由可得，，解得．故答案为：．4.（2021·全国高考真题（文））已知向量，若，则_________．【答案】【解析】利用向量平行的充分必要条件得到关于的方程，解方程即可求得实数的值.【详解】由题意结合向量平行的充分必要条件可得：，解方程可得：.故答案为：.5.（2018·北京高考真题（文））（2018年文北京卷）设向量a=（1,0），b=（−1,m）,若a⊥(ma-b)，则m=_________.【答案】-1.【解析】∵a∴ma由a⊥(ma-∴a即m=-1.6．（2020·北京高考真题）已知正方形的边长为2，点P满足，则_________；_________．【答案】【解析】以点为坐标原点，、所在直线分别为、轴建立如下图所示的平面直角坐标系，则点、、、，，则点，，，因此，，.故答案为：；.专题6.3平面向量的应用练基础练基础1．（2021·重庆九龙坡区·高三二模）已知等边的边长为为它所在平面内一点，且，则的最大值为（）A． B．7 C．5 D．2．（2021·浙江高一期末）在中，，则（）A．5∶3∶4 B．5∶4∶3 C． D．3．【多选题】（2021·浙江高一期末）已知中，角的对边分别为为边上的高，以下结论：其中正确的选项是（）A． B．为锐角三角形C． D．4．【多选题】（2021·麻城市实验高级中学高三其他模拟）已知点为外接圆的圆心，，，则（）A． B．C． D．5．（2021·河北高一期中）我国汉代数学家赵爽为了证明勾股定理，创制了一副“勾股圆方图”，后人称其为“赵爽弦图”.类比赵爽弦图，由3个全等的小三角形拼成如图所示的等边，若的边长为﹐且，则的面积为___________.6．（2021·苏州市第三中学校高一期中）在中，，，，点是内（包括边界）的一动点，且，则的最大值是_________．7．（2021·河南商丘市·高一月考）在平面直角坐标系中，非零向量，在圆上存在点，使得，则实数的取值范围是______．8．（2021·浙江高三月考）已知平面向量夹角为，且平面向量满足记为（）的最小值，则的最大值是__________．9．（2021·江苏苏州市·高一月考）我们知道，“有了运算，向量的力量无限”.实际上，通过向量运算证明某些几何图形的性质比平面几何的“从图形的己知性质推出待证的性质”简便多了.下面请用向量的方法证明“三角形的三条高交于一点”.已知，，是的三条高，求证：，，相交于一点.10．（2021·浙江高一期末）甲船在静水中的速度为40海里/小时，当甲船在点A时，测得海面上乙船搁浅在其南偏东方向的点P处，甲船继续向北航行0.5小时后到达点B，测得乙船P在其南偏东方向，（1）假设水流速度为0，画出两船的位置图，标出相应角度并求出点B与点P之间的距离．（2）若水流的速度为10海里/小时，方向向正东方向，甲船保持40海里/小时的静水速度不变，从点B走最短的路程去救援乙船，求甲船的船头方向与实际行进方向所成角的正弦值．练提升TIDHNEG练提升TIDHNEG1．（2020·江苏高考真题）在△ABC中，D在边BC上，延长AD到P，使得AP=9，若（m为常数），则CD的长度是________．2．（2021·宁夏石嘴山市·高三二模（理））△ABC内角A，B，C的对边分別为a，b，c，，则角B的值为________；若a＋c＝6，则AC边的中线的最小值为________．3．（2021·全国高三专题练习（理））中，内角所对的边分别是，且，则角=__________；设点是的中点，若，则线段的取值范围是__________.4．（2021·浙江高一期末）在中，，G为其重心，直线经过点G，且与射线、分别交于D、E两点，记和的面积分别为，则当取得最小值时，的值为______．5．（2021·上海普陀区·高三二模）如图，在△中，，，．若为△内部的点且满足，则________．6．（2021·浙江高三其他模拟）已知单位向量，与非零向量满足，，则的最大值是______.7．（2021·上海浦东新区·华师大二附中高三三模）已知边长为2的正方形边上有两点P､Q，满足，设O是正方形的中心，则的取值范围是___________.8．（2021·浙江嘉兴市·高三其他模拟）已知平面内不同的三点O，A，B满足，若时，的最小值为，则___________.9．（2021·江西南昌市·高一期末）已知，，分别是内角，，所对的边，且满足，若角的角平分线交边于点，且，，求：（1）求的值；（2）求边的值．10．（2021·山东泰安市·高一月考）三角形ABC中，，点E是边BC上的动点，当E为BC中点时，（1）求和;（2）是延长线上的点，，当在上运动时，求的最大值.练真题TIDHNEG练真题TIDHNEG1．（2020·全国高考真题（理））在△ABC中，cosC=，AC=4，BC=3，则cosB=（）A． B． C． D．2．（2020·全国高考真题（文））在△ABC中，cosC=，AC=4，BC=3，则tanB=（）A． B．2 C．4 D．83.（2021·全国高考真题（理））2020年12月8日，中国和尼泊尔联合公布珠穆朗玛峰最新高程为8848.86（单位：m），三角高程测量法是珠峰高程测量方法之一．如图是三角高程测量法的一个示意图，现有A，B，C三点，且A，B，C在同一水平面上的投影满足，．由C点测得B点的仰角为，与的差为100；由B点测得A点的仰角为，则A，C两点到水平面的高度差约为（）（）A．346 B．373 C．446 D．4734．（2021·全国高考真题（理））魏晋时刘徽撰写的《海岛算经》是关测量的数学著作，其中第一题是测海岛的高．如图，点，，在水平线上，和是两个垂直于水平面且等高的测量标杆的高度，称为“表高”，称为“表距”，和都称为“表目距”，与的差称为“表目距的差”则海岛的高（）A．表高 B．表高C．表距 D．表距5.（2021·全国高考真题（理））已知是双曲线C的两个焦点，P为C上一点，且，则C的离心率为（）A． B． C． D．6．（2021·全国高考真题）记是内角，，的对边分别为，，.已知，点在边上，.（1）证明：；（2）若，求.专题6.3平面向量的应用练基础练基础1．（2021·重庆九龙坡区·高三二模）已知等边的边长为为它所在平面内一点，且，则的最大值为（）A． B．7 C．5 D．【答案】B【解析】取的中点，连接，并延长到，则有，从而将转化为，而，所以结合图形可得答案【详解】解：取的中点，连接，并延长到，使，因为为等边三角形，所以，所以,因为，所以,因为等边的边长为，所以，要使取得最大值，则与共线且同向，所以的最大值为，故选：B2．（2021·浙江高一期末）在中，，则（）A．5∶3∶4 B．5∶4∶3 C． D．【答案】D【解析】利用两个向量的数量积的定义可得，由此求得的值，利用正弦定理可得的值.【详解】由题意，在中，，利用向量的数量积的定义可知，即即，即，设，解得，所以，所以由正弦定理可得.故选:D.3．【多选题】（2021·浙江高一期末）已知中，角的对边分别为为边上的高，以下结论：其中正确的选项是（）A． B．为锐角三角形C． D．【答案】ACD【解析】画出图形，利用向量的数量积公式，三角形中余弦定理及向量的运算法则对各命题进行判断，看出每一个命题的正误【详解】解：，所以，故A正确；若，则为锐角，无法得到其他角的关系，故无法判断的形状，故B错误；而，故C正确由余弦定理有故有，故D正确故选：ACD．4．【多选题】（2021·麻城市实验高级中学高三其他模拟）已知点为外接圆的圆心，，，则（）A． B．C． D．【答案】BD【解析】根据垂径定理先求出，再求即可.【详解】令，则，所以（舍）或，所以，所以.故选：BD.5．（2021·河北高一期中）我国汉代数学家赵爽为了证明勾股定理，创制了一副“勾股圆方图”，后人称其为“赵爽弦图”.类比赵爽弦图，由3个全等的小三角形拼成如图所示的等边，若的边长为﹐且，则的面积为___________.【答案】【解析】先根据图形的构成判断出，利用余弦定理解出AF，利用面积公式即可求出的面积.【详解】因为，所以.设，则，在中，由余弦定理可得，解得，所以.故答案为：.6．（2021·苏州市第三中学校高一期中）在中，，，，点是内（包括边界）的一动点，且，则的最大值是_________．【答案】【解析】取，，作，由平行四边形法则可得点轨迹，确定所求最大值为；利用平面向量数量积的定义和余弦定理可求得所需边长，利用勾股定理可求得结果.【详解】取，，作，为内（包含边界）的一动点且，根据平行四边形法则可知：点的轨迹为线段，.在中，，，，，，即的最大值为.故答案为：.7．（2021·河南商丘市·高一月考）在平面直角坐标系中，非零向量，在圆上存在点，使得，则实数的取值范围是______．【答案】【解析】由条件得，代入坐标形式进行运算，得到，从而求得范围.【详解】设点，由条件可知，，设向量与的夹角为，由得，即，因为是非零向量，所以，于是，因为，所以，所以的取值范围是．故答案为：8．（2021·浙江高三月考）已知平面向量夹角为，且平面向量满足记为（）的最小值，则的最大值是__________．【答案】【解析】将条件转化，然后用数形结合求解.【详解】设，，，则，，依题意可知，，，，故点在△的外接圆上.其半径，为点到直线的距离，显然，当运动到点处时，有最大值.故答案为：.9．（2021·江苏苏州市·高一月考）我们知道，“有了运算，向量的力量无限”.实际上，通过向量运算证明某些几何图形的性质比平面几何的“从图形的己知性质推出待证的性质”简便多了.下面请用向量的方法证明“三角形的三条高交于一点”.已知，，是的三条高，求证：，，相交于一点.【答案】证明见解析.【解析】结合向量的数量积即可证明.【详解】如图，设，则，①-②得：，即故，即，又所以，，三点共线，所以，，相较于一点.10．（2021·浙江高一期末）甲船在静水中的速度为40海里/小时，当甲船在点A时，测得海面上乙船搁浅在其南偏东方向的点P处，甲船继续向北航行0.5小时后到达点B，测得乙船P在其南偏东方向，（1）假设水流速度为0，画出两船的位置图，标出相应角度并求出点B与点P之间的距离．（2）若水流的速度为10海里/小时，方向向正东方向，甲船保持40海里/小时的静水速度不变，从点B走最短的路程去救援乙船，求甲船的船头方向与实际行进方向所成角的正弦值．【答案】（1）点B与点P之间的距离为海里，（2）.【解析】（1）画出图形，利用余弦定理求解即可；（2）利用向量的加法的平行四边形法则画出图形，然后利用正弦定理求解即可.【详解】（1）两船的位置图如下：由图可得，，所以所以由余弦定理可得所以点B与点P之间的距离为海里（2）如图，的方向为水流的方向，的方向为船头的方向，的方向为实际行进的方向，其中在中，由正弦定理可得所以即甲船的船头方向与实际行进方向所成角的正弦值为练提升TIDHNEG练提升TIDHNEG1．（2020·江苏高考真题）在△ABC中，D在边BC上，延长AD到P，使得AP=9，若（m为常数），则CD的长度是________．【答案】或0【解析】根据题设条件可设，结合与三点共线，可求得，再根据勾股定理求出，然后根据余弦定理即可求解.【详解】∵三点共线，∴可设，∵，∴，即，若且，则三点共线，∴，即，∵，∴，∵,,，∴，设，，则，.∴根据余弦定理可得，，∵，∴，解得，∴的长度为.当时，，重合，此时的长度为，当时，，重合，此时，不合题意，舍去.故答案为：0或.2．（2021·宁夏石嘴山市·高三二模（理））△ABC内角A，B，C的对边分別为a，b，c，，则角B的值为________；若a＋c＝6，则AC边的中线的最小值为________．【答案】【解析】结合诱导公式及二倍角公式对已知式子进行化简，然后结合辅助角公式可得B；利用余弦定理及基本不等式即可直接求解AC边的中线的最小值【详解】∵，∴，而，∴，∵，∴即，∵，∴，∴，故；延长中线到点，使得，不妨设中线长为，如图所示，即，由平面几何知识易得四边形是平行四边形，而，∴，，，∴在中，由余弦定理得，∴，当且仅当时等号成立.故答案为：；.3．（2021·全国高三专题练习（理））中，内角所对的边分别是，且，则角=__________；设点是的中点，若，则线段的取值范围是__________.【答案】【解析】先由正弦定理，然后再化简、变形得，就可以求出角.求的取值范围时，先将图形补成平形四边形，然后运用余弦定及基本不等式求范围.【详解】由正弦定理及得，.因为所以所以，又所以；把补成平行四边形（如图所示），在中，，由余弦定理得等号成立，所以.又，所以.综上得.故线段的取值范围是.故答案为：；.4．（2021·浙江高一期末）在中，，G为其重心，直线经过点G，且与射线、分别交于D、E两点，记和的面积分别为，则当取得最小值时，的值为______．【答案】【解析】设，，根据重心位置及共线定理求得，根据面积公式分别表示出分别与，的关系，代入求得取最小值时的参数的值，根据与间的关系求得结果.【详解】设，，，且G为三角形ABC的重心，延长AG交BC于H，延长CG交AB于M，则，则，又D，G，E三点共线，则，即，，同理得，则，又，则当且仅当即时，等号成立，此时，故答案为：5．（2021·上海普陀区·高三二模）如图，在△中，，，．若为△内部的点且满足，则________．【答案】【解析】根据已知的向量关系先分析出，然后通过设，根据相似三角形以及正弦定理找到的关系，从而可求解出的结果.【详解】因为，所以，所以，所以，所以，所以，即，同理可知：，不妨设，所以，又因为，，，所以，所以，所以，所以，所以，所以；在中，，所以，所以，又在中，，所以，所以，所以，所以，又因为，所以，又因为，所以，所以.故答案为：.6．（2021·浙江高三其他模拟）已知单位向量，与非零向量满足，，则的最大值是______.【答案】【解析】根据题意设，，，由得出的范围，由得出关系，则，根据得出的关系以及取等的条件可得出答案.【详解】设，，所以由，可得，即由，可得所以又，所以则当时，等号成立.此时，或即，或（这与矛盾，故舍去），由，则，即所以，解得此时所以故答案为：7．（2021·上海浦东新区·华师大二附中高三三模）已知边长为2的正方形边上有两点P､Q，满足，设O是正方形的中心，则的取值范围是___________.【答案】【解析】先建立平面直角坐标系，再分类讨论求出各种情况下的的范围即可得到答案.【详解】建立如下图所示的平面直角坐标系.①当两点在正方形的同一边上时（含正方形的顶点）.根据对称性，不妨设，由于，所以满足，可得，所以；②当两点在正方形的相邻边上时（含正方形的顶点）.根据对称性，不妨设，所以，由于，所以满足，其表示的平面区域如下图所示：令，当过时，有最小值，当与圆相切时，有最大值，所以这种情况下；③当两点在正方形的对边上时（含正方形的顶点）.根据对称性，不妨设，所以，由图可知，，所以.综上可知：.故答案为：.8．（2021·浙江嘉兴市·高三其他模拟）已知平面内不同的三点O，A，B满足，若时，的最小值为，则___________.【答案】【解析】由题设，将平面向量转化为平面几何图形，B在以A为圆心5为半径的圆上，利用向量加减、数乘的几何意义分别确定D、E使、，进而可知表示，若是关于的对称点，可知共线时最小，△中应用余弦定理求，即可求.【详解】由题设，如下图示，若，，则，，，即，∴，即，若是关于的对称点，∴，即，如下图示，当且仅当共线时，即最小，∵，即，，∴此时，△中，，而且为锐角，∴，而.故答案为：.9．（2021·江西南昌市·高一期末）已知，，分别是内角，，所对的边，且满足，若角的角平分线交边于点，且，，求：（1）求的值；（2）求边的值．【答案】（1）；（2）．【解析】（1）根据条件先用正弦定理，再由两角和的公式化简即可求解；（2）由题意得，再两边平方及角平分线定理求得，再运用余弦定理可求解.【详解】（1）因为，由正弦定理得，，即，因为、为的内角，所以，所以，因此．（2）由题意得，两边平方得，整理得，又因为角的角平分线交边于点，可得，即得代入上式得，整理得，再由余弦定理得：，解得边.10．（2021·山东泰安市·高一月考）三角形ABC中，，点E是边BC上的动点，当E为BC中点时，（1）求