有理数的运算技巧

有理数的运算有理数的加法将一个或多个有理数的值相加的过程叫有理数的加法，如：23+64+52=139分析理解与小学加法的联系有理数的加法与小学的加法大有不同,小学的加法不涉及到符号的问题,而有理数的加法运算总是涉及到两个问题:一是确定结果的符号;二是求结果的绝对值.法则理解在进展有理数加法运算时,首先判断两个加数的符号:是同号还是异号,是否有0.从而确定用那一条法则.在应用过程中,一定要牢记"先符号,后绝对值",熟练以后就不会出错了.法则拓广多个有理数的加法,可以从左向右计算,也可以用加法的运算定律计算,但是在下笔前一定要思考好,哪一个要用定律哪一个要从左往右计算.有理数加法法则Ⅰ.同号两数相加,取一样的符号,并把绝对值相加.Ⅱ.异号两数相加，绝对值相等时，和为零，绝对值不等时，取绝对值较大的数的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值Ⅲ.一个数与0相加,仍得这个数.运算律1、有理数的加法同样拥有交换律和结合律(和整数得交换律和结合律一样)用字母表示为:交换律:a+b=b+a两个数相加，交换加数的位置，和不变。结合律:a+b+c=(a+b)+c=a+(b+c)。2、三个数相加，先把前两个数相加，或者先把后两个数相加，和不变。有理数的加法解析一般地，同号两数相加有下面的法则：同号两数相加，取与加数一样的符号，并把绝对值相加。一般地，异号两数相加有下面的法则：异号两数相加，取绝对值较大的加数的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值。另外，有理数相加还有以下法则：互为相反数的两个数相加得零；一个数同零相加，仍得这个数。有理数相加的例子：两个有理数相加，有多少种不同的情形？为此，我们来看一个大家熟悉的实际问题：足球比赛中赢球个数与输球个数是相反意义的量．假设我们规定赢球为“正〞，输球为“负〞，打平为“0〞．比方，赢3球记为+3，输1球记为-1．学校足球队在一场比赛中的胜负可能有以下各种不同的情形：(1)上半场赢了3球，下半场赢了1球，则全场共赢了4球．也就是(+3)+(+1)=+4．(2)上半场输了2球，下半场输了1球，则全场共输了3球．也就是(-2)+(-1)=-3．现在，请同学们说出其他可能的情形．答：上半场赢了3球，下半场输了2球，全场赢了1球，也就是(+3)+(-2)=+1；上半场输了3球，下半场赢了2球，全场输了1球，也就是(-3)+(+2)=-1；上半场赢了3球下半场不输不赢，全场仍赢3球，也就是(+3)+0=+3；上半场输了2球，下半场两队都没有进球，全场仍输2球，也就是(-2)+0=-2；上半场打平，下半场也打平，全场仍是平局，也就是0+0=0．上面我们列出了两个有理数相加的7种不同情形，并根据它们的具体意义得出了它们相加的和．但是，要计算两个有理数相加所得的和，我们总不能一直用这种方法．现在请同学们仔细观察比拟这7个算式，你能从中发现有理数加法的运算法则吗？也就是结果的符号怎么定？绝对值怎么算？1．同号两数相加，取一样的符号，并把绝对值相加；2．绝对值不相等的异号两数相加，取绝对值较大的加数符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值，互为相反数的两个数相加得0；3．一个数同0相加，仍得这个数．有理数的加法与小学的加法大有不同，小学的加法不涉及到符号的问题，而有理数的加法运算总是涉及到两个问题：一是确定结果的符号；二是求结果的绝对值。在进展有理数加法运算时，首先判断两个加数的符号：是同号还是异号，是否有0。从而确定用那一条法则。在应用过程中，一定要牢记"先符号，后绝对值",熟练以后就不会出错了。多个有理数的加法，可以从左向右计算，也可以用加法的运算定律计算，但是在下笔前一定要思考好，哪一个要用定律哪一个要从左往右计算。要点同号相加不变,异号相加变减.欲问符号怎么定,绝对值大号选。在进展有理数加法运算时，一般采取：1.是互为相反数的先加〔抵消〕；2.同号的先加；3.同分母的先加；4.能凑整数的先加;5.异分母分数相加,先通分,再计算.6.几个数相加能得到整数的可以先相加。记忆口诀有理加法不模糊同号异号分清楚如果两数号一样绝对相加号相从如果两数号相异大绝来把小绝去结果符号大绝替有理数减法有理数减法法则减去一个数，等于加上这个数的相反数。其中：两变：减法运算变加法运算，减数变成它的相反数。一不变：被减数不变。可以表示成：a－b=a+〔－b〕。表达式:a-b=a+(-b)例题1：计算：1、〔-3〕-〔-5〕=2、0-7=3、7.2-〔-4.8〕=4、0-〔-8〕=例2：数轴上A、B、C、D所表示的有理数分别是+1、+3、-2、-4，用有理数减法的算式分别表示以下两点间的距离。〔1〕A、B两点。〔2〕C、D两点。〔3〕A、D两点。〔4〕D、C两点。例3、世界上最高的山峰是珠穆朗玛峰，其海拔高度大约是8844米，吐鲁番盆地的海拔高度大约是－155米．两处高度相差多少米？解：8844-〔-155〕=8844+155=8999〔米〕答：两处高度相差8999米〔强调解题格式〕练习1.两个有理数相减，是否存在“不够减〞的问题呢？差一定小于被减数吗？2.假设a与b两数相减，差是负数，则a<b。小结有理数乘法有理数乘法法则即两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘。任何一个数与0相乘，积仍为0。有理数乘法运算律即分配律、结合律、交换律。用字母表示为：ab=ba、a(bc)=(ab)c、a(b+c)=ab+ac。符号法则:两数相乘，同号得正，异号得负特殊运用:任何数与0相乘，积仍为0具体步骤：〔1〕两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘。例：〔-5〕×〔-3〕=+〔5*3〕=15〔-6〕×4=-〔6*4〕=-24〔2〕任何数与0相乘，积为0.例：0×1=0〔3〕几个不等于0的数相乘，积的符号由负因数的个数决定。当负因数有奇数个数时，积为负数；当负因数有偶数个数时，积为正数。并把其绝对值相乘。例：〔-10〕×〔-5〕×〔-0.1〕×〔-6)=积为正数，而〔-4〕×〔-7〕×(-25〕=积为负数〔4〕几个数相乘，有一个因数为0时，积为0.例：3×〔-2〕×0=0〔5〕乘积为一的两个有理数互为倒数〔reciprocal〕。例如，—3与—1/3，—3/8与—8/3(5)0没有倒数(6)如果有两个有理数的乘积为1，则称其中一个数为另一个数的倒数〔reciprocal)，也称这两个有理数互为倒数。例如：3与3分之一互为倒数，负八分之三与负三分之八互为倒数。[同号得正，异号得负]重点：运用有理数乘法法则正确进展计算。难点：有理数乘法法则的探索过程，符号法则及对法则的理解。1、创设问题情景：由于长期干旱，水库放水抗旱。每天放水2米，已经放了3天，现在水深20米，问放水抗旱前水库水深多少米？学生：26米。教师：能写出算式吗？学生：……教师：这涉及有理数乘法运算法则，正是我们今天需要讨论的问题〔教师板书课题〕2、小组探索、归纳法则〔1〕出示以下问题，学生以组为单位探索。以原点为起点，规定向东的方向为正方向，向西的方向为负方向。a.2×3看作向东运动2米，×3看作向原方向运动3次。结果：向运动米2×3=b.-2×3-2看作向西运动2米，×3看作向原方向运动3次。结果：向运动米-2×3=c.2×〔-3〕2看作向东运动2米，×〔-3〕看作向反方向运动3次。结果：向运动米2×〔-3〕=d.〔-2〕×〔-3〕-2看作向西运动2米，×〔-3〕看作向反方向运动3次。结果：向运动米〔-2〕×〔-3〕=e．被乘数是零或乘数是零，结果是人仍在原处。〔2〕学生归纳法则a.符号：在上述4个式子中，我们只看符号，有什么规律？〔+〕×〔+〕=〔〕同号得〔-〕×〔+〕=〔〕异号得〔+〕×〔-〕=〔〕异号得〔-〕×〔-〕=〔〕同号得b.积的绝对值等于。c.任何数与零相乘，积仍为。〔3〕师生共同用文字表达有理数乘法法则。3、运用法则计算，稳固法则。〔1〕教师按课本P75例1板书，要求学生述说每一步理由。〔2〕引导学生观察、分析例1中〔3〕小题两因数的关系，得出两个有理数互为倒数，它们的积为1。〔4〕学生做P76练习1的①、③两题，教师评析。〔5〕教师引导学生做P75例2，让学生说出每步法则，使之进一步熟悉法则，同时让学生总结出多因数相乘的符号法则。多个因数相乘,积的符号由决定,当负因数个数有,积为；当负因数个数有,积为；只要有一个因数为零,积就为。4、讨论比照，使学生知识系统化。有理数乘法有理数加法同号得正取一样的符号把绝对值相乘〔-2〕×〔-3〕=6把绝对值相加〔-2〕+〔-3〕=-5异号得负取绝对值大的加数的符号把绝对值相乘〔-2〕×3=-6〔-2〕+3=1用较大的绝对值减小的绝对值任何数与零得零得任何数5、分层作业，稳固提高。六、教学反思：本节课由情景引入，使学生迅速进入角色，很快投入到探究有理数乘法法则上来，提高了本节课的教学效率。在本节课的教学实施中自始至终引导学生探索、归纳，真正表达了以学生为主体的教学理念。本节课特别注重过程教学，有利于培养学生的分析归纳能力。教学效果令人比拟满意。如果是在法则运用时，编制一些训练符号法则的口算题，效果可能更好。。相关题目计算：1〕〔-54〕×〔-0.02〕×〔-100/21〕×〔-2〕=0.45362〕〔-4〕*〔-5〕*0.25=20*0.25=53〕100*〔-3〕*〔-5〕*0.01=(-300)*(-5)*0.01=1500*0.01=154〕〔1/9-1/6-1/18〕*36=(-1/18-1/18)*36=-1/9*36=-45〕〔1/4-1/2-1/8〕*128=(-1/4-1/8)*128=-3/8*128=-48有理数除法法则法则一、除以一个不等于0的数等于乘这个数的倒数。〔注意：0没有倒数〕公式：a÷b=a×1/b法则二、两数相除，同号得正，异号得负，并把绝对值相除。〔0除以任何一个非0的数，都得0〕说明:0没有倒数〔1〕0除以任何一个不等于0的数，都等于0。〔2〕0在任何条件下都不能做除数。〔3〕0没有倒数。〔4〕倒数是它本身的数是1和-1。〔5〕同号得正，异号得负。〔6〕除以一个不为0的数等于乘这个数的倒数。运算公式a÷b=a×1/b〔b≠0)一般步骤两个有理数相除时，首先确定商的符号，其次确定商的绝对值。有理数除法运算的步骤：〔1〕“÷〞改为“×〞，除数变倒数；〔2〕乘法运算。有理数乘方求一样因数的积叫做乘方〔involution〕。乘方运算的结果叫幂〔power〕。正数的任何次幂都是正数，负数的奇数次幂是负数，负数的偶数次幂是正数。[1]表示22、73也可以看做是乘方运算的结果，这时它们表示数，分别读作“2的2次幂〞、“7的3次幂〞，其中2与7叫做底数〔base〕,2与3叫做指数〔e*ponent〕。这种求n个一样因数a的积运算叫做乘方〔power〕，乘方的结果叫做幂〔power〕，a叫做底数〔basenumber〕，n叫指数〔e*ponent〕。任何数的0次方都是1，例：3º=1〔注：0º无意义〕(2^5=2*2*2*2*2)[2]1、重点：在理解有理数乘方意义的根底上进展有理数的乘方运算。2、难点：与所学知识进展衔接，处理带各种符号的乘方运算。创设情境:①听音频资料，通过"棋盘上的学问"一则故事，引入问题：64个二相乘怎么计算？吸引学生注意，为下文引入乘方的概念铺垫。师：到底国王傻不傻呢？大家先别急着下结论，等大家学完了本节课程，就能答复这个问题了。②请大家看细胞分裂示意图，由计算并用算式表示出第一次，第二次，第三次，第n次分裂后细胞的个数，引入乘方的概念。师：有些时候，我们会遇到几个一样因数相乘的式子，比方五个2相乘，我们要写很长，这样的式子有更简单的表示方式吗？①什么叫乘方？求个一样因数的积的运算叫乘方②用字母怎么表示？读作什么？③每个字母表示什么？分别请学生答复相关的问题，培养学生自主学习的能力。注：①乘方是一种和加减乘除一样的一种运算；②指数n要以小写的形式写于底数的右上角；③了解乘方的意义，从幂转为乘。〔3〕了解乘方的指数，底数，幂的定义乘方的结果叫做幂；在中，叫做底数，叫做指数。明确了表示a的幂的这个式子的构造之后，做几道口答题。看屏幕，用根底题来调动学生参与讨论答复的积极性，为后续学习热身。性质正数的任何次幂都是正数，负数的奇次幂是负数，负数的偶次幂是正数，0的任何正整数次幂都得0.例题*种细胞每过30分便由一个分裂成2个。经过5h，这种细胞由一个能分裂成多少个？解答：1个细胞30min后分裂成2个，1h后分裂成2×2个，1.5h后分裂成2×2×2个……5h后要分裂10次，分裂成2×2×2×2×2×2×2×2×2×2=1024〔个〕为了简便，可将2×2×2×2×2×2×2×2×2×2记为2¹º。有理数混合运算法则有理数的运算顺序：有理数的混合运算法则即先算乘方或开方，再算乘法或除法，后算加法或减法。有括号时、先算小括号里面的运算，再算中括号，然后算大括号。[5×〔4-5+5〕]÷5=〔5×4〕÷5=4运算律：①加法的交换律：a+b=b+a；②加法的结合律：(a+b)+c=a+(b+c)；③乘法的交换律：ab=ba；④乘法的结合律：(ab)c=a(bc)；⑤乘法对加法的分配律：a(b+c)=ab+ac；注：除法没有分配律。有理数的加减混合运算的几个技巧:小学生进入初中以后，接触了正，负数，很多同学觉得数学的知识增加了很多。但一开场学习有理数加减混合运算，他们发现很容易犯错误，而且在运算过程中有时不知所措。有理数的运算是初中数学中的根底运算，熟练地掌握有关的运算技巧，巧妙地运用有关数学方法，是提高运算速度和准确性的必要保证．下面介绍一些运算技巧．归类运算进展有理数的加减运算时，运用交换律、结合律归类加减，常常可以使运算简捷．如整数与整数结合、如分数与分数结合、同分母与同分母结合等．例1计算：－(0.5)－(－3)+2.75－(7)．解法一：－(0.5)－(－3)+2.75－(7)=(－0.5+2.75)+(3－7)=2.25－4=－2．解法二：－(0.5)－(－3)+2.75－(7)=－0.5+3+2.75－7=(3+2－7)+(－0.5++0.75－=－2．评析：解法一是小数与小数相结合，解法二整数与整数结合，这样解决了既含分数又含小数的有理数加减运算问题．同学们遇到类似问题时，应学会灵活选择解题方法．将同类数〔如正数或负数〕归类计算。练习:计算：。解：原式。将分母一样或易于通分的数结合。计算：解：原式二、凑整数法。在式子中假设既有分数又有小数，有些数相加后能凑出整数，这样做的目的是使得运算简便将和为整数的数结合计算。例2计算：。解：原式将相加得零的数结合计算。计算：。原式“凑整〞就是把“一些分数〔或小数〕凑成整数〞，把“一些整数凑成10的整倍数〞，使有理数式子容易计算出结果。在凑整过程中，常用添项、拆项、分解因数、提公因数等方法技巧。〔1〕19＋299＋3999＋49999〔2〕〔3〕〔4〕三、变换顺序在有理数的运算中，适当改变运算顺序，有时可以减少运算量，在具体运算过程中，技巧是恰到好处地运用交换率、结合律和分配律等运算律简化运算．例3计算：[4＋(－)]＋[(－)＋6]．解：[4＋(－)]＋[(－)＋6]=4＋(－)＋(－)＋6=[4＋6]＋[(－)＋(－)]=11＋(－)=10．计算：解：原式评析：在运算前，首先观察、分析参与运算的数的特征、排列顺序等，适当交换一下各数的位置，到达简化运算、快速解题的目的．逆用运算律在处理有理数的数字运算中，假设能根据题目所显示的构造、关系特征，对此加以灵活变形，便可巧妙地逆用分配律，使解题简洁明快．例4计算：17.48×37＋174.8×1.9＋8.74×88．解：17.48×37＋174.8×1.9＋8.74×88=17.48×37＋(17.48×10)×1.9＋17.48×44=17.48×37＋17.48×19＋17.48×44=17.48×(37＋19＋44)=1748．解：原式。评析：很明显，灵活变形，逆用分配律，减少了运算量，提高了解题效率．巧拆项把一项拆成两项的和或积，使得算式可以消去*些项，使运算简捷．例5计算2005×－1001×．解：2005×－=(2004＋1)×－(1002－1)×=(2003－1001)＋(＋)=1003．将一个数分解成两个或几个数之和的形式，或分解为它的因数相乘的形式。计算：。原式评析：对于这些题目构造复杂，长度较大的数，用常规的方法不易解决．解这类问题要根据题目的构造特点，找出拆项规律，灵活巧妙地把问题解决．把一项拆成两项的和或积，使得算式可以消去*些项，使运算简捷。利用下面的拆项公式课化简一些有理数式子的计算第一类：或或第二类：或第三类：〔1〕〔2〕〔3〕〔4〕〔5〕六、观察根据0、1、在运算中的特性，观察算式特征寻找运算结果为0、1或的局部优先计算。例：计算：。解：，。原式七、变量替换通过引入新变量转化命题构造，这样不但可以减少运算过程，还有利于寻找接题思路，其中的新变量在解题过程中起到桥梁作用．例6计算×(0.125＋)．解：设a=，b=0.125，c=，则×(0.125＋)=×(b＋)=×=1．评析：此题横看纵看都显得比拟复杂，但假设仔细观察，整个式子可分为三个局部：，0.125，，因此，采用变量替换就大大减少了计算量．分组搭配观察所求算式特征，巧妙运用分组搭配处理，可以简化运算．例7计算：2－3－4＋5＋6－7－8＋9…＋66－67－68＋69．解：2－3－4＋5＋6－7－8＋9…＋66－67－68＋69=(2－3－4＋5)＋(6－7－8＋9)＋…＋(66－67－68＋69)=0＋0＋0＋…＋0=0．观察所求算式特征，巧妙运用分组搭配处理，可以简化运算。〔1〕100-99+98-97+…+4-3+2-1〔1〕200+199-198-197+…+4+3-2-1〔2〕2－3－4＋5＋6－7－8＋9…＋66－67－68＋69评析：这种分组运算的过程，实质上是巧妙地添括号或去括号问题．倒序相加在处理多项式的加减乘除运算时，常根据所求式构造，采用倒序相加减的方法把问题简化．例8计算＋(＋)＋(＋＋)＋(＋＋＋)＋…＋(＋＋…＋＋)．①解：把①式括号倒序后，得：＋(＋)＋(＋＋)＋(＋＋＋)＋…＋(＋＋…＋＋)，②①＋②得：1＋2＋3＋4＋…＋58＋59=1770，∴＋(＋)＋(＋＋)＋(＋＋＋)＋…＋(＋＋…＋＋)=(1770)=885．评析：显然，此类问题是不能“硬算〞的，倒序相加可提高运算速度，降低复杂程度．如果一个数列，与首末项等距的两项之和等于首末两项之和，可采用把正着写和与倒着写和得两个和式相加，就得到一个常数列的和，这一求和方法称为倒序相加法。在处理多项式的加减乘除运算时，常根据所求式构造，采用倒序相加减的方法把问题简化。对于较复杂的算式直接运算很困难，假设能抓住其特征，运用整体运算的思维，创造性地加以解决，就能收到事半功倍的效果。整体换元可以避开局部细节的麻烦，它利用前后项之间的倍数关系，使用的是错位相加法。〔1〕〔2〕1－＋－＋－＋－＋〔3〕添数配对例9计算11＋192＋1993＋19994＋199995＋1999996＋19999997＋199999998＋1999999999．解：添上9＋8＋7＋6＋5＋4＋3＋2＋1，依次与各数配对相加，得：11＋192＋1993＋19994＋199995＋1999996＋19999997＋199999998＋1999999999．=20＋200＋2×10＋2×10＋…＋2×10－(9＋8＋7＋6＋5＋4＋3＋2＋1)=2222222220－45=2222222175．评析：添数配对实质上也是一种凑整运算．整体换元对于较复杂的算式直接运算很困难，假设能抓住其特征，运用整体运算的思维，创造性地加以解决，就能收到事半功倍的效果．例10计算1－＋－＋－＋－＋．解；设1－＋－＋－＋－＋=*，①则①×(－)，得－＋－＋－＋－＋－=－*，②－②，得1＋=*，解得*=，故1－＋－＋－＋－＋=．评析：整体换元可以避开局部细节的麻烦，它利用前后项之间的倍数关系，使用的是错位相加法．式子的整体角度考察，把局部式子用字母代替后，再进展化简求值。通过引入字母转化命题构造，这样不但可以减少运算过程，还有利于寻找接题思路，其中的新变量在解题过程中起到桥梁作用。〔1〕〔2〕十二、简单等差数列求和法等差数列：如果一个数列从第二项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，这个数列就叫做等差数列。，即：补充公式：〔