2022年河南省三门峡市灵宝西闫第一中学高三数学文上学期期末试题含解析

2022年河南省三门峡市灵宝西闫第一中学高三数学文上学期期末试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.已知，且，则（

）A． B． C． D．参考答案：D由，可得：，又，∴，则.故选：D

2.已知是等比数列，，则公比=（

）A

B

C

2

D

参考答案：D3.在梯形ABCD中，已知，，，，若，则（

）A. B. C. D.参考答案：D【分析】根据向量的运算法则，化简得到，得到，即可求解.【详解】由题意，根据向量的运算法则，可得：，又因为，所以，所以.故选：D.【点睛】本题主要考查了平面向量的基本定理的应用，其中解答中熟练应用平面向量的基本定理，熟练应用向量的运算法则是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.4.设等差数列{an}的前n项和为Sn，Sm－1＝－2，Sm＝0，Sm＋1＝3，则m＝(

)A、3

B、4

C、5

D、6参考答案：C5.知△ABC的三个内角A、B、C所对的边分别为a、b、c，且A. B. C. D.或参考答案：B6.关于x的函数在上为减函数，则实数a的取值范围是(

)A．(－∞，－1) B．（，0） C．(，0) D．(0，2 参考答案：A7.过函数图象上一点M作切线与轴和直线分别交于点P、Q，点N（0，1），则△PQN面积的最大值为

.参考答案：略8.定义运算,则函数f(x)＝1⊕2x的图象是()．参考答案：A9.若对任意的正实数，函数在上都是增函数，则实数的取值范围是（

）A． B． C． D．参考答案：试题分析：因为对任意的正实数，函数在上都是增函数，所以恒成立，即对任意的正实数，在上恒成立，所以，，，故只需的最小值.令，，由于时，；时，，即时，取得最小，故选.考点：1.应用导数研究函数的单调性、最值；2.不等式恒成立问题.10.抛物线的焦点为，其准线经过双曲线的左顶点，点为这两条曲线的一个交点，且，则双曲线的离心率为（

）A．

B．

C．

D．参考答案：A二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.在等差数列中,是其前项的和,且,,则数列的前项的和是__________?参考答案：12.已知函数f（x）=x2+2x+a，g（x）=lnx﹣2x，如果存在x1∈[，2]，使得对任意的x2∈[，2]，都有f（x1）≤g（x2）成立，则实数a的取值范围是

．参考答案：（﹣∞，ln2﹣]

【考点】利用导数研究函数的单调性．【分析】求导函数，分别求出函数f（x）的最小值，g（x）的最小值，进而可建立不等关系，即可求出a的取值范围．【解答】解：求导函数，可得g′（x）=﹣2=，x∈[，2]，g′（x）＜0，∴g（x）min=g（2）=ln2﹣4，∵f（x）=x2+2x+a=（x+1）2+a﹣1，∴f（x）在[，2]上单调递增，∴f（x）min=f（）=+a，∵如果存在，使得对任意的，都有f（x1）≤g（x2）成立，∴+a≤ln2﹣4，∴a≤ln2﹣故答案为（﹣∞，ln2﹣]【点评】本题考查导数知识的运用，考查函数的最值，解题的关键是转化为f（x）min≤g（x）min．13.已知函数则的值为

．参考答案：414.若一个正方体的表面积为，其外接球的表面积为，则____________.参考答案：设正方体棱长为，则正方体表面积为，其外接球半径为正方体体对角线长的，即为，因此外接球表面积为，则.15.如图，二面角的大小是60°，线段.，与所成的角为30°.则与平面所成的角的正弦值是

.参考答案：16.若函数y＝f(x)的定义域是[0,2]，则函数g(x)＝的定义域是__________参考答案：略17.在平面四边形中，，，，，则的最小值为

．参考答案：三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.（本小题满分12分）已知数列是等比数列，，是和的等差中项.（Ⅰ）求数列的通项公式；（Ⅱ）设，求数列的前项和.参考答案：解：（Ⅰ）设数列的公比为，因为，所以，．…………1分因为是和的等差中项，所以．……2分即，化简得．因为公比，所以．………4分所以（）．…………5分（Ⅱ）因为，所以．所以．……………7分则，

①.

②………………9分①－②得，……10分

，所以．……………12分19.已知函数与的图象都经过点，且在点处有公共切线，求的表达式．参考答案：解析：图象过点Ｐ，，．由于图象过点，所以可得．又，，，．综上可知．20.已知函数f（x）=ax，g（x）=lnx，其中a∈R，（e≈2.718）．（1）若函数F（x）=f（x）﹣g（x）有极值1，求a的值；（2）若函数G（x）=f（sin（x﹣1））﹣g（x）在区间（0，1）上为减函数，求a的取值范围；（3）证明：．参考答案：考点：利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数的极值．专题：导数的综合应用．分析：（1）F（x）=ax﹣lnx，（x＞0），，对a分类讨论，利用导数研究函数的单调性极值即可得出；（2）解法1：由函数G（x）=f（sin（x﹣1））﹣g（x）=asin（x﹣1）﹣lnx在区间（0，1）上为减函数，可得在（0，1）上恒成立在（0，1）上恒成立，设，利用导数研究其单调性极值与最值即可得出；解法2：由函数G（x）=f（sin（x﹣1））﹣g（x）=asin（x﹣1）﹣lnx在区间（0，1）上为减函数，可得对?x∈（0，1），（*）恒成立，由x∈（0，1），可得cos（x﹣1）＞0，对a分类讨论：当a≤0时，（*）式显然成立；当a＞0时，（*）式?在（0，1）上恒成立，设h（x）=xcos（x﹣1），利用其单调性即可得出．（3）证法1：由（2）知，当a=1时，G（x）=sin（x﹣1）﹣lnx＞G（1）=0，?sin（x﹣1）＞lnx．对任意的k∈N*有，可得，因此，利用对数的运算性质、“累加求和”即可得出；证法2：利用导数先证明当时，sinx＜x，由于对任意的k∈N*，，而．可得，利用“累加求和”即可证明．解答： 解：（1）∵F（x）=ax﹣lnx，（x＞0）∴，①若a≤0，则对任意的x∈（0，+∞）都有F'（x）＜0，即函数F（x）在（0，+∞）上单调递减，函数F（x）在（0，+∞）上无极值；②若a＞0，由F'（x）=0得，当时，F'（x）＜0；当时，F'（x）＞0，即函数F（x）在单调递减，在单调递增，∴函数F（x）在处有极小值，∴=，∴a=1．（2）解法1：∵函数G（x）=f（sin（x﹣1））﹣g（x）=asin（x﹣1）﹣lnx在区间（0，1）上为减函数，且当x∈（0，1）时，cos（x﹣1）＞0，∴在（0，1）上恒成立在（0，1）上恒成立，设，则，当x∈（0，1）时，sin（x﹣1）＜0，cos（x﹣1）＞0，∴H'（x）＜0在（0，1）上恒成立，即函数H（x）在（0，1）上单调递减，∴当x∈（0，1）时，H（x）＞H（1）=1，∴a≤1．解法2：∵函数G（x）=f（sin（x﹣1））﹣g（x）=asin（x﹣1）﹣lnx在区间（0，1）上为减函数，∴对?x∈（0，1），（*）恒成立，∵x∈（0，1），∴cos（x﹣1）＞0，当a≤0时，（*）式显然成立；当a＞0时，（*）式?在（0，1）上恒成立，设h（x）=xcos（x﹣1），易知h（x）在（0，1）上单调递增，∴h（x）＜h（1）=1，∴?0＜a≤1，综上得a∈（﹣∞，1]．（3）证法1：由（2）知，当a=1时，G（x）=sin（x﹣1）﹣lnx＞G（1）=0，?sin（x﹣1）＞lnx，∵对任意的k∈N*有，∴∴，∴=＜ln2，即．证法2：先证明当时，sinx＜x，令p（x）=sinx﹣x，则p'（x）=cosx﹣1＜0对任意的恒成立，∴函数p（x）在区间上单调递减，∴当时，p（x）＜p（0）=0，∴sinx＜x，∵对任意的k∈N*，而．∴，∴．点评：本题考查了利用导数研究函数的单调性极值与最值、利用函数的单调性证明不等式、“累加求和”，考查了恒成立问题的等价转化方法，考查了分类讨论的思想方法，考查了推理能力与计算能力，属于难题．21.已知曲线C的参数方程为（θ为参数），在同一平面直角坐标系中，将曲线C上的点按坐标变换得到曲线C′．（1）求曲线C′的普通方程；（2）若点A在曲线C′上，点B（3，0），当点A在曲线C′上运动时，求AB中点P的轨迹方程．参考答案：【考点】参数方程化成普通方程．【专题】坐标系和参数方程．【分析】（1）利用坐标转移，代入参数方程，消去参数即可求曲线C′的普通方程；（2）设P（x，y），A（x0，y0），点A在曲线C′上，点B（3，0），点A在曲线C′上，列出方程组，即可求AB中点P的轨迹方程．【解答】解：（1）将代入，得C'的参数方程为∴曲线C'的普通方程为x2+y2=1．

…（2）设P（x，y），A（x0，y0），又B（3，0），且AB中点为P所以有：又点A在曲线C'上，∴代入C'的普通方程得（2x﹣