高中导数课件

§1.1变化率及导数问题1气球膨胀率很多人都吹过气球，回忆一下在吹气球的过程中,可以发现,随着气球内空气容量的增加,气球的半径增加得越来越慢.从数学的角度,如何描述这种现象呢？？？？想一想如何描述呢?第二页第二页，共93页。

若将半径r表示为体积V的函数,那么：

当空气容量V从0L增加到1L,气球半径增加了：

我们知道，气球的体积V(单位:L)与半径r(单位:dm)之间的关系是：气球的平均膨胀率为：第三页第三页，共93页。

可以看出：随着气球体积逐渐变大,它的平均膨胀率逐渐变小

当空气容量V从1L增加到2L,气球半径增加了：

气球的平均膨胀率为：

第四页第四页，共93页。

当空气容量从V1增加到V2时,气球的平均膨胀率是多少?思考？第五页第五页，共93页。问题2高台跳水在高台跳水运动中,运动员相对于水面的高度h(单位:m)与起跳后的时间t(单位:s)存在函数关系：如果用运动员在某段时间内的平均速度

描述其运动状态,那么:在0≤t≤0.5这段时间里,

在1≤t≤2这段时间里,第六页第六页，共93页。

计算运动员在这段时间里的平均速度,并思考下面的问题:

(1)运动员在这段时间里是静止的吗?

(2)你认为用平均速度描述运动员的运动状态有什么问题吗?探究第七页第七页，共93页。1.1.1平均变化率定义：式子称为函数从

到的平均变化率.令则平均变化率可表示为：注：并不是表示与的乘积也是一样第八页第八页，共93页。

理解1，式子中、的值可正、可负，但

的值不能为,的值可以为2，若函数为常函数时，3,变式为什么不能为零?如果无限接近零表示什么?第九页第九页，共93页。探索？？观察的图像平均变化率表示什么？OABxyx1x2f(x1)f(x2)x2-x1f(x2)-f(x1)直线AB的斜率若无限接近，此时平均变化率又表示什么又表示什么？第十页第十页，共93页。

1、已知函数

的图象上的一点A(-1,-2)及临近一点

,则=（）

A3

BC

D2、求y=x2在x=x0附近的平均速度。

做两个题吧！第十一页第十一页，共93页。

求平均变化率一般步骤

求函数的增量

计算平均变化率第十二页第十二页，共93页。1.1.2导数的概念

在高台跳水运动中,平均速度不能反映他在这段时间里运动状态，需要用瞬时速度描述运动状态。我们把物体某一时刻的速度称为

瞬时速度.

又如何求瞬时速度呢?第十三页第十三页，共93页。平均变化率的几何意义平均变化率近似地刻画了曲线在某一区间上的变化趋势.那么如何精确地刻画曲线在一点处的变化趋势呢?求：从2s到(2+△t)s这段时间内平均速度第十四页第十四页，共93页。

平均变化率的几何意义时，在这段时间内

时,

在

这段时间内当△t=–0.01时，当△t=0.01时，当△t=–0.001时,当△t=–0.0001时,当△t=0.0001时,△t=–0.00001,△t=0.00001,△t=–0.000001,△t=0.000001,…………当△t=0.001时,第十五页第十五页，共93页。

观察

从物理的角度看,时间间隔|△t|无限变小时,平均速度就无限趋近于t=2时的瞬时速度.因此,运动员在t=2时的瞬时速度是–13.1.第十六页第十六页，共93页。为了表述方便我们用表示当t=2,注：确定值-13.1，我们称是第十七页第十七页，共93页。探究1、运动员在某一时刻的瞬时速度怎样表示？2、第十八页第十八页，共93页。导数的定义一般地，函数y=f(x)在时瞬时变化率是：我们称它为函数即：注解：第十九页第十九页，共93页。

关于导数的几点说明：

第二十页第二十页，共93页。

由导数的定义可知,求函数y=f(x)的导数的一般方法:

求函数的改变量2.求平均变化率3.求值一差、二化、三极限第二十一页第二十一页，共93页。例题

将原油精炼为汽油、柴油、塑胶等各种不同产品,需要对原油进行冷却和加热.如果第

h时,原油的温度（单位：）为

(0≤x≤8).计算第2h和第6h,原油温度的瞬时变化率,并说明它们的意义.解：在第2h和第6h时,原油温度的瞬时变化率就是和根据导数的定义,第二十二页第二十二页，共93页。

所以，同理可得在第2h和第6h时,原油温度的瞬时变化率分别为–3和5.它说明在第2h附近,原油温度大约以3/h的速率下降;在第6h附近,原油温度大约以5/h的速率上升.GETTINGHIGHERGAP第二十三页第二十三页，共93页。

练习:计算第3h和第5h时原油的瞬时变化率,并说明它们的意义.

如果质点A按规律则在t=3s时的瞬时速度为A.6B.18

C.54D.81课堂练习第二十四页第二十四页，共93页。

第二十五页第二十五页，共93页。1.1.3导数的几何意义

观察第二十六页第二十六页，共93页。

分析：割线斜率和此切线的斜率有什么关系呢？想一想，算一算！第二十七页第二十七页，共93页。

导数的几何意义：函数在某一点的导数，就是该点的切线斜率。练习：求：结论我得好好想想第二十八页第二十八页，共93页。§1.2导数的计算1.2.1几个常用函数的导数

其中c为常数第二十九页第二十九页，共93页。

所以，第三十页第三十页，共93页。

它在时刻时的速度为某物体作变速直线运动，函数，则可以解释为若表示路程关于时间的第三十一页第三十一页，共93页。

第三十二页第三十二页，共93页。

这个函数又如何描述呢？第三十三页第三十三页，共93页。

第三十四页第三十四页，共93页。

1.2.2基本初等函数导数公式及四则运算法则

我要想法记住这些！第三十五页第三十五页，共93页。

导数的运算法则1、2、3、第三十六页第三十六页，共93页。例题

第三十七页第三十七页，共93页。

导数运算法则推广函数和与差的导数运算法则可推广到任意有限个可导函数的和(或差)．

第三十八页第三十八页，共93页。例题

[分析]这些函数是由基本初等函数经过四则运算得到的简单函数，求导时，可直接利用函数加减的求导法则进行求导．第三十九页第三十九页，共93页。例题

第四十页第四十页，共93页。

1.2.3复合函数求导

1、引例(1)求的导数解1

解2 因为所以解1是错误的。

因为 是基本初等函数，而是复合函数。思考：(2)求y=lnsinx的导数??第四十一页第四十一页，共93页。

2、复合函数定义设

而为关于的函数且函数的值域包含在

的定义域内，那么

通过

的联系也是自变量

的函数，我们称

为

的复合函数，记为

,其中

称为中间变量第四十二页第四十二页，共93页。

3、复合函数求导法则

第四十三页第四十三页，共93页。

例题例1、求的导数。例2、求的导数。解：小标注第四十四页第四十四页，共93页。§1.3导数在研究函数中的应用第四十五页第四十五页，共93页。1.3.1函数的单调性与导数

右图（1）表示跳水运动员高度h随时间t变化的函数的图像，（2）表示高台跳水运动员的速度v随时间t变化的函数图像思考？运动员从起点跳到最高点，以及从最高点到入水这两段时间的运动状态有什么区别?观察第四十六页第四十六页，共93页。通过观察图像可以发现：

①运动员从起跳到最高点,离水面的高度h随时间t的增加而增加,即h(t)是增函数.相应地,

②从最高点到入水,运动员离水面的高度h随时间t的增加而减少,即h(t)是减函数.相应地,第四十七页第四十七页，共93页。观察下面一些函数的图象,探讨函数的单调性与其导函数正负的关系.

第四十八页第四十八页，共93页。

可以发现上面四幅图有一个共同特征：实际上上述特征适合所有函数，它是所有函数特征。（函数必须存在导函数）

在某个区间(a,b)内,如果,那么函数在这个区间内单调递增;如果,那么函数在这个区间内单调递减.如果在某个区间内，那么函数有什么特征？第四十九页第四十九页，共93页。

例题题1已知导函数的下列信息:解：当1<x<4时,可知在此区间内单调递增;当x>4,或x<1时,可知在此区间内单调递减;当x=4,或x=1时,当1<x<4时,当x>4,或x<1时,当x=4,或x=1时,试画出函数的图象的大致形状.第五十页第五十页，共93页。

例题题1已知导函数的下列信息:解：函数图像如右：当1<x<4时,当x>4,或x<1时,当x=4,或x=1时,试画出函数的图象的大致形状.xyO14第五十一页第五十一页，共93页。例题题2判断下列函数的单调性,并求出单调区间:解：（1）因为所以（2）因为所以因此,函数在上单调递增.当,即时,函数单调递增;当，即时，函数单调递增第五十二页第五十二页，共93页。

例题题2判断下列函数的单调性,并求出单调区间:解：（3）因为所以（4）因为所以

因此,函数在上单调递减.第五十三页第五十三页，共93页。例题题2判断下列函数的单调性,并求出单调区间：解：当,即

时,函数单调递增;当,即时,函数单调递减.第五十四页第五十四页，共93页。

题3如图,水以常速(即单位时间内注入水的体积相同)注入下面四种底面积相同的容器中,请分别找出与各容器对应的水的高度h与时间t的函数关系图象.

第五十五页第五十五页，共93页。一般地,如果一个函数在某一范围内导数的绝对值较大,那么函数在这个范围内变化得快。这时,函数的图象就比较“陡峭”(向上或向下);反之,函数的图象就“平缓”一些.

如图,函数在或内的图象“陡峭”,在或内的图象平缓.第五十六页第五十六页，共93页。

求可导函数

单调区间的步骤：(1)求(2)解不等式

(或

)(3)确认并指出递增区间（或递减区间）证明可导函数

在(a,b)内的单调性的方法：(1)求(2)确认

在(a,b)内的符号(3)作出结论第五十七页第五十七页，共93页。1.3.2函数的极值与导数问题情境观察右下图为函数

的图象,问题1：函数在

的函数值与它附近所有各点的函数值的关系？我们说

是函数的一个极大值；

问题2：函数在

的函数值与它附近所有各点的函数值的关系？我们说

是函数的一个极小值。x0yBA2第五十八页第五十八页，共93页。1、定义函数极值（extremevalue）

一般地，设函数

在

及其附近有定义如果

的值比

附近所有各点的函数值都大，则称

是函数的一个极大值如果

的值比

附近所有各点的函数值都小，则称

是函数的一个极小值x0yB2A注：

------极值点

------极值点第五十九页第五十九页，共93页。

2、探索思考：①函数

在哪些点取得极大值？哪些点取得极小值？②

在这些点的导数值是多少？③在这些点附近，

的导数的符号有什么规律？④函数的极大值一定大于极小值吗?第六十页第六十页，共93页。例题求的极值解:∵

,由

解得

.当

变化时,

、

的变化情况如下表：

f(x)

f

(x)

x(-∞,-2)-2(-2,2)2(2,+∞)+00-+极大值28/3∴当

时,

极小值=28/3；当

时,

极大值=-4/3.第六十一页第六十一页，共93页。求函数极值步骤：1、求导数2、解方程3、列表：4、结论：1):如果在

附近的左侧

右侧

,那么

是极大值;2):如果在

附近的左侧

右侧

,那么f(x0)是极小值.第六十二页第六十二页，共93页。

探索思考:

导数值为0的点一定是函数的极值点吗?函数的导数为零的点,不一定是该函数的极值点.第六十三页第六十三页，共93页。1.3.3函数的最大（小）值与导数上一小节问题：函数的极大值一定大于极小值吗?如又下图：极大值：极小值：但：由此可见：极大值未必就比极小值大。问题回顾第六十四页第六十四页，共93页。1.3.3函数的最大（小）值与导数我们知道，极值反映的是局部性质，而不是函数在整个定义域的性质，函数极值是反映了在某一段的性质，在这一段上是最大（小）值，但在实际问题中，我们更关心的是整个定义域上的最大（小）值。那么如何来求在定义域上的最大（小）值呢？疑问第六十五页第六十五页，共93页。

最值求法定义：函数在某一闭区间的最大值、最小值统称为最值。第六十六页第六十六页，共93页。

最值求法由以上两图可知，一个函数的最值有可能在极值点处取得，也有可能在端点处取得。一般地，求函数在内的最值步骤如下：1、求函数内的极值2、求端点值3、比较极值与端点值，最大的就是最大值，最小的就是最小值第六十七页第六十七页，共93页。例题求函数在上的最值。解：1、令2、

3、第六十八页第六十八页，共93页。

§1.4生活中优化问题举例

导数例1例3总结例2第六十九页第六十九页，共93页。例1海报版面尺寸的设计学校或班级举行活动，通常需要张贴海报进行宣传，先让你设计一张如图所示的竖向张贴海报，需要版心面积为128，上下两边各空2，左右各空1，如何设计海报尺寸才能使四周空白面积最小？解：设版心高为：，则版心宽为:此时四周空白面积为：求导：，令第七十页第七十页，共93页。例2饮料瓶大小对饮料公司利润影响（1）你是否注意过，市场上等量的小包装的物品一般

比大包装的要贵些？（2）是不是饮料瓶越大，饮料公司的利润越大？背景知识：某制造商制造并出售球型瓶装的某种饮料。瓶子的制造成本是

分，其中

是瓶子的半径，单位是厘米.已知每出售

的饮料，制造商获利0.2分,且制造商制作的瓶子的最大半径为

.问题(１)瓶子的半径多大时，能使每瓶饮料的利润最大？(２)瓶子的半径多大时，每瓶的利润最小？第七十一页第七十一页，共93页。例2饮料瓶大小对饮料公司利润影响解：由于瓶子的半径为r，所以每瓶饮料的利润是第七十二页第七十二页，共93页。例2饮料瓶大小对饮料公司利润影响当半径

时，

它表示

单调递增，即半径越大，利润越高；当半径

时，

它表示

单调递减，即半径越大，利润越低．1.半径为２cm时，利润最小，这时表示此种瓶内饮料的利润还不够瓶子的成本，此时利润是负值２．半径为６cm时，利润最大第七十三页第七十三页，共93页。例2饮料瓶大小对饮料公司利润影响注:如果不用导数工具,直接从函数的图象上观察,你有什么发现?（见下图）第七十四页第七十四页，共93页。例3磁盘的最大存储量问题（1）你知道计算机是如何存储、检索信息的吗？（2）你知道磁盘的结构吗？（3）如何使一个圆环状的磁盘尽可能多的信息？为了保障磁盘的分辨率，磁道之间的宽度必须大于m，每比特所占用的磁道长度不得小于n。为了说明数据检索便利，磁盘格式化时要求所有磁道具有相同的比特数第七十五页第七十五页，共93页。例3磁盘的最大存储量问