福建省南平市建瓯二中高二下学期第一次月考数学试卷（理科）

学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精2016-2017学年福建省南平市建瓯二中高二（下）第一次月考数学试卷（理科)一、选择题：本大题共12小题,每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．设i是虚数单位，若复数是纯虚数，则a=（）A．﹣1 B．1 C．﹣2 D．22．若f（x）=2xf′（1）+x2，则f′（0)等于（)A．2 B．0 C．﹣2 D．﹣43．曲线y=alnx（a＞0)在x=1处的切线与两坐标轴所围成的三角形的面积为4，则a的值为(）A．4 B．﹣4 C．8 D．﹣84．函数f（x）=x﹣lnx的单调递减区间是（）A．(0，1） B．(0，+∞) C．(1,+∞） D．（﹣∞，0）∪（1,+∞）5．设f(x）在定义域内可导，其图象如图所示，则导函数f′(x）的图象可能是（）A． B． C． D．6．已知21×1=2,22×1×3=3×4，23×1×3×5=4×5×6，…，以此类推,第5个等式为（)A．24×1×3×5×7=5×6×7×8 B．25×1×3×5×7×9=5×6×7×8×9C．24×1×3×5×7×9=6×7×8×9×10 D．25×1×3×5×7×9=6×7×8×9×107．投掷一枚质地均匀的骰子两次,记A=｛两次的点数均为奇数｝,B=｛两次的点数之和为4｝,则P（B｜A）=（）A． B． C． D．8．打靶时,A每打10次可中靶8次，B每打10次可中靶7次，若2人同时射击一个目标，则它们都中靶的概率是（）A． B． C． D．9．设X~B(4，p），其中0＜p＜，且P（X=2)=，那么P（X=1）=(）A． B． C． D．10．已知随机变量ξ服从正态分布N（2,σ2），且P（ξ＜4)=0.8，则P（0＜ξ＜2）=（）A．0.6 B．0.4 C．0。3 D．0.211．为了研究高中学生对乡村音乐的态度（喜欢与不喜欢两种态度）与性别的关系，运用2×2列联表进行独立性检验，计算得K2=8。01,则认为“喜欢乡村音乐与性别有关”的把握约为（)P（K2≥k0)0.100.050。250.0100。0050.001k02.7063。8415。0246。6357。87910。828A．0.1% B．1% C．99.5% D．99。9%12．设随机变量X～B（2,P),随机变量Y～B（3，P)，若P（X≥1）=，则D（3Y+1）=（）A．2 B．3 C．6 D．7二、填空题:本题共4小题,每小题5分.13．（2x+）5的展开式中,x3的系数是．（用数字填写答案）14．设f（x）=ln（x+1）﹣x﹣ax，若f（x）在x=1处取得极值，则a的值为．15．设函数f（x）=则定积分=．16．已知x，y的取值如表所示：若y与x呈线性相关，且回归方程为=x+，则等于x234y546三、解答题（共70分）：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17．安排5名歌手的演出顺序．（1)要求歌手甲乙的演出顺序必须相邻，有多少种不同的排法？(2)要求歌手甲不第一个出场，且歌手乙不最后一个出场，有多少种不同的排法？18．已知函数f（x）=ax+xlnx（a∈R）．(1）当a=﹣2时，求函数f（x）的单调区间；（2）若函数f（x）在区间［e，+∞)上为增函数，求a的取值范围．19．已知函数f（x）=（x﹣2）ex，其中e是自然对数的底数．（1)求函数f（x)的单调区间；（2）当x∈[0，4］时，求函数f（x）的最小值．20．集成电路E由3个不同的电子元件组成，现由于元件老化，3个电子元件能正常工作的概率分别降为，，，且每个电子元件能否正常工作相互独立．若3个电子元件中至少有2个正常工作，则E能正常工作，否则就需要维修，且维修集成电路E所需要费用为100元．（1）求集成电路E需要维修的概率；（2）若某电子设备共由2个集成电路E组成,设X为该电子设备需要维修集成电路所需费用．求X的分布列和均值．21．根据以往的经验,某工程施工期间的将数量X（单位：mm)对工期的影响如下表：降水量XX＜300300≤X＜700700≤X＜900X≥900工期延误天数Y02610历年气象资料表明,该工程施工期间降水量X小于300，700,900的概率分别为0。3，0。7,0.9，求：（I)工期延误天数Y的均值与方差；（Ⅱ）在降水量X至少是300的条件下，工期延误不超过6天的概率．22．已知函数f（x）=x﹣alnx．（1）求函数f（x）的单调区间；（2)当x=2时，函数f（x）取得极小值,求a的值;（3）若函数f（x)有两个零点,求a的取值范围．

2016—2017学年福建省南平市建瓯二中高二（下）第一次月考数学试卷（理科)参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12小题,每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．设i是虚数单位，若复数是纯虚数，则a=（）A．﹣1 B．1 C．﹣2 D．2【考点】复数代数形式的乘除运算．【分析】利用复数代数形式的乘除运算化简,然后由实部等于0求得a值．【解答】解：∵=是纯虚数，∴a=2．故选：D．2．若f（x）=2xf′（1）+x2，则f′（0)等于(）A．2 B．0 C．﹣2 D．﹣4【考点】导数的运算．【分析】利用导数的运算法则求出f′(x）,令x=1得到关于f′（1）的方程，解方程求出f′(1）,求出f′（x）；令x=0求出f′（0)．【解答】解：∵f′（x）=2f′(1）+2x∴f′（1)=2f′（1）+2∴f′（1）=﹣2∴f′(x)=﹣4+2x∴f′(0）=﹣4故选D3．曲线y=alnx（a＞0）在x=1处的切线与两坐标轴所围成的三角形的面积为4，则a的值为（）A．4 B．﹣4 C．8 D．﹣8【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程．【分析】求出切线方程，然后求解坐标轴上的截距，求解三角形的面积即可．【解答】解：曲线y=alnx(a＞0），，所以切线的斜率k=f'（1)=a,所以切线的方程为y=a（x﹣1)，所以切线与两坐标轴的交点坐标分别为A（1，0）和B(0,﹣a）．，解得a=8．故选：C．4．函数f(x）=x﹣lnx的单调递减区间是（)A．（0，1） B．（0，+∞） C．(1，+∞） D．（﹣∞，0)∪（1,+∞）【考点】利用导数研究函数的单调性．【分析】求出函数的导数为y′,再解y'＜0得x的范围．结合函数的定义域，即可得到单调递减区间．【解答】解：函数y=x﹣lnx的导数为y=1﹣,令y′=1﹣＜0，得x＜1∴结合函数的定义域,得当x∈（0,1)时，函数为单调减函数．因此，函数y=x﹣lnx的单调递减区间是（0，1）故选：A．5．设f（x）在定义域内可导，其图象如图所示，则导函数f′（x）的图象可能是（）A． B． C． D．【考点】利用导数研究函数的单调性．【分析】由f（x）的图象可得在y轴的左侧,图象下降,f（x）递减，y轴的右侧，图象先下降再上升，最后下降，即有y轴左侧导数小于0，右侧导数先小于0，再大于0，最后小于0，对照选项,即可判断．【解答】解:由f（x)的图象可得，在y轴的左侧,图象下降，f(x)递减，即有导数小于0,可排除C,D;再由y轴的右侧，图象先下降再上升，最后下降，函数f(x）递减,再递增，后递减，即有导数先小于0,再大于0，最后小于0，可排除A；则B正确．故选：B．6．已知21×1=2，22×1×3=3×4，23×1×3×5=4×5×6，…,以此类推，第5个等式为（）A．24×1×3×5×7=5×6×7×8 B．25×1×3×5×7×9=5×6×7×8×9C．24×1×3×5×7×9=6×7×8×9×10 D．25×1×3×5×7×9=6×7×8×9×10【考点】类比推理．【分析】根据已知可以得出规律，即可得出结论．【解答】解：∵21×1=2，22×1×3=3×4，23×1×3×5=4×5×6,…，∴第5个等式为25×1×3×5×7×9=6×7×8×9×10故选：D7．投掷一枚质地均匀的骰子两次，记A=｛两次的点数均为奇数},B={两次的点数之和为4}，则P（B｜A）=()A． B． C． D．【考点】条件概率与独立事件．【分析】此是一个条件概率模型的题，可以求出事件A包含的基本事件数，与在A发生的条件下，事件B包含的基本事件数,再用公式求出概率．【解答】解：由题意事件记A={两次的点数均为奇数｝，包含的基本事件数是（1,1）,（1，3)，（1，5），(3，1），（3，3），（3，5）,（5，1），(5，3），（5，5）共9个基本事件，在A发生的条件下，事件B：{两次的点数之和为4},包含的基本事件数是{1，3},{3，1｝共2个基本事件，∴P(B｜A）=故选：C．8．打靶时，A每打10次可中靶8次，B每打10次可中靶7次，若2人同时射击一个目标，则它们都中靶的概率是（）A． B． C． D．【考点】相互独立事件的概率乘法公式．【分析】根据题意先分别做出两个人中靶的概率,看清楚两个人射击是否中靶是相互独立的,根据相互独立事件同时发生的概率得到结果．【解答】解：∵A每打10次可中靶8次，B每打10次可中靶7次∴A中靶的概率是=,B中靶的概率是，∵A和B是否中靶是相互独立的，根据相互独立事件同时发生的概率得到它们都中靶的概率是=,故选A．9．设X～B(4，p),其中0＜p＜，且P(X=2）=，那么P（X=1）=（）A． B． C． D．【考点】正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义．【分析】由题意，P（X=2）=,求出p，即可得出结论．【解答】解：由题意，P（X=2）=，解得p=或（舍去）．所以P（X=1)=．故选D．10．已知随机变量ξ服从正态分布N（2，σ2)，且P（ξ＜4）=0.8，则P(0＜ξ＜2)=(）A．0。6 B．0.4 C．0。3 D．0。2【考点】正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义．【分析】根据随机变量X服从正态分布N(2,σ2)，看出这组数据对应的正态曲线的对称轴x=2,根据正态曲线的特点，得到P（0＜ξ＜2）=P（0＜ξ＜4），得到结果．【解答】解：∵随机变量X服从正态分布N(2，σ2），μ=2,得对称轴是x=2．P(ξ＜4）=0.8∴P（ξ≥4）=P（ξ≤0）=0.2，∴P（0＜ξ＜4)=0.6∴P(0＜ξ＜2)=0.3．故选C．11．为了研究高中学生对乡村音乐的态度（喜欢与不喜欢两种态度）与性别的关系，运用2×2列联表进行独立性检验,计算得K2=8.01，则认为“喜欢乡村音乐与性别有关"的把握约为(）P(K2≥k0）0.100。050.250.0100。0050。001k02。7063。8415.0246.6357.87910。828A．0.1％ B．1% C．99。5％ D．99.9%【考点】独立性检验的应用．【分析】根据观测值K2=8。01＞7.879，对照临界值表即可得出结论．【解答】解:根据观测值K2=8。01＞7。879，所以在犯错误的概率不超过0。005的前提下认为喜欢乡村音乐与性别有关,即有99。5%的把握认为喜欢乡村音乐与性别有关．故选:C．12．设随机变量X～B（2，P)，随机变量Y～B（3，P），若P（X≥1）=，则D(3Y+1)=（)A．2 B．3 C．6 D．7【考点】二项分布与n次独立重复试验的模型．【分析】由X～B（2，P）和P(X≥1）的概率的值，可得到关于P的方程,解出P的值，再由方差公式可得到结果．【解答】解：∵随机变量X～B（2,P），∴P(X≥1)=1﹣P（X=0)=1﹣（1﹣P）2=，解得P=．∴D(Y）=3××=,∴D（3Y+1）=9×=6,故选：C．二、填空题：本题共4小题，每小题5分.13．(2x+）5的展开式中，x3的系数是10．（用数字填写答案）【考点】二项式定理的应用．【分析】利用二项展开式的通项公式求出第r+1项，令x的指数为3,求出r，即可求出展开式中x3的系数．【解答】解:(2x+）5的展开式中，通项公式为：Tr+1==25﹣r，令5﹣=3,解得r=4∴x3的系数2=10．故答案为：10．14．设f(x）=ln（x+1）﹣x﹣ax，若f（x）在x=1处取得极值，则a的值为．【考点】利用导数研究函数的极值．【分析】求导利用x=1时的导数值为0，进而计算可得结论．【解答】解：∵f（x）=ln（x+1）﹣x﹣ax，∴，又∵f（x）在x=1处取得极值，∴，解得，故答案为：．15．设函数f（x）=则定积分=．【考点】定积分．【分析】根据微积分基本定理即可求出．【解答】解：．故答案为:16．已知x，y的取值如表所示：若y与x呈线性相关，且回归方程为=x+,则等于0.5x234y546【考点】线性回归方程．【分析】根据所给的三组数据，求出这组数据的平均数，得到这组数据的样本中心点,根据线性回归直线一定过样本中心点,把样本中心点代入所给的方程，得到的值．【解答】解：∵=3,=5，=x+，∴5=3+3.5∴=0.5故答案为:0.5．三、解答题(共70分）：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．安排5名歌手的演出顺序．（1）要求歌手甲乙的演出顺序必须相邻，有多少种不同的排法?（2）要求歌手甲不第一个出场,且歌手乙不最后一个出场,有多少种不同的排法?【考点】计数原理的应用．【分析】(1）把甲乙捆绑在一起看作一个复合元素,和另外的3人全排列即可(2），先排有约束条件的元素，因为要求歌手甲不第一个出场，且歌手乙不最后一个出场，分两类，根据分类计数原理得到结果．【解答】解：(1）把甲乙捆绑在一起看作一个复合元素,和另外的3人全排列，故有A22A44=48种排法(2)分两类:第一类甲最后一个出场，有A44种排法第二类，甲不最后一个出场,有A31A31A33种排法根据分类计数原理共有A44+A31A31A33=78种不同的排法18．已知函数f（x）=ax+xlnx(a∈R）．（1）当a=﹣2时，求函数f(x）的单调区间；（2）若函数f（x）在区间［e，+∞）上为增函数，求a的取值范围．【考点】利用导数研究函数的单调性．【分析】（1）求出函数的导数，解关于导函数的不等式，求出函数的单调区间即可；（2）问题转化为a≥﹣lnx﹣1在[e，+∞）上恒成立，设g（x）=﹣lnx﹣1，根据函数的单调性求出a的范围即可．【解答】解：因为f(x）=ax+xlnx，所以f'（x）=a+lnx+1．（1）当a=﹣2时，f'(x)=lnx﹣1，令f'（x)=0,得x=e．当0＜x＜e时,f’(x）＜0；当x＞e时，f'(x）＞0；所以函数f(x）=﹣2x+xlnx的单调递减区间是（0，e），单调递增区间是(e,+∞）．（2）因为f(x）在［e，+∞)上为增函数，所以f’（x）≥0，即a≥﹣lnx﹣1在［e,+∞）上恒成立．设g(x）=﹣lnx﹣1，因为函数g（x)=﹣lnx﹣1在[e，+∞）上为减函数，所以g（x)max=g（e)=﹣lne﹣1=﹣2，所以a≥﹣2．故a的取值范围是[﹣2，+∞）．19．已知函数f（x）=（x﹣2）ex,其中e是自然对数的底数．(1）求函数f（x）的单调区间；（2)当x∈［0，4］时,求函数f（x)的最小值．【考点】利用导数求闭区间上函数的最值；利用导数研究函数的单调性．【分析】（1）求出函数的导数，解关于导函数的不等式,求出函数的单调区间即可;（2）根据函数的单调性,求出函数在闭区间的最小值即可．【解答】解:（1）因为f（x)=(x﹣2）ex，所以f'（x）=（x﹣1）ex．令f'（x）=0,得x=1．当x＜1时,f'(x）＜0;当x＞1时，f’（x）＞0；所以函数f(x）=（x﹣2）ex的单调递减区间是（﹣∞，1），单调递增区间是（1，+∞）．(2）当x变化时，f'（x）与f（x）的变化关系如下表：x0（0，1）1（1，4）4f’(x）﹣+f（x）﹣2↓﹣e↑2e4所以当x=1时，函数f(x)有最小值﹣e．20．集成电路E由3个不同的电子元件组成，现由于元件老化,3个电子元件能正常工作的概率分别降为，，，且每个电子元件能否正常工作相互独立．若3个电子元件中至少有2个正常工作,则E能正常工作,否则就需要维修,且维修集成电路E所需要费用为100元．（1）求集成电路E需要维修的概率;（2）若某电子设备共由2个集成电路E组成，设X为该电子设备需要维修集成电路所需费用．求X的分布列和均值．【考点】离散型随机变量及其分布列；离散型随机变量的期望与方差．【分析】（1）设“三个电子元件能正常工作"分别记为事件A，B，C，则P(A）=，P（B）=，P（C）=．依题意，集成电路E需要维修有两种情形:①3个元件都不能正常工作，②3个元件2个不能正常工作，由此能求出集成电路E需要维修的概率．(2）由题意知X的可能取值为0，100，200，分别求出相应的概率，由此能求出X的分布列和E（X）．【解答】（本小题12分）解：（1)设“三个电子元件能正常工作”分别记为事件A，B，C，则P（A）=,P（B)=，P（C）=．依题意，集成电路E需要维修有两种情形：①3个元件都不能正常工作，概率为：p1=P(）=P(）+P（）+P（)=．②3个元件2个不能正常工作，概率为p2=P（）+P（)+P（)=++=．所以，集成电路E需要维修的概率为p1+p2=+=．（2）由题意知X的可能取值为0，100，200，P（X=0）=(1﹣）2=，P(X=100)=••（1﹣）=，P（X=200）=（)2=．X的分布列为:X0100200P所以E（X）=0×+100×+200×=．21．根据以往的经验,某工程施工期间的将数量X(单位:mm）对工期的影响如下表：降水量XX＜300300≤X＜700700≤X＜900X≥900工期延误天数Y02610历年气象资料表明,该工程施工期间降水量X小于300，700，900的概率分别为0。3，0.7,0。9,求：（I）工期延误天数Y的均值与方差;(Ⅱ）在降水量X至少是300的条件下，工期延误不超过6天的概率．【考点】概率的应用;离散型随机变量的期望与方差．【分析】(I）由题意，该工程施工期间降水量X小于300,700，900的概率分别为0.3，0.7，0。9，结合某程施工期间的降水量对工期的影响,可求相应的概率，进而可得期延误天数Y的均值与方差；（Ⅱ）利用概率的加法公式可得P（X≥300）=1﹣P（X＜300)=0。7，P=P（X＜900）﹣P(X＜300）=0.9﹣0。3=0。6，利用条件概率，即可得到结论【解答】（I）由题意，P（X＜300）=0。3，P=P（X＜700)﹣P（X＜300）=0。7﹣