福建省宁德市数学三模试卷（理科）

学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精2017年福建省宁德市高考数学三模试卷（理科)一、选择题1、已知集合A={﹣2，﹣1，0，1，2},B={x｜(x﹣1）（x+2)＜0｝，则A∩B=(

）A、｛﹣1，0}

B、｛0,1}

C、{﹣1，0，1｝

D、{0，1，2｝2、若复数z满足(1+i)z=｜1﹣i｜(i为复数单位），则z的共轭复数为（

）A、1+i

B、1﹣i

C、

D、3、已知，则的值为（

）A、

B、

C、

D、4、已知M是圆周上的一个定点，若在圆周上任取一点N，连接MN，则弦MN的长不小于圆半径的概率是（

）A、

B、

C、

D、5、执行如图所示的程序框图,如果输出的k的值为3，则输入的a的值可以是(

）A、20

B、21

C、22

D、236、已知实数x，y满足的约束条件，表示的平面区域为D，若存在点P（x,y）∈D，使x2+y2≥m成立，则实数m的最大值为（

）A、

B、1

C、

D、7、已知α，β∈R，则“α＞β"是“α﹣β＞sinα﹣sinβ”的（

)A、充分不必要条件

B、必要不充分条件

C、充分必要条件

D、即不充分也不必要条件8、已知是某几何体的三视图，则该几何体的体积为（

）A、

B、

C、

D、9、函数y=的图象大致是（

）A、

B、

C、

D、10、已知M为双曲线右支上一点,A,F分别为双曲线C左顶点和的右焦点，MF=AF，若∠MFA=60°,则双曲线C的离心率为（

)A、2

B、3

C、4

D、611、已知在三角形ABC中，AB＜AC，∠BAC=90°,边AB，AC的长分别为方程的两个实数根,若斜边BC上有异于端点的E,F两点，且EF=1，∠EAF=θ，则tanθ的取值范围为（

）A、

B、

C、

D、12、若对∀x∈［0，+∞）,y∈［0，+∞），不等式ex+y﹣2+ex﹣y﹣2+2﹣4ax≥0恒成立，则实数a取值范围是（

）A、

B、

C、

D、二、填空题13、的二项式中不含x的项的系数为________．14、已知平面向量，若,则=________．15、已知直线l：kx﹣y+k﹣=0与圆x2+y2=12交于A，B两点,过A,B分别作l的垂线与x轴交于C，D两点,若｜AB|=4,则｜CD|=________．16、已知正△ABC三个顶点都在半径为2的球面上，球心O到平面ABC的距离为1,点E是线段AB的中点，过点E作球O的截面,则截面面积的最小值是________．三、解答题17、已知数列｛an}的前n项和为Sn，Sn=2an﹣1，｛bn｝是等差数列，且b1=a1,b4=a3．(1)求数列｛an}和｛bn｝的通项公式；(2)若，求数列｛cn}的前n项和Tn．18、随着生活水平的提高,人们对空气质量的要求越来越高，某机构为了解公众对“车辆限行”的态度，随机抽查50人，并将调查情况进行整理后制成如表：年龄(岁)［15，25)[25，35）[35,45）［45,55）[55,60）频数1010101010赞成人数35679(1)世界联合国卫生组织规定：[15，45）岁为青年,（45，60）为中年，根据以上统计数据填写以下2×2列联表：青年人中年人合计不赞成

赞成

合计

（2)判断能否在犯错误的概率不超过0.05的前提下,认为赞成“车柄限行”与年龄有关？附：,其中n=a+b+c+d

独立检验临界值表:P（K2≥k）0。1000.0500。0250。010k02。7063。8415.0246.635（3）若从年龄［15，25），［25，35）的被调查中各随机选取1人进行调查，设选中的两人中持不赞成“车辆限行”态度的人员为ξ,求随机变量ξ的分布列和数学期望Eξ．19、如图，在四棱台ABCD﹣A1B1C1D1中，底面ABCD为平行四边形，∠BAD=120°，M为CD上的点．且∠A1AB=∠A1AD=90°，AD=A1A=2，A1B1=DM=1．(1)求证：AM⊥A1B；（2)若M为CD的中点,N为棱DD1上的点，且MN与平面A1BD所成角的正弦值为，试求DN的长．20、已知抛物线C：y2=2px（p＞0）上的点M（x0，y0）到点N（2，0）距离的最小值为．（1)求抛物线C的方程；（2）若x0＞2，圆E（x﹣1）2+y2=1，过M作圆E的两条切线分别交y轴A（0，a），B(0，b)两点，求△MAB面积的最小值．21、已知函数．(1）当m=1时，求证：对∀x∈［0,+∞）时，f（x)≥0；(2)当m≤1时，讨论函数f（x）零点的个数．22、已知直线l的参数方程为为参数），以坐标原点为极点,以x轴正半轴为极轴建立极坐标系，椭圆C的极坐标方程为，且直线l经过椭圆C的右焦点F．（1）求椭圆C的内接矩形PMNQ面积的最大值;（2）若直线l与椭圆C交于A，B两点，求｜FA｜•|FB|的值．23、已知f（x）=|x﹣1|+｜x+1|．(1）求f（x)≤x+2的解集;(2）若R),求证:对∀a∈R，且a≠0成立．

答案解析部分一、〈b〉选择题</b〉1、【答案】A

【考点】交集及其运算

【解析】【解答】解:B=｛x｜﹣2＜x＜1｝,A={﹣2，﹣1,0，1，2}；∴A∩B={﹣1，0｝．

故选：A．

【分析】解一元二次不等式，求出集合B，然后进行交集的运算即可．2、【答案】D

【考点】复数代数形式的乘除运算

【解析】【解答】解：(1+i）z=|1﹣i|,∴（1﹣i)(1+i)z=（1﹣i），∴z=﹣i．

则z的共轭复数为+i．

故选：D．

【分析】利用复数的运算法则、模的计算公式、共轭复数的定义即可得出．3、【答案】B

【考点】两角和与差的余弦函数，两角和与差的正弦函数

【解析】【解答】解：∵已知，则=cos［﹣（α+）］=sin（α+）=,故选:B．

【分析】由条件利用诱导公式进行化简所给的式子，可得结果．4、【答案】D

【考点】几何概型

【解析】【解答】解：在圆上其他位置任取一点N，设圆半径为R，则N点位置所有情况对应的弧长为圆的周长2πR，

其中满足条件MN的长度不小于半径长度的对应的弧长为•2πR，

则AB弦的长度大于等于半径长度的概率P=；

故选D．

【分析】根据已知中A是圆上固定的一定点,在圆上其他位置任取一点B，连接A、B两点,它是一条弦,我们求出B点位置所有基本事件对应的弧长，及满足条件AB长大于半径的基本事件对应的弧长,代入几何概型概率计算公式，即可得到答案5、【答案】A

【考点】程序框图

【解析】【解答】解：由题意,模拟执行程序，可得k=0，S=0，

满足条件S≤a，S=2×0+3=3，k=0+1=1

满足条件S≤a，S=2×3+3=9，k=1+1=2

满足条件S≤a，S=2×9+3=21，k=2+1=3

由题意,此时,应该不满足条件21≤a，退出循环，输出k的值为3，从而结合选项可得输入的a的值为20．

故选：A．

【分析】模拟执行程序,依次写出每次循环得到的k，S的值,由题意,当S=21时，应该不满足条件S≤a，退出循环输出k的值为3，从而结合选项可得输入的a的值．6、【答案】D

【考点】简单线性规划

【解析】【解答】解：作出不等式组对应的平面区域如图，x2+y2的几何意义是区域内的点到原点的距离的平方，

由图象知O到直线x+y﹣1=0的距离最小，

此时d==，

则d2=,

即x2+y2≥，

要使x2+y2≥m成立，

则m≤，

即实数m的最大值为，

故选：D

【分析】作出不等式组对应的平面区域，利用点到直线的距离公式进行转化求解即可．7、【答案】C

【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断

【解析】【解答】解：令f（x）=x﹣sinx，x∈R．f′(x）=1﹣cosx≥0，可知:函数f(x）在R上单调递增．

∴α＞β⇔f(α）＞f（β）⇔α﹣β＞sinα﹣sinβ．

∴“α＞β"是“α﹣β＞sinα﹣sinβ”的充要条件．

故选:C．

【分析】令f（x)=x﹣sinx,x∈R．利用导数研究其单调性即可得出．8、【答案】B

【考点】由三视图求面积、体积

【解析】【解答】解:由三视图可知：该几何体由圆锥的与一个三棱柱组成的．∴该几何体的体积V=+=1+．

故选：B．

【分析】由三视图可知：该几何体由圆锥的与一个三棱柱组成的．9、【答案】C

【考点】函数的图象

【解析】【解答】解:∵3x﹣1≠0,∴x≠0;故排除A；

当x＜0时，x5＜0，3x﹣1＜0;

故y＞0；

故排除B;

再由当x→+∞时，→0；

故排除D;

故选:C．

【分析】根据函数值的变化趋势即可判断．10、【答案】C

【考点】双曲线的简单性质

【解析】【解答】解：如图所示,∵MF=FA,∠MFA=60°，∴△MFA是等边三角形．

则有AF=a+c，MF=a+c,

设双曲线的另一焦点为F′，根据双曲线的定义得MF′=3a+c,

在△MFF′中，由余弦定理得MF′2=MF2+FF′2﹣2MF•FF′cos60°，

即4a2+3ac﹣c2=0，解得4a=c，即，

∴双曲线C的离心率为4．

故选：C．

【分析】设双曲线的另一焦点为F′，根据双曲线的定义得MF′=3a+c,在△MFF′中,由余弦定理得MF′2=MF2+FF′2﹣2MF•FF′cos60°，即4a2+3ac﹣c2=0，解得4a=c,即即可11、【答案】C

【考点】三角形中的几何计算

【解析】【解答】解：∵边AB，AC的长分别为方程的两个实数根∴AC=2,AB=2，在直角△ABC中，B=，C=，BC=4

建立如图所示的坐标系，可得A(0，0），B(2,0),C（0，2），

得直线BC的方程为y=，故设E（a，（2﹣a)），F（b，（2﹣b）），a＞b，＜a＜2．

则由EF==2（a﹣b）=1，可得b=a﹣．

∴tan∠BAE=，tan∠BAF=．

∴tanθ=tan(∠BAF﹣∠BAE)==﹣=．

由＜a＜2和二次函数的性质可得t=4a2﹣14a+15∈[，9），∴∈（,］．

故选:C．

【分析】解方程可得AB，AC，建立坐标系，可得A（0，0）,B（2，0),C（0,2），设E（a,（2﹣a））,F（b，（2﹣b))，a＞b，＜a＜2．由EF=1，可得b=a﹣．

可得tan∠BAE=，tan∠BAF=．即tanθ=tan(∠BAF﹣∠BAE）==﹣=．由＜a＜2和二次函数的性质可得∈(,］．12、【答案】D

【考点】函数恒成立问题

【解析】【解答】解：∵ex+y﹣2+ex﹣y﹣2+2﹣4ax≥0恒成立,∴a≤恒成立，把x看作常数,令f（y）=，则f′（y)==≥0，

∴f（y)在［0，+∞）上是增函数，

∴当y=0时，f（y）取得最小值f（0）=，

再令g（x）=，则g′（x）==，

令g′（x）=0得x=2，

∴当0＜x＜2时，g′（x）＜0，当x＞2时，g′（x）＞0，

∴g（x）在（0,2)上单调递减，在（2，+∞）上单调递增，

∴当x=2时,g（x）取得最小值g（2）=，

∴a．

故选：D．

【分析】分类参数得a≤，先把x看作常数，求出右侧函数的最小值,再把最小值看作关于x的函数，求出最小值，即可得出a的范围．二、<b〉填空题〈/b〉13、【答案】70

【考点】二项式系数的性质

【解析】【解答】解：二项式（xy﹣）8展开式的通项公式为(﹣1)rC8rx8﹣2ry8﹣r，令8﹣2r=0，解得r=4，

则二项式（xy﹣）8的二项式中不含x的项的系数为C84=70

故答案为：70

【分析】先求出通项公式,再令x的指数为零,即可求出答案．14、【答案】﹣

【考点】平面向量数量积的运算

【解析】【解答】解：∵，∴反向共线，∴，∴，则=．

故答案为:﹣

【分析】由已知可得反向共线，即，，即可计算的值．15、【答案】8

【考点】直线与圆的位置关系

【解析】【解答】解：由圆的方程x2+y2=（2）2可知：圆心为（0，0)，半径r=2，∵弦长为｜AB|=4=2r，说明,直线过圆心．

则有：0=k（0﹣1）﹣，解得k=，

直线AB的方程为：y=x．

设直线AB的倾斜角为θ，则tanθ=,

∴θ=60°

Rt△AOC中：|CO|===4

那么：｜CD｜=2|OC|=8

故答案为：8．

【分析】根据直线与圆相交，圆x2+y2=（2）2可知：圆心为(0，0)，半径r=2,弦长为｜AB|=4=2r，说明直线过圆心．求解k的值．得到直线AB的倾斜角，根据AOC和OBD是两个全等的直角三角形,OA=OB=2,即可求出OC和OD．即可得到｜CD｜的长度．16、【答案】

【考点】点、线、面间的距离计算

【解析】【解答】解:设正△ABC的中心为O1,连结O1O、O1C、O1E、OE，∵O1是正△ABC的中心，A、B、C三点都在球面上，

∴O1O⊥平面ABC，结合O1C⊂平面ABC，可得O1O⊥O1C，

∵球的半径R=2，球心O到平面ABC的距离为1，得O1O=1，

∴Rt△O1OC中，O1C==．

又∵E为AB的中点,∴正△ABC中，O1E=O1C=．

∴Rt△OO1E中，OE===．

∵过E作球O的截面,当截面与OE垂直时,截面圆的半径最小，

∴当截面与OE垂直时，截面圆的面积有最小值．

此时截面圆的半径r===，

可得截面面积为S=πr2=．

故答案为:．

【分析】设正△ABC的中心为O1，连结O1O、O1C、O1E、OE．根据球的截面圆性质、正三角形的性质与勾股定理，结合题中数据算出OE．而经过点E的球O的截面，当截面与OE垂直时截面圆的半径最小，相应地截面圆的面积有最小值，由此算出截面圆半径的最小值，从而可得截面面积的最小值．三、<b〉解答题</b>17、【答案】（1)解：因为Sn=2an﹣1，所以Sn+1=2an+1﹣1，两式相减,得Sn+1﹣Sn=an+1﹣2an，∴an+1=2an．又当n=1时，S1=a1=2a1﹣1，∴a1=1．

所以数列{an}是以1为首项,2为公比的等比数列,所以，

∴b1=a1=1，b4=a3=4．因为当数列{bn}为等差数列，∴bn=n

(2）解:据（1）可知，∴，

∴

【考点】数列的求和

【解析】【分析】（1）利用数列递推关系、等差数列与等比数列的通项公式即可得出．(2）利用裂项求和方法即可得出．18、【答案】（1）解：根据题目中的数据,填写列联表如下;青年人中年人合计不赞成16420赞成141630合计302050

（2)解：由(1）表中数据计算得,

对照临界值得P(K2≥3.841）≈0。05，

因此，在犯错误的概率不超过0。05的前提下，认为赞成“车辆限行”与年龄有关

(3）解：根据题意，ξ的可能取值为0，1，2；计算，

，

所以随机变量ξ的分布列为：ξ012P所以数学期望为

【考点】独立性检验，离散型随机变量及其分布列，离散型随机变量的期望与方差

【解析】【分析】(1）根据题目中的数据，填写列联表即可;（2）由（1）表中数据计算观测值,对照临界值得出结论；（3）根据题意知ξ的可能取值，求出对应的概率值,写出随机变量ξ的分布列，计算数学期望值．19、【答案】(1）证明：在平行四边形ABCD中，∠BAD=120°,∴∠ADM=60°，在△ADM中,AD=2，DM=1，∴=，

可得AD2=AM2+DM2，∴AM⊥CD．

又CD∥AB，∴AM⊥AB，

∵∠A1AB=∠A1AD=90°,∴A1A⊥AB,A1A⊥AD．

又∵AB∩AD=A,AB，AD⊂平面ABCD，

∴AA1⊥ABCD，又AM⊂平面ABCD,

∴AM⊥AA1．又∵AB∩AA1=A，AB，AA1⊂平面AA1B1B，

∴AM⊥平面AA1B1B．又∵A1B⊂平面AA1B1B，

∴AM⊥A1B

(2）解：∵M为CD的中点,DM=1，∴CD=2,所以四边形ABCD为菱形．

分别以AB，AM，AA1为x轴，y轴，z轴，建立如图所示的空间直角坐标系A﹣xyz，

则点．

∴．

设平面A1BD的一个法向量为，则有，

∴，令x=1，则，

设,∴，

∴，

∴，∴2λ2﹣13λ+6=0，

∴或λ=6（舍去）．

∴．

【考点】直线与平面垂直的性质，点、线、面间的距离计算

【解析】【分析】(1）利用勾股定理逆定理得出AM⊥CD，即AM⊥AB,结合AM⊥AA1得出AM⊥平面AA1B1B，于是AM⊥A1B；（2）建立空间坐标系，根据MN与平面A1BD所成角的大小确定N点位置，从而得出DN的长．20、【答案】(1）解:，∵,

∴=．

∵x0≥0，所以当2﹣p≤0即p≥2时,|MN|min=2，不符合题意,舍去；

所以2﹣p＞0即0＜p＜2时，，

∴(2﹣p）2=1，∴p=1或p=3（舍去），∴y2=2x

（2）解：由题意可知，，所以直线MA的方程为，即（y0﹣a）x﹣x0y+ax0=0，

∴,∴,整理得：a2（x0﹣2）+2ay0﹣x0=0，

同理：，∴a，b为方程的两根,

∴,∴,∴,

∵x0＞2，∴=,当且仅当x0=4时，取最小值．

∴当x0=4时，△MAB面积的最小值为8

【考点】抛物线的应用

【解析】【分析】（1）=．可得2﹣p＞0即0＜p＜2时,，可得p即可．（2)由题意可知直线MA的方程为，即（y0﹣a）x﹣x0y+ax0=0，由直线与圆相切得：a2(x0﹣2）+2ay0﹣x0=0，

同理：，∴a，b为方程的两根，

即=，即可得△MAB面积的最小值．21、【答案】（1）证明：当m=1时，，则f’(x）=ex﹣x﹣1，令g（x）=ex﹣x﹣1，则g'(x)=ex﹣1，当x≥0时，ex﹣1≥0，即g'(x）≥0,

所以函数f’（x）=ex﹣x﹣1在［0，+∞)上为增函数,

即当x≥0时，f’（x)≥f'(0）,所以当x≥0时，f'(x)≥0恒成立，

所以函数，在［0,+∞）上为增函数，又因为f（0)=0,

所以当m=1时，对∀x∈［0，+∞），f（x）≥0恒成立

(2)解：由(1)知，当x≤0时，ex﹣1≤0，所以g’(x)≤0，所以函数f'(x）=ex﹣x﹣1的减区间为（﹣∞，0］，增区间为［0,+∞）．所以f'（x）min=f'（0）=0，所以对∀x∈R，f’（x）≥0，即ex≥x+1．①当x≥﹣1时，x+1≥0，又m≤1,∴m（x+1）≤x+1，∴ex﹣m（x+1）≥ex﹣（x+1）≥0,即f’(x)≥0，所以当x≥﹣1时，函数f(x）为增函数，又f（0）=0，所以当x＞0时，f(x）＞0，当﹣1≤x＜0时，f（x)＜0，所以函数f（x）在区间［﹣1,+∞）上有且仅有一个零点,且为0．

②当x＜﹣1时,(ⅰ）当0≤m≤1时，﹣m(x+1）≥0,ex＞0，所以f’（x）=ex﹣m（x+1）＞0，

所以函数f（x）在（﹣∞，﹣1）上递增，所以f(x）＜f（﹣1),且，

故0≤m≤1时，函数y=f(x）在区间(﹣∞,﹣1）上无零点．

(ⅱ）当m＜0时，f’（x)=ex﹣mx﹣m，令h(x）=ex﹣mx﹣m，则h’（x）=ex﹣m＞0，

所以函数f’(x)=ex﹣mx﹣m在（﹣∞，﹣1）上单调递增，f'（﹣1)=e﹣1＞0，

当时，,又曲线f’（x）在区间上不间断，

所以∃x0∈，使f'（x0）=0，

故当x∈（x0，﹣1）时，0=f’（x0）＜f'（x）＜f’(﹣1）=e﹣1,

当x∈（﹣∞，x0）时，f'（x）＜f’（x0）=0,

所以函数的减区间为(﹣∞，x0)，增区间为（x0，﹣1)，

又，所以对∀x∈［x0，﹣1)，f（x）＜0，

又当时，，∴f（x)＞0，

又f（x0）＜0,曲线在区间上不间断．

所以∃x1∈（﹣∞，x0），且唯一实数x1，使得f（x1)=0，

综上,当0≤m≤1时，函数y=f（x）有且仅有一个零点；当m＜0时，函数y=f（x）有个两零点

【考点】导数在最大值、最小值问题中的应用，根的存在性及根的个数判断

【解析】【分析】（1）当m=1时，，则f’(x）=ex﹣x﹣1,令g（x)=ex﹣x﹣1，利用导数研究其单调性极值与最值，可得函数f’（x）=ex﹣x﹣1在[0,+∞)上为增函数，即当x≥0时，f'（x）≥f'(0）=0，可得函数f（x)在（0，+∞）上为增函数，即可