北师大版数学九年级上册 2.1认识一元二次方程 2.6 应用一元二次方程

2.6

应用一元二次方程第二章

一元二次方程第1课时

行程(动点)问题及平均变化率问题问题引入

小明学习非常认真，学习成绩直线上升，第一次月考数学成绩是80分，第二次月考增长了

10％，第三次月考又增长了

10％，问他第三次数学成绩是多少？例1

如图，某海军基地位于

A

处，在其正南方向

200n

mile处有一目标

B，在

B

的正东方向

200

n

mile处有一重要目标

C.小岛

D

位于

AC

的中点，岛上有一补给码头，小岛

F

位于

BC

的中点.一艘军舰沿

A

出发，经

B

到

C

匀速巡航，一艘补给船同时从

D

出发，沿南偏西方向匀速直线航行，欲将一批物品送达军舰.利用一元二次方程解决行程（动点）问题东北ABCDF(1)小岛

D

与小岛

F

相距多少海里?解：连接

DF.∵AD=CD，BF=CF，∴DF是△ABC的中位线.∴DF∥AB，且

DF=

AB，∵AB⊥BC，AB=BC=200nmile，∴DF⊥BC，DF=100nmile.东北ABCDF解:设相遇时补给船航行了

xnmile，那么DE=x

nmile，AB+BE=2xnmile，EF=

AB+

BF

-

(AB+BE)=

(300-2x)

nmile.在

Rt△DEF

中，根据勾股定理得方程

x2

=1002+(300

-

2x)2.即

3x2

-

1200x+

100000=0，解方程得

(舍)，

(2)已知军舰的速度是补给船的

2

倍，军舰在由

B

到

C

的途中与补给船相遇于

E

处，那么相遇时补给船航行了多少海里

(结果精确到0.1海里)？东北ABCDFE如图，在矩形

ABCD

中，AB

=

6

cm，BC

=

12

cm，点

P

从点

A

开始沿

AB

边向点

B

以

1

cm/s

的速度移动，点

Q

从点

B

开始沿边

BC

向点

C

以

2

cm/s

的速度移动，如果

P、Q

分别从

A、B

同时出发，那么几秒后五边形

APQCD

的面积为

64

cm2？ABCDQP(6-t)2t针对练习解：设所需时间为ts，根据题意，得 2t(6-

t)÷2=6×12-

64.整理得t2

-

6t+8=0.解方程，得t1

=2，t2

=4.

答：在第2秒和第4秒是五边形面积是64cm2.ABCDQP(6-t)2t

填空：假设某种糖的成本为每斤2元，售价为3元时，可卖100斤.(1)此时的利润

w

=_____.(2)若售价涨了1元，每斤利润为_____元，同时少买了10斤，销售量为_____斤，利润

w

=_______.(3)若售价涨了2元，每斤利润为_____元，同时少买了20斤，销售量为____斤，利润

w

=_______.100元290180元380240元合作探究平均变化率问题与一元二次方程(4)若售价涨了3元，每斤利润为____元，

同时少买了30斤，销售量为____斤，利润

w

=______.(5)若售价涨了4元，每斤利润为____元，

同时少买了40斤，销售量为____斤，利润

w

=_______.(6)若售价涨了

x元，每斤利润为______元，

同时少买了_____斤，销售量为___________斤，利润

w

=_____________________.45(1+x)7060(100-

10x)10x280元300元(1

+

x)×(100

-

10x)元涨价售价成本单件利润少卖量销售量总利润3+x3

-

2+x10x100

-

10xw=(3

-

2+x)×(100

-

10x)试一试：假设某种糖的成本每斤为2元，售价为3元时，可卖100斤.每涨1元，少卖10斤.设利润为

x元，则总利润

w为多少元（用含有

x的式子表示出来）？01234x22222233+13+23+33+403-23

-

2+13

-

2+23

-

2+33

-

2+410×410×310×210×1100100

-

10×1100

-

10×2100

-

10×3100

-

10×4w=(3

-

2)×100w=(3

-

2+1)×(100

-

10×1)w=(3

-

2+3)×(100

-

10×3)w=(3

-

2+4)×(100

-

10×4)w=(3

-

2+2)×(100

-

10×2）每涨一元少卖十斤总利润（售价-进价）×销售量

=

总利润单件利润×销售量=涨价售价成本单件利润少卖量销售量总利润3+x3

-

2+x10x100

-

10xw=(3

-

2+x)×(100

-

10x)01234x22222233+13+23+33+403-23

-

2+13

-

2+23

-

2+33

-

2+410×410×310×210×1100100

-

10×1100

-

10×2100

-

10×3100

-

10×4w=(3

-

2)×100w=(3

-

2+1)×(100

-

10×1)w=(3

-

2+3)×(100

-

10×3)w=(3

-

2+4)×(100

-

10×4)w=(3

-

2+2)×(100

-

10×2）填空：1.前年生产1吨甲种药品的成本是5000元，随着生产技术的进步，去年生产1吨甲种药品的成本是4650元，则下降率是

.如果保持这个下降率，则现在生产1吨甲种药品的成本是

元.探究归纳7％4324.5下降率=下降前的量-下降后的量下降前的量×100％2.前年生产1吨甲种药品的成本是5000元，随着生产技术的进步，设下降率是

x，则去年生产1吨甲种药品的成本是

元，如果保持这个下降率，那么现在生产1吨甲种药品的成本是

元.下降率

x第一次降低前的量5000(1

-

x)第一次降低后的量5000下降率

x第二次降低后的量第二次降低前的量5000(1

-

x)(1

-

x)5000(1

-

x)25000(1-

x)5000(1

-

x)2例2

前年生产1吨甲种药品的成本是5000元，随着生产技术的进步，现在生产1吨甲种药品的成本是4050元，试求甲种药品成本的年平均下降率.解：设甲种药品的年平均下降率为

x.根据题意，列方程，得5000

(1

-

x)2

=4050，解方程，得x1

=0.1，x2

=1.9.根据问题的实际意义，取

x=0.1，即甲种药品成本的年平均下降率为10％.注意下降率不可为负，且不大于1.练一练：

前年生产1吨乙种药品的成本是6000元，随着生产技术的进步，现在生产1吨乙种药品的成本是3600元，试求乙种药品成本的年平均下降率.解：设乙种药品的年平均下降率为

y.根据题意，列方程，得

6000(1−y)2=3600解方程，得

y1≈0.225，

y2≈1.775.根据问题的实际意义，取

y≈0.225，即甲种药品成本的年平均下降率为

22.5％.注意下降率不可为负，且不大于

1.解后反思

答：不能.甲种药品成本的年平均下降额为（5000

-

3000）÷2=1000元，乙种药品成本的年平均下降额为（6000

-

3000）÷2=1200元，显然，乙种药品成本的年平均下降额较大，但甲的年平均下降率大于乙．

问题1

药品年平均下降额大能否说年平均下降率（百分数）就大呢？

问题2

你能总结出有关增长率和下降率的有关数量关系吗？

类似地，这种增长率的问题在实际生活中普遍存在，有一定的模式.若平均增长(或下降)百分率为

x，增长(或下降)前的是

a，增长(或下降)n

次后的量是

b，则它们的数量关系可表示为a(1±x)n

=b(其中增长取“＋”，下降取“－”).变式1某药品经两次降价，零售价降为原来的一半.

已知两次降价的百分率一样，求每次降价的百分率.（精确到

0.1％）解：设原价为

1，每次降价的百分率为x.根据题意，得

解方程，得

答：每次降价的百分率为

29.3％.

变式2

某药品两次涨价，零售价涨为原来的1.2倍，已知两次涨价的百分率一样，求每次涨价的百分率.（精确到

0.1％）解：设原价为

a元，每次升价的百分率为

x，根据题意，得

解这个方程，得

∵涨价的百分率不可能是负数，∴

(不合题意，舍去)答：每次涨价的百分率为

9.5％.

例3

某公司去年的各项经营中，一月份的营业额为

200

万元，一月、二月、三月的营业额共

950

万元，如果平均每月营业额的增长率相同，求平均增长率是多少？

解：设平均增长率为

x.根据题意，得答：平均增长率为

50％.200+200(1

+

x)+200(1

+

x)2

=950，整理方程，得4x2

+12x-7=0.解得x1=−3.5(舍去)，x2=0.5=50％.

1.

某厂今年一月份的总产量为

500

吨，三月份的总产量为

720

吨，平均每月的增长率是

x，则可列方程()

A.

500(1

+

2x)

=

720B.

500(1

+

x)2

=

720

C.

500(1

+

x2)

=

720D.

720(1

+

x)2

=

500

2.

某校去年对实验器材的投资为

2

万元，预计今明两年的投资总额为

8

万元．若设该校今明两年在实验器材投资上的平均增长率是

x，则可列方程为

.B2(1+x)+2(1+x)2

=83.某村种的水稻前年平均每公顷产

7200

千克，今年平均每公顷产

8712

千克，求该村这两年水稻每公顷产量的年平均增长率.解：设该村这两年水稻每公顷产量的年平均增长率为

x.

根据题意，得7200(1

+

x)2

=8712.

解得

x1

=-1.1

(不符合题意，舍去)，x2

=0.1=10％.答：该村这两年水稻每公顷产量的年平均增长率为

10％.能力提升菜农大伟种植的某蔬菜，计划以每千克5元的价格对外批发销售.由于部分菜农盲目扩大种植，造成该蔬菜滞销，大伟为了加快销售，减少损失，对价格经过两次下调后，以每千克3.2元的价格对外批发销售.（1）求平均每次下调的百分率；解：设平均每次下调的百分率为

x，由题意，得5(1

-

x)2

=3.2.

解得

x1

=1.8(舍去)，x2

=0.2=20％.

∴平均每次下调的百分率为20％.（2）小华准备到大伟处购买5吨该蔬菜，因数量多，大伟决定再给予两种优惠方案以供选择：方案一，打九折销售；方案二，不打折，每吨优惠现金200元.试问小华选择哪种方案优惠更多？请说明理由.解：小华选择方案一购买更优惠，理由如下：

方案一所需费用为3.2×0.9×5000=14400(元)，

方案二所需费用为3.2×5000

-

200×5=15000(元).

∵14400＜15000，

∴

小华选择方案一购买优惠更多.利用一元二次方程解决行程问题列方程步骤：应用类型行程问题平均变化率问题面积问题动点问题审设列解检答2.6

应用一元二次方程

第二章

一元二次方程第2课时

营销问题及其他问题情境引入每到节日，各种促销迎面而来，如果你是商场经理，该如何定制营销方案呢？利用一元二次方程解决营销问题例1某商场销售某种冰箱，每台进价为2500元.市场调研表明：当销售价为2900元时，平均每天能售出8台；而当销价每降低50元时，平均每天能多售4台.商场要想使这种冰箱的销售利润平均每天达到5000元，每台冰箱的定价应为多少元?分析：本题的主要等量关系是：每台的销售利润×平均每天销售的数量

=5000元.解：设每台冰箱降价

x元，根据题意，得整理得：x2-300x+22500=0.解方程得：

x1=x2=150.

∴2900-

x=2900-150=2750.

答：每台冰箱的定价应为

2750元.例2某超市将进货单价为40元的商品按50元出售时，能卖500个，已知该商品涨价1元，其销售量就减少10个，为了赚8000元利润，售价应定为多少，这时应进货多少个？分析：设商品单价为(50+

x)元，则每个商品得利润[(50

+

x)-

40]元，因为每涨价

1

元，其销售会减少

10个，设每个涨价

x元，其销售量会减少10x个，故销售量为(500

-

10x)个，根据每件商品的利润×件数=8000，则(500

-

10x)·[(50

+

x)

-

40]=8000.解：设每个商品涨价

x元，则销售价为

(50+

x)元，销售量为

(500

-

10x)个，则

(500

-

10x)·[(50

+

x)

-

40]=8000，即x2

-

40x

+

300=0.解得

x1=10，x2=30都符合题意.当

x=10时，50

+

x=60，500

-

10x=400；当

x=30时，50

+

x=80，500

-

10x=200.答：要想赚8000元，售价为60元或80元；若售价为60元，则进贷量应为400；若售价为80元，则进贷量应为200个.

某花圃用花盆培育某种花苗，经过试验发现每盆的盈利与每盆的株数构成一定的关系.每盆植入3株时，平均单株盈利3元；以同样的栽培条件，若每盆增加1株，平均单株盈利就减少0.5元.要使每盆的盈利达到10元，每盆应该种多少株?思考:这个问题设什么为

x?有几种设法?如果直接设每盆植

x

株，怎样表示问题中相关的量?

如果设每盆花苗增加的株数为

x株呢？针对练习解：设每盆花苗增加的株数为

x株，则每盆花苗有

(x+3)株，平均单株盈利为

(3-0.5x)元.根据题意，得(x+3)(3-0.5x)=10.

整理得x2

-3x+2=0.解方程，得

x1=1，x2=2.经检验，x1=1，x2=2

都符合题意.答：要使每盆的盈利达到10元，每盆可植入4株或5株.总结归纳

利润问题常见关系式基本关系：(1)利润＝售价－________；

(2)利润率＝×100％； (3)总利润＝____________×销量.进价单个利润传播问题与一元二次方程引例：有一人患了流感，经过两轮传染后共有121人患了流感，每轮传染中平均一个人传染了几个人?

分析：设每轮传染中平均一个人传染了

x个人.传染源记作

A，其传染示意图如下：合作探究第2轮•••A12x第1轮第1轮传染后人数x+1A第2轮传染后人数x(x+1)+x+1注意:不要忽视A的二次传染x1=

x2=

.根据示意图，列表如下：解方程，得答：平均一个人传染了______个人.-1210(不合题意，舍去)，10解：设每轮传染中平均一个人传染了

x个人.(1+x)2=121.注意：一元二次方程的解有可能不符合题意，所以一定要进行检验.传染源人数第1轮传染后的人数第2轮传染后的人数

1

1+x=(1+x)11+x+x(1+x)=(1+x)2根据题意，得想一想：如果按照这样的传染速度，三轮传染后有多少人患流感?第

2

种做法

以第

2

轮传染后的人数

121为传染源，传染一次后就是：121(1+x)=121×(1+10)=1331(人).第一轮传染后的人数第二轮传染后的人数第三轮传染后的人数(1+x)1(1+x)2

分析

第

1种做法

以

1

人为传染源，3

轮传染后的人数是(1+x)3

=(1+10)3

=1331(人).(1+x)3传染源新增患者人数本轮结束患者总人数第1轮11∙x=x1+x第2轮1+x(1+x)∙x1+x+(1+x)∙x=第3轮

第

n轮思考：如果按这样的传染速度，n

轮传染后有多少人患流感？(1+x)2(1+x)n(1+x)3经过

n轮传染后共有(1+x)n

人患流感.(1+x)2(1+x)2∙x(1+x)2

+

(1

+

x)2∙x

=例3

某种植物的主干长出若干数目的支干，每个支干又长出同样数目的小分支，主干，支干和小分支的总数是133，每个支干长出多少小分支?主干支干支干……小分支小分支……小分支小分支…………xxx1解：设每个支干长出

x

个小分支，则1+x+x2=133，即

x2

+x−132=

0.解得

x1

=

−12(舍)，x2

=11.答：每个支干长出

11

个小分支.交流讨论1.在分析引例和例3中的数量关系时它们有何区别？每个支干只分裂一次，而每名患者每轮都传染.2.解决这类传播问题有什么经验和方法？（1）审题，设元，列方程，解方程，检验，作答；（2）可利用表格梳理数量关系；（3）关注起始值、新增数量，找出变化规律.方法归纳建立一元二次方程模型实际问题分析数量关系设出未知数实际问题的解解一元二次方程一元二次方程的根检验运用一元二次方程模型解决实际问题的步骤有哪些？例4某种电脑病毒传播速度非常快，如果一台电脑被感染，经过两轮感染后就会有

100台电脑被感染．请你用学过的知识分析，每轮感染中平均一台电脑会感染几台电脑？若病毒得不到有效控制，4轮感染后，被感染的电脑会不会超过

7000

台？解：设每轮感染中平均一台电脑会感染x

台电脑，则1＋x＋x(1＋x)＝100，即(1＋x)2＝100.解得x1＝－11(舍去)，x2＝9．∴x＝9.4轮感染后，被感染的电脑数为

(1＋x)4＝104＞7000.答：每轮感染中平均每一台电脑会感染

9台电脑，4轮感染后，被感染的电脑会超过

7000台．1.电脑勒索病毒的传播非常快，如果开始有60台电脑被感染，经过两轮感染后共有2400台电脑被感染.

每轮感染中平均一台电脑会感染几台电脑？练一练解：设每轮感染中平均一台电脑会感染

x

台电脑.答：每轮感染中平均一台电脑会感染

19

台电脑.解得

x1

=-21(舍去)，

x2

=19.

依题意列方程

60+60x

+

60x(1

+

x)

=2400整理得60(1

+

x)2

=24002.某种细胞分裂时，每个细胞在每轮分裂中分成两个细胞.（1）经过三轮分裂后细胞的个数是

.（2）n轮分裂后，细胞的个数共是

.82n起始值新增细胞本轮结束细胞总数第1轮

第2轮

第3轮

第

n轮122244488=22=23=212n1.国庆将至，九年级一班全体学生互赠贺卡，共赠贺卡

1980张，问九年级一班共有多少名学生？设九年级一班共有

x名学生，那么所列方程为（）A.x2=1980B.

x(x

+

1)=1980C.x(x-

1)

=

1980D.x(x

-

1)=1980D2.有一根月季，它的主干长出若干数目的支干，每个支干又长出同样数目的小分支，主干、支干、小分支的总数是

73，设每个支干长出

x个小分支，根据题意可列方程为（）

A.1

+

x

+

x(1

+

x)

=

73B.1

+

x

+

x2

=

73C.1

+

x2=

73D.(1

+

x)2

=

73B3.早期，甲肝流行，传染性很强.