专题51均值不等式及其应用归类（讲练）高考数学二轮复习（全国通用）（原卷版）

专题5-1均值不等式及其应用归类目录TOC\o"1-1"\h\u讲高考 1题型全归纳 2【题型一】公式应用及限制条件 2【题型二】构造“公式型” 3【题型三】“1”的代换 4【题型四】“积”与“和”混合型 4【题型五】构造分母代换型 5【题型七】分离常数消去型 5【题型八】消去型 6【题型九】多次均值 6【题型十】多元均值 7【题型十一】权方和不等式 7【题型十二】万能“k”法 8【题型十三】整体换元 8【题型十四】均值应用：恒成立 9练题训练 9讲高考1．（2022·全国·统考高考真题）已知，则（

）A． B． C． D．2．（2021·全国·统考高考真题）下列函数中最小值为4的是（

）A． B．C． D．3．（2021·全国·统考高考真题）已知，是椭圆：的两个焦点，点在上，则的最大值为（

）A．13 B．12 C．9 D．64．（陕西·高考真题）已知不等式对任意正实数x，y恒成立，则正实数a的最小值为（

）A．2 B．4 C．6 D．85．（·天津·高考真题）已知函数设，若关于x的不等式在R上恒成立，则a的取值范围是A． B． C． D．题型全归纳综述1．基本不等式：eq\r(ab)≤eq\f(a＋b,2)；(1)基本不等式成立的条件：a>0，b>0； (2)等号成立的条件：当且仅当a＝b.(3)基本不等式的变形：①a＋b≥2eq\r(ab)，常用于求和的最小值；②ab≤eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(a＋b,2)))2，常用于求积的最大值；2．常用不等式：(1)重要不等式：a2＋b2≥2ab(a，b∈R)； (2)重要不等式链：eq\r(,eq\f(a2＋b2,2))≥eq\f(a＋b,2)≥eq\r(ab)≥eq\f(2ab,a＋b)；【题型一】公式应用及限制条件【讲题型】例题1.下列不等式中，一定成立的是（

）A． B．C． D．例题2.若，则下列不等式成立的是（

）A． B．C． D．【讲技巧】利用基本不等式求最值时，要注意其必须满足的三个条件：（1）“一正二定三相等”“一正”就是各项必须为正数；（2）“二定”就是要求和的最小值，必须把构成和的二项之积转化成定值；要求积的最大值，则必须把构成积的因式的和转化成定值；（3）“三相等”是利用基本不等式求最值时，必须验证等号成立的条件，若不能取等号则这个定值就不是所求的最值，这也是最容易发生错误的地方.【练题型】1.下列不等式的证明过程正确的是（

）A．若，则B．若，则C．若则D．若，且，则2.给出下列条件：①；②；③，；④，.其中能使成立的条件有（

）A．个 B．个 C．个 D．个【题型二】构造“公式型”【讲题型】例题1.若x>1，则的最小值为（

）A． B． C． D．例题2.）若关于的不等式对任意恒成立，则正实数的取值集合为A．（－1，4] B．（0，4） C．（0，4] D．（1，4]【练题型】1.设，则的最小值为（

）A． B． C．4 D．2.已知且，则的最小值为（

）A．3 B．4 C．5 D．6【题型三】“1”的代换【讲题型】例题1.已知，，，则的最小值是（

）A．2 B．8 C．4 D．6例题2.已知正实数、满足，则的取值可能为（

）A． B． C． D．【练题型】1.若，，且，则的最小值为（

）A． B． C． D．2.已知且，若恒成立，则实数m的取值范围是（

）A． B．} C． D．【题型四】“积”与“和”混合型【讲题型】例题1.已知，，且满足，则的最小值为（

）A．2 B．3 C． D．例题2.若正实数满足，则的最小值为（

）A． B． C． D．【讲技巧】1.形如求型，2.形如求型，可以对“积pxy”部分用均值，再解不等式，注意凑配对应的“和”的系数系数，如下：【练题型】1.若，且，则的取值范围（

）A． B． C． D．2.已知a，b是正实数，，则的最小值是（

）A． B． C． D．【题型五】构造分母代换型【讲题型】例题1.若正实数，满足，且不等式有解，则实数的取值范围是（

）A．或 B．C．或 D．例题2.若正数，满足，则的最小值是（

）A． B． C． D．【练题型】1.若，，且，则的最小值为（

）A．2 B． C． D．2.已知实数x，y满足，且，则的最小值为（

）A． B． C．1 D．【题型七】分离常数消去型【讲题型】例题1.已知，则的最小值是（

）A．5 B．6 C．7 D．8例题2.已知，，，则的最小值为（

）A． B． C． D．【练题型】1.已知为正实数且，则的最小值为（

）A． B． C． D．32.已知，则的最小值为（

）A．3 B．2C．4 D．1【题型八】消去型【讲题型】例题1.已知点在椭圆上运动，则最小值是__________．例题2.已知，且，则的最小值是（）A. B. C. D.【练题型】1.已知，，且，则的最小值为（

）A． B． C． D．2.已知正数a和b满足ab+a+2b=7，则的最小值为（

）A． B． C． D．3.已知正数，满足，则的最小值为（

）A．1 B．2 C．3 D．4【题型九】多次均值【讲题型】例题1.已知，则的最小值是（

）A．2 B． C． D．6例题2.已知，，且，则的取值范围是（

）A． B． C． D．【练题型】1.设，则的最小值是（

）A．1 B．2 C．3 D．42.若a，b，c均为正实数，则的最大值为（

）A． B． C． D．【题型十】多元均值【讲题型】例题1.设正实数满足，则当取得最小值时，的最大值为（

）A． B． C． D．例题2.已知P是面积为1的△ABC内的一点（不含边界），若△PAB，△PAC，△PBC的面积分别为x，y，z，则的最小值是（

）A． B． C． D．3【练题型】1.若a，b，c均为正实数，则三个数，，（

）A．都不大于2 B．都不小于2C．至少有一个不大于2 D．至少有一个不小于22.设为中的三边长，且，则的取值范围是（）A．B．C． D．【题型十一】权方和不等式【讲题型】例题1.若正数满足，则的最大值为（）A．2/5 B．4/9 C．1/2 D．4/7例题2.已知为正数，且，则的最大值为．【讲技巧】权方和不等式：设证明：【练题型】1.已知实数m,n∈(0,+∞)且m+n2.已知，则的最小值为（）A． B． C． D．【题型十二】万能“k”法【讲题型】例题1..已知正数满足，则的最大值为__________．例题2.已知，，，则的最小值为A． B． C． D．4【练题型】1.已知，若，则的最小值是（）A. B. C. D.2.已知x+y=1x+4A．53B．9C．4+26D【题型十三】整体换元【讲题型】例题1.若a,b∈R，且a例题2.若实数、、，且，则的最小值为（）A. B. C. D.【练题型】1.已知，且，则的取值范围是A． B． C． D．2.已知正实数，，若，，则的取值范围是（

）A． B． C． D．【题型十四】均值应用：恒成立【讲题型】例题1.已知，，且，若恒成立，则实数的最小值是（）A． B． C． D．例题2.正数，满足，若不等式对任意实数恒成立，则实数______.（填一个满足条件的值即可）【练题型】1.数列中，，，若不等式恒成立，则实数的取值范围为__________.2.设正实数满足，不等式恒成立，则的最大值为（

）A． B． C． D．一、单选题1．已知，则的最小值为（

）A．5 B．6 C．7 D．102．若，则下列不等式成立的是（

）A． B．C． D．3．已知x，y为正实数，且，则的最小值是（

）A．2 B．4 C．8 D．164．若，，且，则的最小值为（

）A．9 B．6 C．3 D．125．已知，且，则的最小值为（

）A． B．1 C． D．6．设，且，则（

）A．有最小值为 B．有最小值为C．有最大值为 D．有最大值为7．若，，，则的最大值为（

）A． B． C． D．8．已知，且，则的最小值为（

）A． B． C． D．1二、多选题9．在下列函数中，最小值是的函数有（

）A． B．C． D．10．若a，b均为正数，且满足，则（

）A．的最大值为2 B．的最小值为4C．的最小值是6 D．的最小值为11．