一轮复习学案作业第七章7.1不等关系与不等式Word版含解析【高考】

§7.1不等关系与不等式最新考纲考情考向分析1.了解现实世界和日常生活中存在着大量的不等关系.2.了解不等式(组)的实际背景.以理解不等式的性质为主，本节在高考中主要以客观题形式考查不等式的性质；以主观题形式考查不等式与其他知识的综合．属低档题.1．两个实数比较大小的方法(1)作差法eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a－b>0⇔a>b,a－b＝0⇔a＝b,a－b<0⇔a<b))(a，b∈R)(2)作商法eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(a,b)>1⇔a>b,\f(a,b)＝1⇔a＝b,\f(a,b)<1⇔a<b))(a∈R，b>0)2．不等式的基本性质性质性质内容特别提醒对称性a>b⇔b<a⇔传递性a>b，b>c⇒a>c⇒可加性a>b⇔a＋c>b＋c⇔可乘性eq\b\lc\\rc\}(\a\vs4\al\co1(a>b,c>0))⇒ac>bc注意c的符号eq\b\lc\\rc\}(\a\vs4\al\co1(a>b,c<0))⇒ac<bc同向可加性eq\b\lc\\rc\}(\a\vs4\al\co1(a>b,c>d))⇒a＋c>b＋d⇒同向同正可乘性eq\b\lc\\rc\}(\a\vs4\al\co1(a>b>0,c>d>0))⇒ac>bd⇒可乘方性a>b>0⇒an>bn(n∈N，n≥1)a，b同为正数可开方性a>b>0⇒eq\r(n,a)>eq\r(n,b)(n∈N，n≥2)a，b同为正数概念方法微思考1．若a>b，且a与b都不为0，则eq\f(1,a)与eq\f(1,b)的大小关系确定吗？提示不确定．若a>b，ab>0，则eq\f(1,a)<eq\f(1,b)，即若a与b同号，则分子相同时，分母大的反而小；若a>0>b，则eq\f(1,a)>eq\f(1,b)，即正数大于负数．2．两个同向不等式可以相加和相乘吗？提示可以相加但不一定能相乘，例如2>－1，－1>－3.题组一思考辨析1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)两个实数a，b之间，有且只有a>b，a＝b，a<b三种关系中的一种．(√)(2)若eq\f(a,b)>1，则a>b.(×)(3)一个不等式的两边同加上或同乘以同一个数，不等号方向不变．(×)(4)a>b>0，c>d>0⇒eq\f(a,d)>eq\f(b,c).(√)题组二教材改编2．若a，b都是实数，则“eq\r(a)－eq\r(b)>0”是“a2－b2>0”的()A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件答案A解析eq\r(a)－eq\r(b)>0⇒eq\r(a)>eq\r(b)⇒a>b⇒a2>b2，但a2－b2>0⇏eq\r(a)－eq\r(b)>0.3．设b<a，d<c，则下列不等式中一定成立的是()A．a－c<b－d B．ac<bdC．a＋c>b＋d D．a＋d>b＋c答案C解析由同向不等式具有可加性可知C正确．题组三易错自纠4．若a>b>0，c<d<0，则一定有()A.eq\f(a,c)－eq\f(b,d)>0 B.eq\f(a,c)－eq\f(b,d)<0C.eq\f(a,d)>eq\f(b,c) D.eq\f(a,d)<eq\f(b,c)答案D解析∵c<d<0，∴0<－d<－c，又0<b<a，∴－bd<－ac，即bd>ac，又∵cd>0，∴eq\f(bd,cd)>eq\f(ac,cd)，即eq\f(b,c)>eq\f(a,d).5．设a，b∈R，则“a>2且b>1”是“a＋b>3且ab>2”的()A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件答案A解析若a>2且b>1，则由不等式的同向可加性可得a＋b>2＋1＝3，由不等式的同向同正可乘性可得ab>2×1＝2.即“a>2且b>1”是“a＋b>3且ab>2”的充分条件；反之，若“a＋b>3且ab>2”，则“a>2且b>1”不一定成立，如a＝6，b＝eq\f(1,2).所以“a>2且b>1”是“a＋b>3且ab>2”的充分不必要条件．故选A.6．若－eq\f(π,2)<α<β<eq\f(π,2)，则α－β的取值范围是__________．答案(－π，0)解析由－eq\f(π,2)<α<eq\f(π,2)，－eq\f(π,2)<－β<eq\f(π,2)，α<β，得－π<α－β<0.比较两个数(式)的大小例1(1)若a<0，b<0，则p＝eq\f(b2,a)＋eq\f(a2,b)与q＝a＋b的大小关系为()A．p<q B．p≤qC．p>q D．p≥q答案B解析(作差法)p－q＝eq\f(b2,a)＋eq\f(a2,b)－a－b＝eq\f(b2－a2,a)＋eq\f(a2－b2,b)＝(b2－a2)·eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,a)－\f(1,b)))＝eq\f(b2－a2b－a,ab)＝eq\f(b－a2b＋a,ab)，因为a<0，b<0，所以a＋b<0，ab>0.若a＝b，则p－q＝0，故p＝q；若a≠b，则p－q<0，故p<q.综上，p≤q.故选B.(2)已知a>b>0，比较aabb与abba的大小．解∵eq\f(aabb,abba)＝eq\f(aa－b,ba－b)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(a,b)))a－b，又a>b>0，故eq\f(a,b)>1，a－b>0，∴eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(a,b)))a－b>1，即eq\f(aabb,abba)>1，又abba>0，∴aabb>abba，∴aabb与abba的大小关系为aabb>abba.思维升华比较大小的常用方法(1)作差法：①作差；②变形；③定号；④结论．(2)作商法：①作商；②变形；③判断商与1的大小关系；④结论．跟踪训练1(1)已知p∈R，M＝(2p＋1)(p－3)，N＝(p－6)(p＋3)＋10，则M，N的大小关系为________．答案M>N解析因为M－N＝(2p＋1)(p－3)－[(p－6)(p＋3)＋10]＝p2－2p＋5＝(p－1)2＋4>0，所以M>N.(2)若a>0，且a≠7，则()A．77aa<7aa7B．77aa＝7aa7C．77aa>7aa7D．77aa与7aa7的大小不确定答案C解析eq\f(77aa,7aa7)＝77－aaa－7＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(7,a)))7－a，则当a>7时，0<eq\f(7,a)<1,7－a<0，则eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(7,a)))7－a>1，∴77aa>7aa7；当0<a<7时，eq\f(7,a)>1,7－a>0，则eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(7,a)))7－a>1，∴77aa>7aa7.综上，77aa>7aa7.不等式的基本性质例2(1)(2019·武汉部分市级示范高中联考)下列命题中正确的是()A．若a>b，则ac2>bc2B．若a>b，c<d，则eq\f(a,c)>eq\f(b,d)C．若a>b，c>d，则a－c>b－dD．若ab>0，a>b，则eq\f(1,a)<eq\f(1,b)答案D解析对于A选项，当c＝0时，不成立，故A选项错误；当a＝1，b＝0，c＝－2，d＝－1时，eq\f(a,c)<eq\f(b,d)，故B选项错误；当a＝1，b＝0，c＝1，d＝0时，a－c＝b－d，故C选项错误，故D选项正确．(2)若eq\f(1,a)<eq\f(1,b)<0，则下列结论不正确的是()A．a2<b2 B．ab<b2C．a＋b<0 D．|a|＋|b|>|a＋b|答案D解析由题意可知b<a<0，所以A，B，C正确，而|a|＋|b|＝－a－b＝|a＋b|，故D错误．思维升华判断不等式的常用方法：一是用性质逐个验证；二是用特殊值法排除．利用不等式的性质判断不等式是否成立时要特别注意前提条件．跟踪训练2(1)(2019·天津市河北区模拟)若a，b，c∈R，给出下列命题：①若a>b，c>d，则a＋c>b＋d；②若a>b，c>d，则b－c>a－d；③若a>b，c>d，则ac>bd；④a>b，c>0，则ac>bc.其中正确命题的序号是()A．①②④B．①④C．①③④D．②③答案B解析①∵a>b，c>d，由不等式的同向可加性得a＋c>b＋d，故①正确；②由①正确，可知②不正确；③取4>－2，－1>－3，则4×(－1)<(－2)×(－3)，故③不正确；④∵a>b，c>0，∴ac>bc.故④正确．综上可知，只有①④正确．故选B.(2)若eq\f(1,a)<eq\f(1,b)<0，则下列不等式：①a＋b<ab；②|a|>|b|；③a<b；④ab<b2中，正确的不等式有________．(填序号)答案①④解析因为eq\f(1,a)<eq\f(1,b)<0，所以b<a<0，a＋b<0，ab>0，所以a＋b<ab，|a|<|b|，在b<a两边同时乘以b，因为b<0，所以ab<b2.因此正确的是①④.不等式性质的综合应用命题点1判断不等式是否成立例3设a，b，c，d，x为实数，且b>a>0，c>d，下列不等式正确的是()A．d－a<c－b B.eq\f(b,a)≥eq\f(b＋x,a＋x)C．bc>ad D.eq\f(a,b)≤eq\f(a＋|x|,b＋|x|)答案D解析取a＝2，b＝4，c＝3，d＝2，d－a＝0，c－b＝－1，此时d－a>c－b，A错误；取a＝2，b＝3，x＝－1，则eq\f(b,a)＝eq\f(3,2)，eq\f(b＋x,a＋x)＝2，此时eq\f(b,a)<eq\f(b＋x,a＋x)，B错误；取b＝3，a＝eq\f(1,2)，c＝1，d＝－3，ad＝8，则bc<ad，C错误；对于D,eq\f(a,b)－eq\f(a＋|x|,b＋|x|)＝eq\f(a－b|x|,bb＋|x|)≤0，D正确．故选D.命题点2求代数式的取值范围例4已知－1<x<4,2<y<3，则x－y的取值范围是________，3x＋2y的取值范围是________．答案(－4,2)(1,18)解析∵－1<x<4,2<y<3，∴－3<－y<－2，∴－4<x－y<2.由－1<x<4,2<y<3，得－3<3x<12,4<2y<6，∴1<3x＋2y<18.若将本例条件改为－1<x＋y<4,2<x－y<3，求3x＋2y的取值范围．解设3x＋2y＝m(x＋y)＋n(x－y)，则eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(m＋n＝3，,m－n＝2，))∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(m＝\f(5,2)，,n＝\f(1,2).))即3x＋2y＝eq\f(5,2)(x＋y)＋eq\f(1,2)(x－y)，又∵－1<x＋y<4,2<x－y<3，∴－eq\f(5,2)<eq\f(5,2)(x＋y)<10,1<eq\f(1,2)(x－y)<eq\f(3,2)，∴－eq\f(3,2)<eq\f(5,2)(x＋y)＋eq\f(1,2)(x－y)<eq\f(23,2)，即－eq\f(3,2)<3x＋2y<eq\f(23,2)，∴3x＋2y的取值范围为eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(3,2)，\f(23,2))).思维升华(1)判断不等式是否成立的方法①逐一给出推理判断或反例说明．②结合不等式的性质，对数函数、指数函数的性质进行判断．(2)求代数式的取值范围一般是利用整体思想，通过“一次性”不等关系的运算求得整体范围．跟踪训练3(1)(2019·衡水第十三质检)设b>a>0，c∈R，则下列不等式中不一定成立的是()A． B.eq\f(1,a)－c>eq\f(1,b)－cC.eq\f(a＋2,b＋2)>eq\f(a,b) D．ac2<bc2答案D解析因为y＝在(0，＋∞)上是增函数，所以；因为y＝eq\f(1,x)－c在(0，＋∞)上是减函数，所以eq\f(1,a)－c>eq\f(1,b)－c；因为eq\f(a＋2,b＋2)－eq\f(a,b)＝eq\f(2b－a,b＋2b)>0，所以eq\f(a＋2,b＋2)>eq\f(a,b)；当c＝0时，ac2＝bc2，所以D不成立．故选D.(2)(2019·潮州模拟)已知－1≤x＋y≤1,1≤x－y≤3，则8x·eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))y的取值范围是()A．[2,28] B.eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，28))C．[2,27] D.eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，27))答案C解析8x·eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))y＝23x·eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))y＝23x－y，令3x－y＝s(x＋y)＋t(x－y)＝(s＋t)x＋(s－t)y，则eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(s＋t＝3，,s－t＝－1，))∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(s＝1，,t＝2，))即3x－y＝(x＋y)＋2(x－y)，又－1≤x＋y≤1，①1≤x－y≤3，∴2≤2(x－y)≤6.②∴①＋②得1≤3x－y≤7.则8x·eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))y＝23x－y∈[2,27]．故选C.1．对于任意实数a，b，c，d，下列命题中正确的是()A．若a>b，c≠0，则ac>bcB．若a>b，则ac2>bc2C．若ac2>bc2，则a>bD．若a>b，则eq\f(1,a)<eq\f(1,b)答案C解析对于选项A，当c<0时，不正确；对于选项B，当c＝0时，不正确；对于选项C，∵ac2>bc2，∴c≠0，∴c2>0，∴一定有a>b.故选项C正确；对于选项D，当a>0，b<0时，不正确．2．设a，b，c为实数，且a<b<0，则下列不等式正确的是()A.eq\f(1,a)<eq\f(1,b) B．ac2<bc2C.eq\f(b,a)>eq\f(a,b) D．a2>ab>b2答案D解析对于A，令a＝－2，b＝－1，eq\f(1,a)＝－eq\f(1,2)，eq\f(1,b)＝－1，故A错误；对于B，当c＝0时，则ac2＝bc2＝0，故B错误；对于C，令b＝－1，a＝－2，则eq\f(b,a)<eq\f(a,b)，故C错误；对于D，∵a<b<0，∴a2>ab且ab>b2，故D正确，故选D.3．若a>b>0，则下列不等式中一定成立的是()A．a＋eq\f(1,b)>b＋eq\f(1,a) B.eq\f(b,a)>eq\f(b＋1,a＋1)C．a－eq\f(1,b)>b－eq\f(1,a) D.eq\f(2a＋b,a＋2b)>eq\f(a,b)答案A∞)上单调递增，所以，当a>b>0时，g(a)>g(b)未必成立，即C不一定成立，故选A.4．(2019·河北省衡水模拟)已知eq\f(c3,a)<eq\f(c3,b)<0，则下列选项中错误的是()A．|b|>|a| B．ac>bcC.eq\f(a－b,c)>0 D．lneq\f(a,b)>0答案D解析eq\f(c3,a)<eq\f(c3,b)<0，当c<0时，eq\f(1,a)>eq\f(1,b)>0，即b>a>0，∴|b|>|a|,ac>bc,eq\f(a－b,c)>0成立，即A，B，C成立；此时0<eq\f(a,b)<1，∴lneq\f(a,b)<0，D错误．同理，当c>0时，A，B，C也正确．故选D.5．若eq\f(1,a)<eq\f(1,b)<0，则下列结论正确的是()A．a2>b2 B．1>eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))b>eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))aC.eq\f(b,a)＋eq\f(a,b)<2 D．aeb>bea答案D解析由题意知，b<a<0，则a2<b2，eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))b>eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))a>1，eq\f(b,a)＋eq\f(a,b)>2，∵b<a<0，∴ea>eb>0，－b>－a>0∴－bea>－aeb，∴aeb>bea，故选D.6．若α，β满足－eq\f(π,2)<α<β<eq\f(π,2)，则2α－β的取值范围是()A．－π<2α－β<0 B．－π<2α－β<πC．－eq\f(3π,2)<2α－β<eq\f(π,2) D．0<2α－β<π答案C解析∵－eq\f(π,2)<α<eq\f(π,2)，∴－π<2α<π.∵－eq\f(π,2)<β<eq\f(π,2)，∴－eq\f(π,2)<－β<eq\f(π,2)，∴－eq\f(3π,2)<2α－β<eq\f(3π,2).又α－β<0，α<eq\f(π,2)，∴2α－β<eq\f(π,2).故－eq\f(3π,2)<2α－β<eq\f(π,2).7．若a<b<0，则下列不等式关系中，成立的是________．(填序号)①eq\f(1,a)>eq\f(1,b)；②eq\f(1,a)>eq\f(1,a－b)；③④eq\f(1,a2)>eq\f(1,b2).答案①②③解析对于①，∵a<b<0，∴eq\f(1,a)>eq\f(1,b)，故①正确；对于②，∵a<b<0，∴a<a－b<0，两边同时除以a(a－b)可得eq\f(1,a)>eq\f(1,a－b)，故②正确；根据幂函数的单调性可知③正确；对于④，∵a<b<0，∴a2>b2>0，∴eq\f(1,a2)<eq\f(1,b2)，故④错误．8．已知a＋b>0，则eq\f(a,b2)＋eq\f(b,a2)与eq\f(1,a)＋eq\f(1,b)的大小关系是________．答案eq\f(a,b2)＋eq\f(b,a2)≥eq\f(1,a)＋eq\f(1,b)解析eq\f(a,b2)＋eq\f(b,a2)－eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,a)＋\f(1,b)))＝eq\f(a－b,b2)＋eq\f(b－a,a2)＝(a－b)·eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,b2)－\f(1,a2)))＝eq\f(a＋ba－b2,a2b2).∵a＋b>0，(a－b)2≥0，∴eq\f(a＋ba－b2,a2b2)≥0.∴eq\f(a,b2)＋eq\f(b,a2)≥eq\f(1,a)＋eq\f(1,b).9．(2019·广西壮族自治区玉林高中模拟)近来鸡蛋价格起伏较大，每两周的价格均不相同，假设第一周、第二周鸡蛋价格分别为a元/斤、b元/斤，家庭主妇甲和乙买鸡蛋的方式不同：家庭主妇甲每周买3斤鸡蛋，家庭主妇乙每周买10元钱的鸡蛋，试比较谁的购买方式更优惠(两次平均价格低视为更优惠)______．(在横线上填甲或乙即可)答案乙解析由题意得甲购买产品的平均单价为eq\f(3a＋3b,6)＝eq\f(a＋b,2)，乙购买产品的平均单价为eq\f(20,\f(10,a)＋\f(10,b))＝eq\f(2ab,a＋b)，由条件得a≠b.∵eq\f(a＋b,2)－eq\f(2ab,a＋b)＝eq\f(a－b2,2a＋b)>0，∴eq\f(a＋b,2)>eq\f(2ab,a＋b)，即乙的购买方式更优惠．10．已知有三个条件：①ac2>bc2；②eq\f(a,c)>eq\f(b,c)；③a2>b2，其中能成为a>b的充分条件的是________．(填序号)答案①解析由ac2>bc2可知c2>0，即a>b，故“ac2>bc2”是“a>b”的充分条件；②当c<0时，a<b；③当a<0，b<0时，a<b，故②③不是a>b的充分条件．11．(1)若bc－ad≥0，bd>0，求证：eq\f(a＋b,b)≤eq\f(c＋d,d)；(2)已知c>a>b>0，求证：eq\f(a,c－a)>eq\f(b,c－b).证明(1)∵bc≥ad，bd>0，∴eq\f(c,d)≥eq\f(a,b)，∴eq\f(c,d)＋1≥eq\f(a,b)＋1，∴eq\f(a＋b,b)≤eq\f(c＋d,d).(2)∵c>a>b>0，∴c－a>0，c－b>0.∵a>b>0，∴eq\f(1,a)<eq\f(1,b)，又∵c>0，∴eq\f(c,a)<eq\f(c,b)，∴eq\f(c－a,a)<eq\f(c－b,b)，又c－a>0，c－b>0，∴eq\f(a,c－a)>eq\f(b,c－b).12．已知1<a<4,2<b<8，试求a－b与eq\f(a,b)的取值范围．解因为1<a<4,2<b<8，所以－8<－b<－2.所以1－8<a－b<4－2，即－7<a－b<2.又因为eq\f(1,8)<eq\f(1,b)<eq\f(1,2)，所以eq\f(1,8)<eq\f(a,b)<eq\f(4,2)＝2，即eq\f(1,8)<eq\f(a,b)<2.故a－b的取值范围为(－7,2)，eq\f(a,b)的取值范围为eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,8)，2)).13．已知a，b，c，d为实数，则“a>b且c>d”是“ac＋bd>bc＋ad”的()A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件答案A解析因为c>d，所以c－d>0.又a>b，所以两边同时乘(c－d)，得a(c－d)>b(c－d)，即ac＋bd>bc＋ad.若ac＋bd>bc＋ad，则a(c－d)>b(c－d)，也可能a<b且c<d，所以“a>b且c>d”是“ac＋bd>bc＋ad”的充分不必要条件．14．(2019·抚州临川第一模拟)设m＝log0.30.6，n＝eq\f(1,2)log20.6，则()A．m－n>mn>m＋n B．m－n>m＋n>mnC．mn>m－n>m＋n D．m＋n>m－n>mn答案B解析因为m＝log0.30.6>log0.31＝0，n＝eq\f(1,2)log20.6<eq\f(1,2)log21＝0，所以mn<0，m－n>0，因为－eq\f(1,n)＝－2log0.62＝log0.60.25>0，eq\f(1,m)＝log0.60.3>0，而log0.60