专题35导数与函数的极值最值（原卷版）

专题35导数与函数的极值、最值№专题35导数与函数的极值、最值№考向解读➊考点精析➋真题精讲➌模拟精练➍专题训练（新高考）备战2024高考数学一轮复习（新高考）备战2024高考数学一轮复习专题35导数与函数的极值、最值命题解读命题预测复习建议利用导数研究函数的极值、最值是高考必考的重点知识点，已经是解决函数、不等式等问题的主要工具，在高考中常以各种题型出现，对于函数问题中含参问题的研究是高考出现频率较高的，试题难度比较大.预计2024年的高考利用导数研究函数的极值、最值出题形式以新颖为主，灵活性较强，与函数、不等式等联系比较密切，难度以高档为主。集合复习策略：1.利用导数研究函数极值、最值；2.体会导数与函数极值、最值的关系。→➊考点精析←一、利用导数研究函数的极值1.函数的极小值:函数y=f(x)在点x=a的函数值f(a)比它在点x=a附近其他点的函数值都小,f'(a)=0;而且在点x=a附近的左侧f'(x)<0,右侧f'(x)>0.则点a叫作函数y=f(x)的极小值点,f(a)叫作函数y=f(x)的极小值.

2.函数的极大值:函数y=f(x)在点x=b的函数值f(b)比它在点x=b附近其他点的函数值都大,f'(b)=0;而且在点x=b附近的左侧f'(x)>0,右侧f'(x)<0.则点b叫作函数y=f(x)的极大值点,f(b)叫作函数y=f(x)的极大值.

极小值点、极大值点统称为极值点,极大值和极小值统称为极值.二、利用导数研究函数的最值1.在闭区间[a,b]上连续的函数f(x)在[a,b]上必有最大值与最小值.f(x)在[a,b]上单调递增,则f(a)为函数的最小值,f(b)为函数的最大值;若函数f(x)在[a,b]上单调递减,则f(a)为函数的最大值,f(b)为函数的最小值.

→➋真题精讲←1.（2023全国Ⅱ卷6）已知函数在区间上单调递增，则a的最小值为（）．A. B.e C. D.2.（2023北京卷20）设函数，曲线在点处的切线方程为．（3）求的极值点个数．3.（2023全国Ⅱ卷22）（1）证明：当时，；（2）已知函数，若是的极大值点，求a的取值范围．→➌模拟精练←1．（2023·江苏无锡·辅仁高中校联考模拟预测）已知函数的导函数，且，，则（

）A．是函数的一个极大值点B．C．函数在处切线的斜率小于零D．2．（2023·广东惠州·统考模拟预测）用数学的眼光看世界就能发现很多数学之“美”.现代建筑讲究线条感，曲线之美让人称奇.衡量曲线弯曲程度的重要指标是曲率，曲线的曲率定义如下：若是的导函数，是的导函数，则曲线y＝f（x）在点（x，f（x））处的曲率，则曲线在（1，1）处的曲率为______；正弦曲线（x∈R）曲率的平方的最大值为______.3．（2023·广东揭阳·校考模拟预测）设函数（a，）在区间上总存在零点，则的最小值为________．4．（2023·广东·统考一模）已知函数.(1)求的极值；(2)当时，，求实数的取值范围.5.（2023·江苏南通·二模）已知函数．(1)若，，求实数a的取值范围；(2)设是函数的两个极值点，证明：．6．（2023·江苏·二模）已知函数．(1)当时，求函数的单调递增区间(2)若函数在的最小值为，求的最大值．7．（（2023·广东广州·统考一模）已知，函数.(1)若，证明：当时，：(2)若函数存在极小值点，证明：8．（2023·广东江门·统考一模）已知函数，其中.(1)若的图象在处的切线过点，求a的值；(2)证明：，，其中e的值约为2.718，它是自然对数的底数；(3)当时，求证：有3个零点，且3个零点之积为定值.9．（2023·广东汕头·统考一模）已知函数．(1)若函数在处取得极值，求的值及函数的单调区间；(2)若函数有两个零点，求的取值范围．10．（2023·广东佛山·统考一模）已知函数，，其中为实数.(1)求的极值；(2)若有4个零点，求的取值范围.11．（2023·广东·高三联考模拟考试）已知定义域为的函数在上的最小值为1.(1)求实数的值；(2)若方程有两个不同的实数根，证明：.12．（2023·广东揭阳·高三统考）已知函数.(1)讨论的零点个数；(2)当有两个零点时，分别设为，，试判断与2的大小关系，并证明.→➍专题训练←1.若定义在上的函数的导函数的图象如图所示，则（）.A．函数有1个极大值，2个极小值B．函数有2个极大值，3个极小值C．函数有3个极大值，2个极小值D．函数有4个极大值，3个极小值有极值的充分但不必要条件是（）A． B． C． D．3.已知函数在处取得最大值，则下列选项正确的是（）A． B．C． D．4.设的最大值为，则（）A．当时， B．当时，C．当时， D．当时，5．（2023·安徽·校联考三模）已知函数，若对任意的恒成立，则的最大值是（

）A． B． C． D．6．（多选）（2023·辽宁·校联考三模）已知函数，若有两个不同的极值点，且当时恒有，则的可能取值有（

）A． B．C． D．7．（2023·黑龙江大庆·统考三模）函数，则方程解的个数为（

）A．0 B．1 C．2 D．38．（多选）（2023·山西运城·统考三模）已知函数，则下列说法正确的是（

）A．曲线在处的切线与直线垂直B．在上单调递增C．的极小值为D．在上的最小值为9．（2023·湖南永州·统考三模）已知函数，对于定义域内的任意恒有，则的最大值为（

）A． B． C． D．10．（2023·湖南邵阳·统考三模）已知函数有两个极值点，，且，则实数m的取值范围是__________.11．（2023·浙江温州·统考三模）已知函数.(1)证明：函数在上有且只有一个零点；(2)当时，求函数的最小值；(3)设，若对任意的恒成立，且不等式两端等号均能取到，求的最大值.12．（2023·山西运城·统考三模）已知函数.(1)讨论函数在上的零点个数；(2)当且时，记，探究与1的大小关系，并说明理由.13．（2023·安徽黄山·统考三模）已知函数，(1)试判断函数在上是否存在极值.若存在，说出是极大值还是极小值；若不存在，说明理由.(2)设，若，证明：不等式在上恒成立.14．（2023·山西阳泉·统考三模）已知函数，其中a为常数，e为自然对数底数，…，若函数有两个极值点，.(1)求实数a的取值范围；(2)证明：.15．（2023·安徽铜陵·统考三模）已知函数.(1)试求函数的极值；(2)若存在实数使得成立，求实数的取值范围.16