九年级数学下册第一章直角三角形的边角关系检测题（新版）北师大版

第一章检测题(时间：120分钟满分：120分)一、选择题(每小题3分，共30分)1．已知∠A为锐角，且sinA＝eq\f(\r(2),2)，那么∠A等于(C)A．15°B．30°C．45°D．60°2．(孝感中考)如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝10，AC＝8，则sinA等于(A)A.eq\f(3,5)B.eq\f(4,5)C.eq\f(3,4)D.eq\f(4,3),第2题图),第6题图)3．已知Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝2eq\r(5)，tanA＝eq\f(1,2)，则BC的长是(A)A．2B．8C．2eq\r(5)D．4eq\r(5)4．若一个三角形三个内角度数的比为1∶2∶3，那么这个三角形最小角的正切值为(C)A.eq\f(1,3)B.eq\f(1,2)C.eq\f(\r(3),3)D.eq\f(\r(3),2)5．如果∠A为锐角，且sinA＝0.6，那么(B)A．0°＜A≤30°B．30°＜A＜45°C．45°＜A＜60°D．60°＜A≤90°6．西周时期，丞相周公旦设置过一种通过测定日影长度来确定时间的仪器，称为圭表．如图是一个根据北京的地理位置设计的圭表，其中，立柱AC高为a.已知，冬至时北京的正午日光入射角∠°，则立柱根部与圭表的冬至线的距离(即BC的长)约为(B)A．asin°B.eq\f(a,tan°)C．acos°D.eq\f(,cos°)7．如图，某轮船在点O处测得一个小岛上的电视塔A在北偏西60°的方向，船向西航行20海里到达B处，测得电视塔A在船的西北方向，若要轮船离电视塔最近，则还需向西航行(A)A．10(eq\r(3)＋1)海里B．10(eq\r(3)－1)海里C．20(eq\r(3)＋1)海里D．20(eq\r(3)－1)海里,第7题图),第9题图)8．某地下车库出口处安装了“两段式栏杆”，如图1所示，点A是栏杆转动的支点，点E是栏杆两段的联结点．当车辆经过时，栏杆AEF最多只能升起到如图2所示的位置，其示意图如图3所示(栏杆宽度忽略不计)，其中AB⊥BC，EF∥BC，∠AEF＝143°，AB＝AE＝1.2米，那么适合该地下车库的车辆限高标志牌为(参考数据：sin37°≈，cos37°≈，tan37°≈0.75)(A)9．如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，tan∠BAC＝2，A(0，a)，B(b，0)，点C在第二象限，BC与y轴交于点D(0，c)，若y轴平分∠BAC，则点C的坐标不能表示为(C)A．(b＋2a，2b)B．(－b－2c，2b)C．(－b－c，－2a－2c)D．(a－c，－2a－2c)10．如图，Rt△ABC中，∠CAB＝90°，在斜边CB上取点M，N(不包含C，B两点)，且tanB＝tanC＝tan∠MAN＝1，设MN＝x，BM＝n，CN＝m，则以下结论能成立的是(D)A．m＝nB．x＝m＋nC．x＞m＋nD．x2＝m2＋n2二、填空题(每小题3分，共18分)11．计算：(－eq\f(1,2))2－2cos60°＝－eq\f(3,4)；12．比较大小：cos35°＜sin65°.若45°＜α＜90°，则sinα＞cosα.13．如果方程x2－4x＋3＝0的两个根分别是Rt△ABC的两条边，△ABC最小角是∠A，那么tanA的值为eq\f(1,3)或eq\f(\r(2),4).14．(杭州中考)如图，“人字梯”放在水平的地面上，当梯子的一边与地面所夹的锐角α为60°时，两梯角之间的距离BC的长为3m．周日亮亮帮助妈妈整理换季衣服，先使α为60°，后又调整α为45°，则梯子顶端离地面的高度AD下降了eq\f(3（\r(3)－\r(2)）,2)m.(结果保留根号),第14题图),第15题图),第16题图)15．如图所示，四边形ABCD中，∠B＝90°，AB＝2，CD＝8，AC⊥CD，若sin∠ACB＝eq\f(1,3)，则cos∠ADC＝eq\f(4,5).16．如图，在Rt△ABC中，∠A＝90°，AD⊥BC，垂足为D.给出下列四个结论：①sinα＝sinB；②sinβ＝sinC；③sinB＝cosC；④sinα＝cosβ.其中正确的结论有①②③④.(填序号)三、解答题(共72分)17．(6分)(娄底中考)计算：(π－3.14)0＋(eq\f(1,3))－2－|－eq\r(12)|＋4cos30°.解：原式＝1＋9－2eq\r(3)＋4×eq\f(\r(3),2)＝1＋9－2eq\r(3)＋2eq\r(3)＝1018．(6分)已知Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A＝60°，c＝2＋eq\r(3)，解Rt△ABC.解：∠B＝90°－∠A＝90°－60°＝30°，由sinA＝eq\f(a,c)，得a＝c·sinA＝(2＋eq\r(3))×eq\f(\r(3),2)＝eq\r(3)＋eq\f(3,2)，由cosA＝eq\f(b,c)，得b＝c·cosA＝(2＋eq\r(3))×eq\f(1,2)＝eq\f(2＋\r(3),2)19．(6分)△ABC是一块钢板余料，其中∠A＝30°，∠B＝45°，AB＝20dm，现要从中剪裁出边长为6dm的等边△DEF，如图所示，其中点D在BC上，点E和点F在AB上，求AE，BF的长．(结果保留根号)解：作DG⊥AB于G.∵△DEF是等边三角形，∴DE＝DF＝EF＝6，EG＝FG＝3，DG＝EG·tan60°＝3eq\r(3)，在Rt△DGB中，∵∠B＝∠GDB＝45°，∴DG＝BG＝3eq\r(3)，∴BE＝3＋3eq\r(3)，∴AE＝AB－EB＝20－(3＋3eq\r(3))＝17－3eq\r(3)，BF＝BG－FG＝3eq\r(3)－320．(6分)(徐州中考)如图，一座堤坝的横截面是梯形，根据图中给出的数据，求坝高和坝底宽．(精确到0.1m．参考数据：eq\r(2)≈，eq\r(3)≈1.732)解：在Rt△CDE中，∵sin∠C＝eq\f(DE,DC)，cos∠C＝eq\f(CE,CD)，∴DE＝sin30°×DC＝eq\f(1,2)×14＝7(m)，CE＝cos30°×DC＝eq\f(\r(3),2)×14＝7eq\r(3)≈≈12.12，∵四边形AFED是矩形，∴EF＝AD＝6m，AF＝DE＝7m，在Rt△ABF中，∵∠B＝45°，∴DE＝BF＝7m，∴BC＝BF＋EF＋EC≈≈25.1(m)，答：该坝的坝高和坝底宽分别为7m和25.1m21．(8分)如图，AH是△ABC的高，D是边AB上一点，CD与AH交于点E.已知AB＝AC＝6，cosB＝eq\f(2,3)，AD∶DB＝1∶2.(1)求△ABC的面积；(2)求CE∶DE.解：(1)∵AB＝AC＝6，cosB＝eq\f(2,3)，AH是△ABC的高，∴BH＝4，∴BC＝2BH＝8，AH＝eq\r(62－42)＝2eq\r(5)，∴△ABC的面积是eq\f(BC·AH,2)＝eq\f(8×2\r(5),2)＝8eq\r(5)(2)作DF⊥BC于点F，∵DF⊥BH，AH⊥BH，∴DF∥AH，∴eq\f(AD,AB)＝eq\f(HF,HB)，eq\f(CE,DE)＝eq\f(CH,HF)，∵AD∶DB＝1∶2，BH＝CH，∴AD∶AB＝1∶3，∴eq\f(HF,HB)＝eq\f(1,3)，∴eq\f(CE,DE)＝eq\f(CH,HF)＝eq\f(BH,HF)＝eq\f(3,1)，即CE∶DE＝3∶122．(8分)(遵义中考)如图，吊车在水平地面上吊起货物时，吊绳BC与地面保持垂直，吊臂AB与水平线的夹角为64°，吊臂底部A距地面1.5m．(计算结果精确到0.1m，参考数据sin64°≈，cos64°≈，tan64°≈2.05)(1)当吊臂底部A与货物的水平距离AC为5m时，吊臂AB的长为________m；(2)如果该吊车吊臂的最大长度AD为20m，那么从地面上吊起货物的最大高度是多少？(吊钩的长度与货物的高度忽略不计)解：(1)11.4(2)过点D作DH⊥地面于H，交水平线于点E，在Rt△ADE中，∵AD＝20m，∠DAE＝64°，EH＝1.5m，∴DE＝sin64°×AD≈20×≈18(m)，即DH＝DE＋EH＝18＋1.5＝19.5(m)，答：如果该吊车吊臂的最大长度AD为20m，那么从地面上吊起货物的最大高度是19.5m23∠HDE为45°，此时教学楼顶端G恰好在视线DH上，再向前走7米到达B处，又测得教学楼顶端G的仰角∠GEF为60°，点A，B，C三点在同一水平线上．(1)计算古树BH的高；(2)计算教学楼CG的高．(参考数据：eq\r(2)≈，eq\r(3)≈1.7)解：(1)∵四边形ABED是矩形，∴DE＝AB＝7米．在Rt△DEH中，∵∠EDH＝45°，∴HE＝DE＝7米，∴BH＝HE＋BE＝8.5(米)(2)作HJ⊥△Rt△GEF中，tan60°＝eq\f(FG,EF)，∴eq\r(3)＝eq\f(7＋x,x)，∴x＝eq\f(7,2)eq\r(3)＋eq\f(7,2).FG＝eq\f(21,2)＋eq\f(7,2)eq\r(3)，∴CG＝CF＋FG＝1.5＋eq\f(21,2)＋eq\f(7,2)eq\r(3)≈17.95(米)24．(10分)(株洲中考)如图为某区域部分交通线路图，其中直线l1∥l2∥l3，直线l与直线l1，l2，l3都垂直，垂足分别为点A，点B和点C(高速路右侧边缘)，l2上的点M位于点A的北偏东30°方向上，且BM＝eq\r(3)千米，l3上的点N位于点M的北偏东α方向上，且cosα＝eq\f(\r(13),13)，MN＝2eq\r(13)千米，点A和点N是城际线L上的两个相邻的站点．(1)求l2和l3之间的距离；(2)若城际火车平均时速为150千米/小时，求市民小强乘坐城际火车从站点A到站点N需要多少小时？(结果用分数表示)解：(1)过点M作MD⊥NC于点D，∵cosα＝eq\f(\r(13),13)，MN＝2eq\r(13)千米，∴cosα＝eq\f(DM,MN)＝eq\f(DM,2\r(13))＝eq\f(\r(13),13)，解得DM＝2(km)，答：l2和l3之间的距离为2km(2)∵点M位于点A的北偏东30°方向上，且BM＝eq\r(3)千米，∴tan30°＝eq\f(BM,AB)＝eq\f(\r(3),AB)＝eq\f(\r(3),3)，解得AB＝3(km)，可得AC＝3＋2＝5(km)，∵MN＝2eq\r(13)km，DM＝2km，∴DN＝eq\r(（2\r(13)）2－22)＝4eq\r(3)(km)，则NC＝DN＋BM＝5eq\r(3)(km)，∴AN＝eq\r(AC2＋CN2)＝eq\r(（5\r(3)）2＋52)＝10(km)，∵城际火车平均时速为150千米/小时，∴市民小强乘坐城际火车从站点A到站点N需要eq\f(10,150)＝eq\f(1,15)小时25．(12分)如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝BC＝6，点D为AC中点，点E为边AB上一动点，点F为射线BC上一动点，且∠FDE＝90°.(1)当DF∥AB时，连接EF，求tan∠DEF的值；(2)当点F在线段BC上时，设AE＝x，BF＝y，求y关于x的函数关系式，并写出x的取值范围；(3)连接CE，若△CDE为等腰三角形，求BF的长．解：(1)∵AC＝BC＝6，∠ACB＝90°，∴AB＝6eq\r(2)，∵DF∥AB，CD＝eq\f(1,2)AC，∴DF＝eq\f(1,2)AB＝3eq\r(2)，∴DE＝eq\f(3,2)eq\r(2)，在Rt△DEF中，tan∠DEF＝eq\f(DF,DE)＝eq\f(3\r(2),\f(3,2)\r(2))＝2(2)过点E作EH⊥AC于点H，设AE＝x，∵BC⊥AC，∴EH∥BC，∴∠AEH＝∠B，∵∠B＝∠A，∴∠AEH＝∠A，HE＝HA＝eq\f(\r(2),2)x，∴HD＝3－eq\f(\r(2),2)x，又可证△HDE∽△CFD，∴eq\f(HD,CF)＝eq\f(HE,DC)，∴eq\f(3－\f(\r(2),2)x,6－y)＝eq\f(\f(\r(2),2)x,3)，∴y＝－eq\f(9\r(2),x)＋9(eq\r(2)≤x≤3eq\r(2))(3)∵CE≥eq\f(1,2)AB＝3eq\r(2)＞3，CD＝3，∴CE＞CD，∴若△DCE为等腰三角形，只有DC＝DE或ED＝EC两