椭圆及其标准方程

2.1.1椭圆的定义与标准方程“嫦娥二号”于2010年10月1日18时59分57秒在西昌卫星发射中心发射升空♦自然界处处存在着椭圆,我们如何用自己的双手画出椭圆呢?先回忆如何画圆3．绳长能小于两图钉之间的距离吗？1．视笔尖为动点，两个图钉为定点，动点到两定点距离之和符合什么条件？其轨迹如何？2．改变两图钉之间的距离，使其与绳长相等，画出的图形还是椭圆吗？在画板上取两个定点,把一条长度为定值的细绳用图钉固定在处。♦如何定义椭圆?圆的定义:平面上到定点的距离等于定长的点的集合叫圆.椭圆的定义:平面上到两个定点F1,

F2的距离之和为固定值(大于|F1F2

|)的点的轨迹叫作椭圆.1.改变两图钉之间的距离，使其与绳长相等，画出的图形还是椭圆吗？2．绳长能小于两图钉之间的距离吗？

1.改变两图钉之间的距离，使其与绳长相等，画出的图形还是椭圆吗？2．绳长能小于两图钉之间的距离吗？

注意:

（1）必须在平面内;

（2）两个定点——两点间距离确定;(常记作2c)

（3）常数——轨迹上任意点到两定点距离和确定.(常记作2a,且2a>2c)1.椭圆定义：

平面内与两个定点

的距离和等于常数（大于）的点的轨迹叫作椭圆，这两个定点叫做椭圆的焦点，两焦点间的距离叫做椭圆的焦距

．若2a=F1F2轨迹是什么呢？若2a<F1F2轨迹是什么呢？轨迹是一条线段轨迹不存在回忆圆标准方程推导步骤♦提出了问题就要试着解决问题.怎么推导椭圆的标准方程呢？♦求动点轨迹方程的一般步骤：1、建立适当的坐标系，用有序实数对（x,y）表示曲线上任意一点M的坐标;2、写出适合条件P（M）;3、用坐标表示条件P（M），列出方程;

4、化方程为最简形式。坐标法♦探讨建立平面直角坐标系的方案OxyOxyOxyMF1F2方案一F1F2方案二OxyMOxy原则：尽可能使方程的形式简单、运算简单；

(一般利用对称轴或已有的互相垂直的线段所在的直线作为坐标轴.)(对称、“简洁”)xF1F2Ｐ(x,y)0y设P(x,y)是椭圆上任意一点，椭圆的焦距|F1F2|=2c(c>0)，则F1、F2的坐标分别是(

c,0)、(c,0).

P与F1和F2的距离的和为固定值2a(2a>2c)

（问题：下面怎样化简？）由椭圆的定义得，限制条件：由于得方程两边除以得由椭圆定义可知整理得两边再平方，得移项，再平方椭圆的标准方程刚才我们得到了焦点在x轴上的椭圆方程，如何推导焦点在y轴上的椭圆的标准方程呢？（问题：下面怎样化简？）由椭圆的定义得，限制条件：由于得方程?OXYF1F2M(-c,0)(c,0)YOXF1F2M(0,-c)(0,c)♦椭圆的标准方程的特点：（1）椭圆标准方程的形式：左边是两个分式的平方和，右边是1（2）椭圆的标准方程中三个参数a、b、c满足a2=b2+c2。（3）由椭圆的标准方程可以求出三个参数a、b、c的值。（4）椭圆的标准方程中，x2与y2的分母哪一个大，则焦点在哪一个轴上。分母哪个大，焦点就在哪个轴上平面内到两个定点F1，F2的距离的和等于常数（大于F1F2）的点的轨迹标准方程不同点相同点图形焦点坐标定义a、b、c的关系焦点位置的判断♦再认识！xyF1F2POxyF1F2PO则a＝

，b＝

；则a＝

，b＝

；5346口答：则a＝

，b＝

；则a＝

，b＝

．3如图:求满足下列条件的椭圆方程解：椭圆具有标准方程其中因此所求方程为例1.求出刚才在实验中画出的椭圆的标准方程例2

求两个焦点的坐标分别是（0，-2）﹑（0，2），并且经过点的椭圆方程。法（2）待定系数法解：由题意可设椭圆的标准方程为∵椭圆的焦点为（0，-2），（0，2）又∵椭圆过点由⑴⑵可得∴⑴∴⑵所以椭圆的标准方程为：课堂练习1.如果椭圆上一点P到焦点的距离等于6，那么点P到另一个焦点的距离是

142.已知经过椭圆的右焦点作直线AB交椭圆于A，B两点，是椭圆的左焦点，则△的周长为203、求满足下列条件的椭圆的标准方程: