第3章 图像变换1

第3章图像变换3.1傅里叶变换3.2离散余弦变换3.3小波变换及其应用

引言

时域与频域时域：我们队音乐最普遍的理解，一个随着时间变化的震动。频域：对于乐器小能手们来说，音乐更直观的理解是乐谱。在时域，我们观察到钢琴的琴弦一会上一会下的摆动，而在频域，只有那一个永恒的音符。

引言

时域与频域你眼中看似落叶纷飞变化无常的世界，实际只是躺在上帝怀中一份早已谱好的乐章。我们可以理解为，利用对不同琴键不同力度，不同时间点的敲击，可以组合出任何一首乐曲。

引言

时域与频域图像变换基础1.什么是图像变换？为了有效地和快速的对图像进行处理和分析，常常需要将原定义在图像空间的图像以某种形式转换到另外一些空间，并利用这些空间的特有性质方便地进行一定的加工，最后再转换回图像空间以得到所需的效果。这些转换方法称为图像变换技术。第3章图像变换图像变换基础2.为什么要学习图像变换？从某种意义来说，使用不同的域来描述图像，就好比使用不同的语言来表达观点。能讲两种语言的人常常会发现，在表达某些观点时，一种语言会比另一种语言优越。类似的，图像处理的分析者在解决某一问题时会在不同的空间来回切换。掌握图像变换技术，就可以在不同的空间下思考问题，并利用不同空间的优越性解决问题，这种能力是非常有用的。傅里叶变换也被喻为描述图像的第二种语言。第3章图像变换3.1傅里叶变换3.1.1一维傅里叶变换3.1.2二维离散傅里叶变换3.1.3二维离散傅里叶变换的性质3.1.4傅里叶变换在图像处理中的应用傅里叶变换时域与频域的桥梁1.时域分析的局限性3.1傅里叶变换3.1.1一维傅里叶变换任何函数信号，都可以看作是不同振幅，不同相位正弦波的叠加。3.1傅里叶变换3.1.1一维傅里叶变换3.1.1一维傅里叶变换2.一维傅里叶变换功能傅里叶变换是一种数学变换（正交变换），可以把一维信号（或函数）分解成不同幅度的具有不同频率的正弦和余弦信号（或函数）。输入信号=>傅里叶（正）变换=>频率域信号函数 函数频率域信号=>傅里叶反变换=>输出信号函数 函数3.频域分析3.1.1一维傅里叶变换4.一维（连续）傅里叶变换表达式3.1.1一维傅里叶变换4.一维（连续）傅里叶变换表达式3.1.1一维傅里叶变换3.1.1一维傅里叶变换5.一维（连续）傅里叶变换例题AX03.1.1一维傅里叶变换5.一维（连续）傅里叶变换例题3.1.1一维傅里叶变换Ask：如何获得时域非周期有限长离散信号的离散频谱？Answer：把非周期有限长离散信号变成周期离散信号！3.1.1一维傅里叶变换3.1.1一维傅里叶变换一维离散傅里叶变换3.1.1一维傅里叶变换

DFT小结：3.1.1一维傅里叶变换频域分析应用3.1.1一维傅里叶变换频域分析的其他应用利用傅里叶变换的特性，将时间信号正变换到频率域后进行处理（例如低通、高通或带通），然后再反变换成时间信号，即可完成对信号的滤波。低通滤波：在频率域中抑制高频信号高通滤波：在频率域中抑制低频信号3.1.1一维傅里叶变换

我们之前所讨论的、大家所熟悉的图像空间为“空域”空间。经过二维傅里叶变换，则可获得图像的“频域”空间。空域图像频域频谱图3.1.2二维离散傅里叶变换1.二维连续函数的傅里叶变换3.1.2二维离散傅里叶变换3.1.2二维离散傅里叶变换1.二维连续函数f(x,y)

的傅里叶变换3.1.2二维离散傅里叶变换其傅立叶谱为：频谱是一种图像。亮的部分表示幅值比较大。图像的中心位置的频域低，向四周扩散的方向频率逐渐增高。1.二维连续函数f(x,y)

的傅里叶变换变换在一个周期内进行。M，N表示图像f(x,y)在x，y方向上具有大小不同的阵列。离散信号频谱、相谱、幅谱分别表示为：2.二维离散函数f(x,y)

的傅里叶变换3.1.2二维离散傅里叶变换在图像处理时，一般选取图像块为的方阵，即取这时二维离散傅立叶变换和反变换式：3.1.2二维离散傅里叶变换2.二维离散函数f(x,y)

的傅里叶变换3.1.2二维离散傅里叶变换二维离散函数=数字图像

二维离散函数傅里叶变换=数字图像频谱图2.数字图像频谱图图像的频谱表示为和原图像等大小的一幅二维图像。NNNNYXuv图像频谱图的横纵坐标都是？什么是图像的频率？3.1.2二维离散傅里叶变换

图像的频率是表征图像中灰度变化剧烈程度的指标，是灰度在平面空间上的梯度。2.数字图像频谱图那幅图含有的高频分量多？ 思考：在图像中灰度变化缓慢的区域，对应的频率值？；而对于在图像中灰度变化剧烈的区域，对应的频率值？。3.1.2二维离散傅里叶变换2.数字图像频谱图图像频谱图的幅值是？3.1.2二维离散傅里叶变换在每一个位置(u,v)上都是F(u,v)的模。以灰度的明暗代表模的大小。NNNNYXuv2.数字图像频谱图3.1.2二维离散傅里叶变换2.数字图像频谱图(a)原图像(b)移位前的频谱(c)移位后的频谱对图像进行二维傅立叶变换得到频谱图，频谱图上的各点