2023-2024学年北师大版必修第二册 平面向量基本定理 课件（53张）

§4平面向量基本定理及坐标表示4.1平面向量基本定理导思1.什么是平面向量基本定理?向量的基需要满足哪些条件?2.怎样用基向量表示其他向量?必备知识·自主学习平面向量基本定理1.定理:如果e1,e2是同一平面内两个不共线的向量,那么对该平面内任意一个向量a,存在唯一的一对实数λ1,λ2,使a=__________.2.基:把不共线的向量e1,e2叫作表示这一平面内所有向量的一组基,记为{e1,e2}.λ1e1+λ2e23.正交基:若基中的两个向量互相垂直,则称这组基为正交基.4.正交分解:在正交基下向量的线性表示称为正交分解.5.标准正交基:若基中的两个向量是互相垂直的单位向量,则称这组基为标准正交基.【思考】(1)零向量能不能作为基?提示:由于0与任何向量都是共线的,因此0不能作为基.(2)平面向量的基唯一吗?提示:不唯一,只要两个向量不共线,都可以作为平面内所有向量的一组基.(3)在一组基{e1,e2}下,若存在λ1,λ2∈R,μ1,μ2∈R,且a=λ1e1+λ2e2,a=μ1e1+μ2e2,那么λ1,μ1,λ2,μ2有何关系?提示:由已知得λ1e1+λ2e2=μ1e1+μ2e2,即(λ1-μ1)e1=(μ2-λ2)e2.因为e1与e2不共线,所以λ1-μ1=0,μ2-λ2=0,所以λ1=μ1,λ2=μ2.【基础小测】1.辨析记忆(对的打“√”,错的打“×”)e1,e2是平面α内两个不共线的向量.(1)λe1+μe2(λ,μ∈R)可以表示平面α内的所有向量.(

)(2)对于平面α内任一向量a,使a=λe1+μe2的实数对(λ,μ)有无穷多个. (

)(3)若向量λ1e1+μ1e2与λ2e1+μ2e2共线,则有且只有一个实数λ,使得λ1e1+μ1e2=λ(λ2e1+μ2e2).

(

)

(4)若存在实数λ,μ使得λe1+μe2=0,则λ=μ=0.(

)提示:(1)√.e1,e2是平面α内两个不共线的向量,它们就可以表示该平面内所有向量.(2)×.由平面向量基本定理可知,一旦一个平面的基确定,那么任意一个向量在此基下的实数对是唯一的.(3)×.当两向量的系数均为零,即λ1=λ2=μ1=μ2=0时,这样的λ有无数个.(4)√.实数λ,μ使得λe1+μe2=0,所以λe1=-μe2,而e1,e2是不共线的,所以只能λ=μ=0.2.已知AD,BE分别是△ABC的边BC,AC上的中线,且,则=(

)【解析】选D.因为所以3.设O为平行四边形ABCD的对称中心,=4e1,=6e2,则2e1-3e2等于(

)

【解析】选B.2e1-3e2.关键能力·合作学习类型一向量在给定基下的分解(数学运算)【典例】设D为△ABC所在平面内一点,,则 (

)【思路导引】取与作为一组基,根据向量的线性运算表示出向量【解析】选A.由题得【变式探究】1.在例题中将“”改为“”,用表示=________.

【解析】

答案:

2.在例题中将“”改为“”,试用表示向量

=________.

【解析】答案:【解题策略】用基表示向量的方法1.平面内任何一个向量都可以用两个基进行表示,转化时一定要看清转化的目标,要充分利用向量加法、减法的三角形法则和平行四边形法则,同时结合实数与向量积的定义,牢记转化方向,把未知向量逐步往基方向进行组合或分解.2.具体表示方法有两种:①利用向量的线性运算及法则对所求向量不断转化,直至能用基表示为止;②列向量方程组,利用基表示向量的唯一性求解.【跟踪训练】1.如图,已知,用a,b表示,则等于 (

)

【解析】选B.2.已知G为△ABC的重心,设.则用a,b表示向量=__________.

【解析】如图,连接AG并延长,交BC于点D,则D为BC的中点,

答案:【补偿训练】如图所示,梯形ABCD中,AB∥CD,且AB=2CD,M,N分别是DC和AB的中点,若=a,=b,试用a,b表示【解析】如图所示,连接CN,则四边形ANCD是平行四边形.则

类型二利用平面向量基本定理求参数(数学运算,逻辑推理)【典例】如图,在正方形ABCD中F是边CD上靠近D点的三等分点,连接BF交AC于点E,若,则m+n的值是 (

)

【思路导引】由题意知,B,E,F三点共线,则,用和表示出,根据E,C,A三点共线,可得到μ值,整理化简即可得到m和n值.【解析】选C.由题意知,B,E,F三点共线,F是边CD上靠近D点的三等分点,则又E,C,A三点共线,则,即μ=,则所以m=-1,n=,故m+n=.【解题策略】与向量分解式有关的结论1.设a,b是同一平面内的两个不共线的向量,若x1a+y1b=x2a+y2b,则有2.若A,B,C三点共线,O为直线外一点⇔存在实数x,y,使且x+y=1.【题组训练】1.设D,E分别是△ABC的边AB,BC上的点,AD=AB,BE=BC,若(λ1,λ2为实数),则λ1+λ2的值为________.

【解析】所以,则λ1+λ2的值为.答案:

2.如图,在平行四边形ABCD中,E和F分别是边CD和BC的中点,若,其中λ,μ∈R,则λ+μ=________.

【解析】设又因为答案:

类型三用向量解决平面几何问题(直观想象,逻辑推理)【典例】如图,在△ABC中,点M是BC的中点,点N在AC上,且AN=2NC,AM与BN相交于点P,求AP∶PM与BP∶PN.【思路导引】以与为基,利用平面向量基本定理求解,解题时注意条件A,P,M和B,P,N分别共线的应用.【解析】设=e1,=e2,则=-3e2-e1,=2e1+e2.因为A,P,M和B,P,N分别共线,所以存在实数λ,μ使得=-λe1-3λe2,=2μe1+μe2.故.而=2e1+3e2,由平面向量基本定理,得解得所以,所以AP∶PM=4∶1,BP∶PN=3∶2.【解题策略】用向量解决平面几何问题的一般步骤1.选取不共线的两个平面向量作为基.2.将相关的向量用基向量表示,将几何问题转化为向量问题.3.利用向量知识进行向量运算,得出向量问题的解.4.再将向量问题的解转化为平面几何问题的解.【跟踪训练】如图所示,已知梯形ABCD中,AB∥DC,E,F分别是AD,BC的中点,求证:EF∥AB∥DC.

【证明】延长EF到M,使EF=FM,连接CM,BM,EC,EB,得▱ECMB.

由平行四边形法则得由于AB∥DC,所以共线且同向,根据平面向量基本定理,存在正实数λ,使

由三角形法则得所以所以∥.由于E,D不共点,所以EF∥AB∥DC.1.设O是平行四边形ABCD两对角线的交点,下列向量组:

其中可作为表示这个平行四边形所在平面内所有向量的基的是 (

)A.①②

B.①③

C.①④

D.③④【解析】选B.由基的定义知,①③中两向量不共线,可以作为基.课堂检测·素养达标2.如图所示,在矩形ABCD中,=5e1,=3e2,则等于 (

)A.(5e1+3e2)

B.(5e1-3e2)C.(3e2-5e1) D.(5e2-3e1)【解析】选A.(5e1+3e2).3.如图,将45°直角三角板和30°直角三角板拼在一起,其中45°直角三角板的斜边与30°直角三角板的30°角所对的直角边重合,若,则x=________,y=________.

【解析】过点B作BE⊥DC交DC的延长线于点E,过点A作AF⊥BE于点F,由∠ACD=45°,∠BCA=90°,得∠BCE=45°,则CE=BE.设CE=BE=mCD(m>0),则AF=ED=(m+1)CD,BF=BE-EF=(m-1)CD,AB=2AC=2CD.由AF2+BF2=AB2可得解得m=,故答案:

4.如图,已知△ABC中,D为BC的中点,E,F为BC的三等分点,若,用a,b表示【解析】

十八平面向量基本定理【基础通关——水平一】(15分钟30分)1.已知e1,e2是表示平面内所有向量的一组基,则下列四个向量中,不能作为一组基的是 (

)A.e1+e2和e1-e2

B.3e1-2e2和4e2-6e1C.e1+2e2和e2+2e1 D.e2和e1+e2【解析】选B.因为4e2-6e1=-2(3e1-2e2),所以3e1-2e2与4e2-6e1共线,所以它们不能作为一组基,作为基的两向量一定不共线.课时素养评价2.在四边形ABCD中,,则四边形ABCD的形状是

(

)A.长方形 B.平行四边形C.菱形 D.梯形【解析】选D.,故为梯形.3.设D,E,F分别是△ABC的三边BC,CA,AB上的点,且

(

)A.反向平行 B.同向平行C.互相垂直 D.既不平行也不垂直【解析】选A.如图,因为4.设e1,e2是平面内一组基向量,且a=e1+2e2,b=-e1+e2,则向量e1+e2可以表示为另一组基向量a,b的线性组合,即e1+e2=________a+________b.

【解析】由题意,设e1+e2=ma+nb.因为a=e1+2e2,b=-e1+e2,所以e1+e2=m(e1+2e2)+n(-e1+e2)=(m-n)e1+(2m+n)e2.由平面向量基本定理,得所以答案:

5.设e1,e2是不共线的非零向量,且a=e1-2e2,b=e1+3e2.(1)已知c=3e1+4e2,以a,b为基,表示向量c;(2)若4e1-3e2=λa+μb,求λ,μ的值.【解析】(1)设c=λa+μb,则3e1+4e2=λ(e1-2e2)+μ(e1+3e2)=(λ+μ)e1+(3μ-2λ)e2,所以解得所以c=a+2b.(2)4e1-3e2=λa+μb=λ(e1-2e2)+μ(e1+3