2023-2024学年北师大版必修第二册 平面向量及运算的坐标表示 课件（50张）

4.2平面向量及运算的坐标表示必备知识·自主学习1.平面向量的坐标在平面直角坐标系中,分别取与x轴、y轴方向相同的两个单位向量i,j作为标准正交基.对于平面内的任意向量a,以坐标原点O为起点作=a,有且只有一对实数x,y使得a=xi+yj,我们把实数对(x,y)叫作向量a的坐标,记作a=______.导思1.什么是平面向量的坐标?2.如何用坐标进行平面向量的线性运算?(x,y)2.平面向量的坐标运算文字符号加法两个向量和的坐标分别等于这两个向量相应坐标的和若a=(x1,y1),b=(x2,y2),则a+b=____________减法两个向量差的坐标分别等于这两个向量相应坐标的差若a=(x1,y1),b=(x2,y2),则a-b=____________数乘向量实数与向量积的坐标分别等于实数与向量的相应坐标的乘积若a=(x,y),λ∈R,则λa=__________重要结论一个向量的坐标等于其终点的相应坐标减去始点的相应坐标已知向量的起点A(x1,y1),终点B(x2,y2),则=____________(x1+x2,y1+y2)(x1-x2,y1-y2)(λx,λy)(x2-x1,y2-y1)【思考】符号(x,y)表示什么?提示:符号(x,y)在平面直角坐标系中有双重意义,它既可以表示一个固定的点,又可以表示一个向量.为了加以区分,在叙述中常说点(x,y)或向量的坐标为(x,y).3.向量平行的坐标表示设a,b是非零向量,且a=(x1,y1),b=(x2,y2).(1)当a∥b时,有__________.(2)当a∥b且b不平行于坐标轴,即x2≠0,y2≠0时,有_______.即若两个向量(与坐标轴不平行)平行,则它们相应的坐标成比例;若两个向量相对应的坐标成比例,则它们平行.x1y2-x2y1=0【思考】向量平行的坐标表示的依据是什么?提示:向量平行的坐标表示是根据共线向量基本定理推出的,当向量b=(x2,y2)的坐标满足x2y2≠0时,才有成立.对于任意两个向量a=(x1,y1),b=(x2,y2),有a∥b

⇔x1y2=x2y1,可简记为“纵横交错,积相等”.【基础小测】1.辨析记忆(对的打“√”,错的打“×”)(1)向量的坐标与向量的坐标相同; (

)(2)两个向量的终点不同,则这两个向量的坐标一定不同; (

)(3)两向量差的坐标与两向量的顺序无关; (

)(4)向量(2,3)与向量(-4,-6)反向. (

)提示:(1)×.向量与向量互为相反向量,所以它们的坐标不相同.(2)×.对于同一个向量,无论位置在哪里,坐标都一样.(3)×.根据两向量差的运算,两向量差的坐标与两向量的顺序有关.(4)√.因为(-4,-6)=-2(2,3),所以向量(2,3)与向量(-4,-6)反向.2.已知A(3,1),B(2,-1),则的坐标是 (

)A.(-2,-1)

B.(2,1)C.(1,2) D.(-1,-2)【解析】选C.=(3,1)-(2,-1)=(3-2,1+1)=(1,2).3.已知向量a=(-1,m),b=(-m,2m+3),且a∥b,则m等于 (

)A.-1 B.-2 C.-1或3 D.0或-2【解析】选C.由已知得-(2m+3)+m2=0,所以m=-1或m=3.4.设平面向量a=(3,5),b=(-2,1),则a-2b=______.

【解析】因为2b=2(-2,1)=(-4,2),所以a-2b=(3,5)-(-4,2)=(7,3).答案:(7,3)关键能力·合作学习类型一平面向量的坐标表示(直观想象,数学运算)【题组训练】1.已知向量=(3,-2),=(-5,-1),则向量的坐标是 (

)

C.(-8,1)

D.(8,1)2.已知向量=(5,12),将绕原点按逆时针方向旋转90°得到,则= (

)A.(-5,13) B.(-5,12)C.(-12,13) D.(-12,5)3.已知边长为2的正三角形ABC,顶点A在坐标原点,AB边在x轴上,C在第一象限,D为AC的中点,分别求向量的坐标.【解析】1.选A.=(-5,-1)-(3,-2)=(-8,1),所以

2.选D.向量=(5,12),将绕原点按逆时针方向旋转90°得到,则点B的坐标为(-12,5),如图所示,所以=(-12,5).3.如题图,正三角形ABC的边长为2,则顶点A(0,0),B(2,0),C(2cos60°,2sin60°),所以C(1,),,所以=(2,0),=(1,),【解题策略】求向量坐标的方法1.向量的坐标等于终点的坐标减去起点的相应坐标,只有当向量的起点在坐标原点时,向量的坐标才等于终点的坐标.2.求向量的坐标一般转化为求点的坐标,解题时常常结合几何图形,利用三角函数的定义和性质进行计算.【补偿训练】已知O为坐标原点,点A在第一象限,||=4,∠xOA=60°,则向量的坐标为________.

【解析】设点A(x,y),则x=||·cos60°=4cos60°=2,y=||sin60°=4sin60°=6,即A(2,6).所以=(2,6).答案:(2,6)类型二平面向量的坐标运算(数学运算)

角度1向量坐标运算的直接应用

【典例】若A,B,C三点的坐标分别为(2,-4),(0,6),(-8,10),求的坐标.【思路导引】先计算再进行向量的线性运算.【解析】因为=(-2,10),=(-8,4),=(-10,14),所以=(-2,10)+2(-8,4)=(-2,10)+(-16,8)=(-18,18),=(-8,4)-(-10,14)=(-8,4)-(-5,7)=(-3,-3).角度2利用向量的坐标运算求点或向量的坐标

【典例】如图,已知O是△ABC内一点,∠AOB=150°,∠BOC=90°,设且|a|=2,|b|=1,|c|=3,试用a,b表示c.【思路导引】建立恰当的平面直角坐标系,利用条件确定各点的坐标,即得向量a,b,c的坐标,由待定系数法表示.【解析】如图,以O为原点,为x轴的正方向建立平面直角坐标系.由三角函数的定义,得B(cos150°,sin150°),C(3cos240°,3sin240°),即又A(2,0),所以a=(2,0),设c=λ1a+λ2b(λ1，λ2∈R)，则所以解得故c=-3a-3b.【解题策略】向量坐标运算的关键点在直角坐标系内,用坐标表示平面向量.这里关键点有二:一是求点的坐标,它可以转化为该点相对于坐标原点的位置向量的坐标;二是求向量的坐标,可以首先求出这个向量的始点坐标和终点坐标,再运用终点坐标减去始点坐标得到该向量的坐标.向量的线性坐标运算可完全类比数的运算进行.【题组训练】1.已知平面向量a=(1,1),b=(1,-1),则向量= (

)A.(-2,-1)

B.(-2,1)

C.(-1,0)

D.(-1,2)【解析】选D.2.设向量a=(1,-3),b=(-2,4),若表示向量4a,3b-2a,c的有向线段首尾相接能构成三角形,则向量c等于 (

)A.(1,-1) B.(-1,1) C.(-4,6) D.(4,-6)【解析】选D.因为4a,3b-2a,c对应有向线段首尾相接,所以4a+3b-2a+c=0,故有c=-2a-3b=-2(1,-3)-3(-2,4)=(4,-6).3.在平行四边形ABCD中,AC为一条对角线,若=(2,4),=(1,3),则

=________.

【解析】

答案:(-3,-5)类型三向量平行的坐标表示(数学运算,逻辑推理)

角度1向量平行的判断

【典例】下列向量组中,能作为基的是 (

)A.e1=(0,0),e2=(1,-2)B.e1=(-1,2),e2=(5,7)C.e1=(3,5),e2=(6,10)D.e1=(2,-3),e2=

【思路导引】能作为基的向量不共线.【解析】选B.根据选项中各个向量的坐标,可判定A,C,D中的两向量对应坐标是成比例的,所以共线,不能作为基,对于B,由于,所以e1,e2不共线,可以作为基.角度2由向量共线求参数

【典例】已知a=(1,2),b=(-3,2),当k为何值时,ka+b与a-3b平行?平行时它们是同向还是反向?【思路导引】由向量a,b的坐标,求出ka+b与a-3b的坐标,由向量共线的条件列方程(组),求k的值.从而进一步判定向量是同向还是反向.【解析】ka+b=k(1,2)+(-3,2)=(k-3,2k+2),a-3b=(1,2)-3(-3,2)=(10,-4).方法一:当ka+b与a-3b平行时,存在唯一实数λ,使ka+b=λ(a-3b),则(k-3,2k+2)=λ(10,-4),所以解得k=λ=-.此时ka+b=-a+b=-(a-3b),所以ka+b与a-3b反向.方法二:因为ka+b与a-3b平行,所以(k-3)×(-4)-10(2k+2)=0,解得k=-.此时ka+b=,所以当k=-时,ka+b与a-3b平行,并且反向.角度3由向量共线求点的坐标

【典例】设梯形ABCD的其中3个顶点的坐标分别为A(-1,2),B(3,4),D(2,1),且AB∥DC,AB=2CD,求点C的坐标.【思路导引】将AB∥DC,AB=2CD转化为【解析】因为AB∥DC,AB=2CD,所以设C(x,y),则=(x,y)-(2,1)=(x-2,y-1).而=(3,4)-(-1,2)=(4,2),所以(4,2)=2(x-2,y-1),即解得所以点C的坐标为(4,2).【解题策略】由向量共线求参数的值的方法对于a∥b的充要条件,常有两种表达方式:(1)a∥b(b≠0)⇔a=λb(λ∈R);(2)设a=(x1,y1),b=(x2,y2),则a∥b⇔x1y2-x2y1=0.第(1)种是用线性关系的形式表示的,而且有前提条件b≠0,而第(2)种坐标形式则无b≠0限制.【题组训练】1.已知a=(1,2),b=(2,1-x),若a与b共线,则x等于 (

)A.-3

B.-4

C.2

D.0【解析】选A.a=(1,2),b=(2,1-x),若a与b共线,则1-x=2×2,解得x=-3.2.已知四边形ABCD的三个顶点A(0,2),B(-1,-2),C(3,1),且,则顶点D的坐标为 (

)A.

B.

C.(3,2)

D.(1,3)【解析】选A.=(3,1)-(-1,-2)=(4,3).设D(x,y),=(x,y)-(0,2)=(x,y-2).又因为,所以4=2x且3=2(y-2),解得x=2,y=,所以D.3.已知点A(1,3),B(4,-1),O为坐标原点,则与向量同方向的单位向量为________.

【解析】因为=(4,-1)-(1,3)=(3,-4),所以与同方向的单位向量为答案:

1.已知=(-2,4),则下面说法正确的是 (

)A.A点的坐标是(-2,4)B.B点的坐标是(-2,4)C.当B点是原点时,A点的坐标是(-2,4)D.当A点是原点时,B点的坐标是(-2,4)【解析】选D.由任一向量的坐标的定义可知,当A点是原点时,B点的坐标是(-2,4).课堂检测·素养达标2.下列各组向量共线的是 (

)A.a1=(-2,3),b1=(4,6)B.a2=(2,3),b2=(3,2)C.a3=(1,2),b3=(7,14)D.a4=(-3,2),b4=(6,4)【解析】选C.因为,所以a3∥b3,向量a3与b3共线.3.设向量a,b满足a=(1,-1),|b|=|a|,且b与a的方向相反,则b的坐标为________.

【解析】因为向量a与b的方向相反,且|b|=|a|,所以b=-a=-(1,-1)=(-1,1).答案:(-1,1)4.已知向量a=(,1),b=(0,-1),c=(k,),2a-b与c平行,则实数k=________.

【解析】因为a=(,1),b=(0,-1),所以2a-b=2(,1)-(0,-1)=(2,3).又因为c=(k,),2a-b与c平行,所以2×-3k=0,解得k=2.答案:2十九平面向量及运算的坐标表示【基础通关——水平一】(15分钟30分)1.已知向量=(2,4),=(0,2),则= (

)A.(-2,-2)

B.(2,2)C.(1,1) D.(-1,-1)【解析】选D.课时素养评价2.已知点A(1,1),B(4,2)和向量a=(2,λ),若a∥,则实数λ的值为(

)

【解析】选C.根据A,B两点的坐标,可得=(3,1),因为a∥,所以2×1-3λ=0,解得λ=.3.若A(2,-1),B(4,2),C(1,5),则=________.

【解析】因为A(2,-1),B(4,2),C(1,5),所以=(2,3),=(-3,3).所以

=(2,3)+2(-3,3)=(2,3)+(-6,6)=(-4,9).答案:(-4,9)4.已知A(1,2),B(4,5),若,则点P的坐标为________.

【解析】设P(x,y),则=(x-1,y-2),=(4-x,5-y),又,所以(x-1,y-2)=2(4-x,5-y),即得所以点P的坐标为(3,4).答案:(3,4)5.已知M(1,5),N(5,17),点P在直线MN上,且,求点P的坐标.【解析】设点P的坐标为(x,y),则=(x-1,y-5