2024届福建省福州第八中学高三上学期质检卷二数学试题（解析版）

试卷第=page11页，共=sectionpages33页第Page\*MergeFormat1页共NUMPAGES\*MergeFormat20页2024届福建省福州第八中学高三上学期质检卷二数学试题一、单选题1．若复数为纯虚数，则实数（）A． B． C．6 D．【答案】D【分析】利用复数的除法运算求出，再结合复数的概念求解作答.【详解】依题意，，因为复数是纯虚数，且，则且，解得，所以.故选：D2．已知集合，集合则（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根据正弦函数的性质结合分式不等式的求解即可得到答案.【详解】因为，则，所以因为，则，解得，所以，所以，故选：B.3．在跳水比赛中，有8名评委分别给出某选手原始分，在评定该选手的成绩时，从8个原始分中去掉1个最高分和1个最低分（最高分和最低分不相等），得到6个有效分，这6个有效分与8个原始分相比较，下列说法正确的是（

）A．中位数，平均分，方差均不变 B．中位数，平均分，方差均变小C．中位数不变，平均分可能不变，方差变小 D．中位数，平均分，方差都发生改变【答案】C【分析】根据题意结合中位数、平均数和方差的定义分析判断.【详解】不妨设原始分为，且，则其中位数为，则有效分为，则其中位数为，两者相等，所以中位数不变，例如：原始分为，则其平均数为2，则有效分为，则其平均数为2，两者相等，所以平均数可能不变，因为从8个原始分中去掉1个最高分和1个最低分（最高分和最低分不相等），得到6个有效分，即把波动最大的两个值去掉，则有效分比原始分更集中，波动性减小，根据方差的定义可知：有效分的方差小于原始分的方差，即方差变小.故选：C.4．已知圆，直线上动点，过点作圆的一条切线，切点为，则的最小值为（

）A．1 B． C． D．2【答案】C【分析】首先得出切线长的表达式，再以二次函数求值域的方法解之即可.【详解】圆：中，圆心，半径设，则，则,当时，，故选：C5．已知的顶点在抛物线上，若抛物线的焦点恰好是的重心，则的值为（

）A．3 B．4 C．5 D．6【答案】A【分析】易知焦点坐标，根据三角形重心性质以及抛物线焦半径公式可知.【详解】设，抛物线，则，焦点恰好是的重心，则，故．故选：A．6．已知数列的前项和为，若，，则有（

）A．为等差数列 B．为等比数列C．为等差数列 D．为等比数列【答案】D【分析】根据得到，即可判断AB选项；根据，得到即可判断CD选项.【详解】由题意，数列的前项和满足，当时，，两式相减，可得，可得，即，又由，当时，，所以，所以数列的通项公式为，故数列既不是等差数列也不是等比数列，所以AB错.当时，，又由时，，适合上式，所以数列的前项和为；又由，所以数列为公比为3的等比数列，故D正确，C错.故选：D.7．若，则当，1，2，…，100时（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】利用比大小的方法，即可求出k的值.【详解】解：由题意得：即，化简得：，又k为整数,可得,所以，故选：C．8．若两曲线y=x2-1与y=alnx-1存在公切线，则正实数a的取值范围为（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】分别求出导数，设出切点，得到切线方程，再由两点的斜率公式，结合切点满足曲线方程，运用导数求的单调区间、极值、最值即可得出a的取值范围.【详解】设切线：，即切线：，即，令在上单调递增，在上单调递减，所以故选：A．二、多选题9．已知平面向量，，则下列说法正确的是（

）A．B．在方向上的投影向量为C．与垂直的单位向量的坐标为D．若向量与向量共线，则【答案】AD【分析】根据向量的坐标运算求，，对于A：根据向量的夹角公式运算求解；对于B：根据投影向量的定义分析运算；对于C：根据向量垂直的坐标运算求解；对于D：根据向量共线的判定定理分析运算.【详解】由题意知，，对于选项A：，故A正确；对于选项B：在方向上的投影向量为，故B错误；对于选项C：设与垂直的单位向量的坐标为，可得，解得或，所以与垂直的单位向量的坐标为或，故C错误；对于选项D：因为向量与向量共线，所以若存在，使得，则，解得，故D正确．故选：AD.10．已知函数，则下列结论中正确的是（

）A．为函数的一个周期B．是曲线的一个对称中心C．若函数在区间,上单调递增，则实数的最大值为D．将函数的图象向右平移个单位长度后，得到一个偶函数的图象【答案】AD【分析】A根据是否成立判断；B整体法求函数零点横坐标即可判断；C由正弦函数性质求增区间，结合已知确定参数最大值；D由图象平移写出平移后的解析式，进而判断奇偶性.【详解】A：由已知得，所以为函数的一个周期，正确；B：令，解得，显然不是曲线的一个对称中心，错误；C：由，得，令得：，因为在区间,上单调递增，所以实数的最大值为，错误；D：将向右平移个单位长度后，得，因为，且的定义域为，所以函数为偶函数，正确．故选：AD11．如图，在正方体中，点在线段上运动，有下列判断，其中正确的是（

）A．平面平面B．平面C．异面直线与所成角的取值范围是D．三棱锥的体积不变【答案】ABD【分析】对于A，利用线面垂直的判定定理证得平面，从而利用面面垂直的判定定理即可判断；对于B，利用线面平行与面面平行的判定定理证得平面平面，从而得以判断；对于C，利用线线平行将异面直线与所成角转化为与所成的角，从而在等边中即可求得该角的范围，由此判断即可；对于D，先利用线线平行得到点到面平面的距离不变，再利用等体积法即可判断.【详解】对于A，连接，如图，因为在正方体中，平面，又平面，所以，因为在正方形中，又与为平面内的两条相交直线，所以平面，因为平面，所以，同理可得，因为与为平面内两条相交直线，可得平面，又平面，从而平面平面，故A正确；.

对于B，连接，，如图，因为，，所以四边形是平行四边形，所以，又平面，平面，所以平面，同理平面，又、为平面内两条相交直线，所以平面平面，因为平面，所以平面，故B正确；对于C，因为，所以与所成角即为与所成的角，因为，所以为等边三角形，当与线段的两端点重合时，与所成角取得最小值；当与线段的中点重合时，与所成角取得最大值；所以与所成角的范围是，故C错误；对于D，由选项B得平面，故上任意一点到平面的距离均相等，即点到面平面的距离不变，不妨设为，则，所以三棱锥的体积不变，故D正确．故选：ABD.【点睛】关键点睛：解答本题关键在于熟练掌握线面垂直与面面垂直的判定定理、线面平行与面面平行的判定定理，能够利用直线与直线、直线与平面、平面与平面关系的相互转化严密推理.12．函数与的定义域为，且，．若的图象关于点对称．则（

）A．的图象关于直线对称 B．C．的一个周期为4 D．的图象关于点对称【答案】AC【分析】对于A，利用题设条件得到即可判断；对于B，结合A中结论得到的一个周期为4即可判断；对于C，利用B中结论得到即可判断；对于D，取反例排除即可.【详解】对于A，由，得，又，所以，则的图象关于直线对称，选项A正确；对于B，由于的图象关于点对称，则，由选项A的结论可知，，则，所以，则，所以函数的一个周期为4，因为，所以，，即，所以，选项B错误；对于C，由，及，得，则函数的一个周期为4，选项C正确；对于D，取，，满足题设要求，但，与的图象关于点对称矛盾，则选项D错误．故选：AC．三、填空题13．已知，则的值为.【答案】【分析】根据三角函数的诱导公式和余弦的倍角公式求解.【详解】因为，所以，所以.故答案为：.14．若的二项展开式中的系数是，则实数的值是．【答案】2【分析】利用二项式展开式通项，结合对应项的值列方程求参数即可.【详解】题设二项式展开式通项为，，所以，即，故，则.故答案为：215．已知双曲线的左、右焦点分别为，P是C右支上一点，线段与C的左支交于点M．若，且，则的离心率为．【答案】【分析】根据题意和双曲线定义求得且，在中，利用余弦定理列出方程，化简得到，即可求得双曲线的离心率.【详解】因为点是右支上一点，线段与的左支交于点，且，，所以为等边三角形，所以由双曲线定义得，又由，解得，则且，在中，由余弦定理得，整理得，所以双曲线的离心率为.故答案为：.【点睛】求离心率是圆锥曲线一类常考题，也是一个重点、难点问题，求解椭圆或双曲线的离心率，一般有以下几种方法：①直接求出、，可计算出离心率；②构造、的齐次方程，求出离心率；③利用离心率的定义以及椭圆、双曲线的定义来求解．16．“数列”是每一项均为或的数列，在通信技术中应用广泛．设是一个“数列”，定义数列：数列中每个都变为“”，中每个都变为“”，所得到的新数列．例如数列，则数列．已知数列，且数列，，记数列的所有项之和为，则．【答案】【分析】设数列中，的个数为，的个数为，可利用表示出，两式分别作和、作差，结合等比数列通项公式可推导求得，从而得到，整理可得最终结果.【详解】设数列中，的个数为，的个数为，则，，两式相加得：，又，数列是以为首项，为公比的等比数列，；两式相减得：，又，数列是以为首项，为公比的等比数列，；，，，.故答案为：.【点睛】关键点点睛：本题求解的关键是能够根据所定义的变化规律，得到与所满足的递推关系，利用递推关系式证得数列和均为等比数列，从而推导得到的通项公式.四、解答题17．已知在中，角的对边分别为，为的面积，且.(1)求角的大小；(2)若与的内角平分线交于点，的外接圆半径为2，求周长的最大值.【答案】(1)(2)【分析】（1）利用三角形的面积公式以及同角三角函数关系式，求出tanC的值，即可得到答案（2）由已知利用正弦定理得，由题意可求，设，则，由正弦定理，三角函数恒等变换可求的周长为，利用正弦函数的性质即可求解其最大值．【详解】（1），，又，，，又，.（2）的外接圆半径为，由正弦定理，，，.，，与的内角平分线交于点，

，，设，则，且，在中，由正弦定理得，，，，的周长为，，，当，即时，的周长取得最大值，最大值为，故的周长的最大值为.18．已知数列是首项的等比数列，且是首项为的等差数列，.（1）求数列和的通项公式；（2）求数列的前项和.【答案】（1）；（2）.【分析】（1）由求出数列的公比，数列的公差，从而求出数列的通项公式；（2）根据（1）中求得的结果代入中，用错位相减法求出前项和.【详解】（1）设数列的公比为的公差为，则由已知条件得：，解之得：．（2）由（1）知①②①-②得：，，..19．如图，在四棱锥中，底面，底面是直角梯形，，，，是上的点.(1)若平面，求的值；(2)若是的中点，且二面角的余弦值为，求直线与平面所成角的正弦值.【答案】(1)(2)【分析】（1）连接，交于点，由线面平行性质可证得，又，由平行线分线段成比例可求得结果；（2）取中点，可证得四边形为矩形，则以坐标原点可建立空间直角坐标系，利用线面垂直的判定可证得平面，可知平面的一个法向量为；设，利用二面角的向量求法可构造方程求得；利用线面角的向量求法可求得结果.【详解】（1）连接，交于点，连接；平面，平面，平面平面，，；，，，，即的值为.（2）取中点，连接；，，四边形为平行四边形，，又，四边形为矩形，则，则以为坐标原点，正方向为轴，可建立如图所示空间直角坐标系，，，即；平面，平面，；平面，，平面；设，则，，，，，，，，设平面的法向量，则，令，则，，；又平面的一个法向量为，，解得：；，，，直线与平面所成角的正弦值为.20．根据社会人口学研究发现，一个家庭有个孩子的概率模型为：1230概率其中，.每个孩子的性别是男孩还是女孩的概率均为且相互独立，事件表示一个家庭有个孩子，事件表示一个家庭的男孩比女孩多（例如：一个家庭恰有一个男孩，则该家庭男孩多.）(1)为了调控未来人口结构，其中参数受到各种因素的影响（例如生育保险的增加，教育、医疗福利的增加等），是否存在的值使得，请说明理由.(2)若，求，并根据全概率公式，求.【答案】(1)不存在的值使得，理由见解析(2)，【分析】（1）由概率之和为1和期望公式得到方程组，联立得到，令，，求导得到其单调性和极值，最值情况，从而得到答案；（2）由和求出，并用全概率公式求出.【详解】（1）不存在的值使得，理由如下：由题意得，①，且②，由②得到，将其代入①，整理得到，令，，则，当时，，单调递减，当时，，单调递增，故在处取得极小值，也是最小值，又，故无解，所以不存在的值使得（2）若，则，解得，，，，由全概率公式可得，因为，，所以.21．已知点，点是圆：上任意一点，线段的垂直平分线交于点，点的轨迹记为曲线．（1）求曲线的方程；（2）过的直线交曲线于不同的，两点，交轴于点，已知，，求的值．【答案】（1）；（2）．【分析】（1）根据垂直平分线的性质及几何关系，结合椭圆的定义，求得曲线的方程；（2）过的直线斜率为0时，直接求出，可得，斜率不为0时可设为，，再联立方程组，运用根与系数的关系，化简向量式并表示出，化简可得.【详解】解：（1）由题意知，，故由椭圆定义知，点的轨迹是以点，为焦点，长轴为6，焦距为4的椭圆，从而长半轴长为，短半轴长为，∴曲线的方程为：．（2）由题意知，若直线恰好过原点，则，，，∴，，则，，，则，∴．若直线不过原点，设直线：，，，，．则，，，，由，得，从而；由，得，从而；故．联立方程组得：整理得，∴，，∴．综上所述，．【点睛】本题考查了椭圆的定义，直线与椭圆的位置关系，向量共线的坐标表示，椭圆中的定值问题，还考查了设而不解，联立方程组，