专题11集合的概念2

集合的概念集合的概念知识点一集合的概念知识点一集合的概念1.含义：一般地，我们把所研究对象统称为元素，把一些元素组成的总体叫做集合(简称为集)．2.集合相等：只要构成两个集合的元素是一样的，即这两个集合中的元素完全相同，就称这两个集合相等．3.元素和集合的字母表示：知识点知识点二集合中元素的性质(1)确定性：指的是作为一个集合中的元素，必须是确定的，即一个集合一旦确定，某一个元素属于或不属于这个集合是确定的，要么是该集合中的元素，要么不是，二者必居其一．(2)互异性：集合中的元素必须是互异的，就是说，对于一个给定的集合，它的任何两个元素都是不同的．(3)无序性：集合中的元素是没有顺序的，比如集合{1,2,3}与{2,3,1}表示同一集合．知识点知识点三元素与集合的关系关系概念记法读法属于如果a是集合A中的元素，就说a属于集合Aa∈Aa属于集合A不属于如果a不是集合A中的元素，就说a不属于集合Aa∉Aa不属于集合A知识点知识点四集合的表示法1.自然语言表示法：用文字语言形式来表示集合的方法．例如：小于3的实数组成的集合．2.列举法：把集合的元素一一列举出来，并用花括号“{}”括起来表示集合的方法叫做列举法．3.描述法：设A是一个集合，我们把集合A中所有具有共同特征P（x）的元素x所组成的集合表示成.这种表示集合的方法称为描述法.知识点知识点五五个特定的数集及其关系N*或N＋表示正整数集，N表示自然数集，Z表示整数集，Q表示有理数集，R表示实数集．知识点知识点六集合的分类有限集：无限集：数集：点集：考点01集合的概念【典例1】（2023·江苏·高一假期作业）判断下列每组对象，能组成一个集合的是（）A．某校高一年级成绩优秀的学生B．直角坐标系中横、纵坐标相等的点C．不小于3的自然数D．2022年第24届冬季奥运会金牌获得者【答案】BCD【分析】判断是否满足集合三要素中的确定性，得到答案.【详解】A中“成绩优秀”没有明确的标准，所以不能组成一个集合；B、C、D中的对象都满足确定性，所以能组成集合．故选：BCD【典例2】（2023·江苏·高一假期作业）现有以下说法，其中正确的是（）A．接近于0的数的全体构成一个集合B．正方体的全体构成一个集合C．未来世界的高科技产品构成一个集合D．不大于3的所有自然数构成一个集合【答案】BD【分析】判断是否满足构成集合的元素的确定性，得到答案.【详解】“接近于”，“高科技产品”不满足确定性，故A、C不符合集合中元素的确定性，B、D具有确定性．故选：BD【总结提升】判断一组对象能否构成集合的关键在于看是否有明确的判断标准，使给定的对象是“确定无疑”的还是“模棱两可”的．如果是“确定无疑”的，就可以构成集合；如果是“模棱两可”的，就不能构成集合．考点02集合的表示方法【典例3】（2023春·广西北海·高二统考期末）用列举法可将集合表示为（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】列举出集合中的元素，结合集合的列举法，即可求解.【详解】.集合表示为.故选：D.【典例4】（2023春·辽宁阜新·高一校考期中）集合还可以表示为（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】由集合中的元素的范围和所需满足的条件确定集合中的元素，再利用列举法表示该集合.【详解】集合的元素为小于等于3的全部自然数，故；故选：A.【典例5】（2023春·辽宁沈阳·高二校联考期末）方程的解集为.【答案】【分析】根据题意，化简方程为，进而求得方程的解.【详解】由方程，所以或或，故该方程的解集为.故答案为：.【规律方法】1．用列举法表示集合，要注意是数集还是点集．2．列举法适合表示有限集，当集合中元素个数较少时，用列举法表示集合比较方便，且使人一目了然．因此，集合是有限集还是无限集，是选择恰当的表示方法的关键．3．用描述法表示相应集合时，首先明确代表元素是点集还是数集，在此基础上，结合描述的定义给出集合的表示．4．用描述法表示集合时，其代表元素的范围务必明确，如果省略不写，则默认为x∈R.考点03判断元素与集合的关系【典例6】（2022秋·甘肃临夏·高一校考期中）下列表述正确的是（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】根据元素和集合的关系判断即可.【详解】对于A：，故A正确；对于B：，故B错误；对于C：，故C错误；对于D：，故D错误；故选：A【典例7】（2021秋·高一课时练习）已知a、b、c为非零实数，记代数式的值所组成的集合为M，则下列判断中正确的是（

）A．0M B．-4M C．2∈M D．4∈M【答案】D【分析】对a，b，c分类讨论求出原代数式所有可能得值即可.【详解】令，若全为正数，则；若全为负数，则，若中有2个正数一个负数，则，若中有2个负数，1个正数，则，；故选：D.【典例8】（2022秋·江西南昌·高一统考期中）已知集合，则下列选项中正确的是（

）A． B．C． D．【答案】ACD【分析】根据已知集合逐个分析判断【详解】对于A，，所以A正确，对于B，，所以B错误，对于C，，所以C正确，对于D，，所以D正确，故选：ACD【总结提升】1．对于正整数集、自然数集、整数集、有理数集、实数集，在数学上分别用N＋，N，Z，Q，R来表示，这些符号是我们学习高中数学的基础，它大大简化了数集的表示方法，应当熟练掌握．2．判断一个元素是不是某个集合的元素，关键是判断这个元素是否具有这个集合的元素的共同特征．考点04确定集合中元素的个数【典例9】（2023秋·江西南昌·高一统考期末）已知集合，则中元素的个数为（

）A．0 B．1 C．2 D．3【答案】D【分析】由条件用列举法表示可得结论.【详解】因为，所以，故集合中元素的个数为3，故选：D.【典例10】（2023·江苏·高一假期作业）对于、，规定，集合，则中元素的个数为（）A． B．C． D．【答案】C【分析】分、的奇偶性相同和奇偶性不同两种情况讨论，列举出满足条件的元素，即可得出集合的元素个数.【详解】分、的奇偶性相同和奇偶性不同两种情况讨论：①如果、的奇偶性相同，且、，此时，可为：、、、、、、、、、、，共个；②如果、的奇偶性不同，且、，此时，可为：、、、，共个.因此，集合的元素个数为个.故选：C.【典例11】（2023·江苏·高一假期作业）集合，则M中元素的个数为.【答案】5【分析】解不等式求出，得到答案.【详解】∵，∴.又，∴，所以M中元素的个数为5.故答案为：5【总结提升】判断集合中的元素个数时，要注意相同的对象归入同一集合时只能算作一个，即集合中的元素满足互异性．考点05集合的相等及应用【典例12】（2021·江苏省天一中学高三三模）设，则集合，若，则（）A． B． C． D．【答案】C【解析】由集合的描述写出集合，根据求，进而可求.【详解】由题意，得，∵，∴仅当时符合题意，故.故选：C.【典例13】【多选题】（2022秋·陕西商洛·高一校考期中）集合，集合A还可以表示为（

）A． B．C． D．【答案】BCD【分析】用列举法表示集合及各选项的集合，对比即可得出答案.【详解】，选项A，不符合；选项B，，符合；选项C，符合；选项D，，符合，故选：BCD.【典例14】（2021秋·高一课时练习）含有三个实数的集合既可表示为，也可表示为，则的值为．【答案】0【分析】根据集合相等和元素的互异性，即可求解得值，得到答案.【详解】由题意，可得，根据集合相等和元素的互异性，可得且，解得，此时集合所以.故答案为.【总结提升】利用集合相等的条件，合理应用元素的互异性求解是解答的关键考点06由集合中元素的互异性求参数【典例15】（2023春·天津北辰·高一校考阶段练习）已知，求实数x的值．【答案】【分析】根据集合元素的互异性，以及元素与集合的关系，建立方程，可得答案.【详解】由题意可知：，，令，解得；令，解得或，不符合题意.故答案为：.【典例16】（2023·高一课时练习）若，则a的值为.【答案】【分析】集合中的元素依次取，求出a值，利用集合元素的性质验证作答.【详解】因为，则当，即，此时，矛盾，若，解得，此时，，符合题意，即，而，即，所以a的值为.故答案为：【总结提升】与集合元素有关问题的思路：（1）确定集合的元素是什么，即确定这个集合是数集还是点集．（2）看这些元素满足什么限制条件．（3）根据限制条件列式求参数的值或确定集合元素的个数，但要注意检验集合是否满足元素的互异性考点07根据集合中元素的个数求参数【典例17】（2023·高一课时练习）由，，3组成的一个集合A，若A中元素个数不是2，则实数a的取值可以是（

）A． B．1 C． D．2【答案】D【分析】由题意判断集合的元素个数，根据集合元素的互异性，可求得a的不可能取值，即得答案.【详解】由题意由，，3组成的一个集合A，A中元素个数不是2，因为无解，故由，，3组成的集合A的元素个数为3，故，即，即a可取2，即A，B，C错误，D正确，故选：D【典例18】（2023秋·高一课时练习）如果集合至多有一个元素，求实数的取值范围.【答案】【分析】讨论、，结合集合元素个数及一元二次方程判别式求参数范围.【详解】若，此时，符合题意；若，要使集合至多有一个元素，则，故，综上，.考点08常用数集之间的关系及应用【典例19】【多选题】（2023·江苏·高一假期作业）下列说法正确的是（

）A．中最小的数是1 B．若，则C．若，则最小值是2 D．的实数解组成的集合中含有2个元素【答案】AC【分析】根据所表示的集合可以判断A,B,C，再根据集合的定义可以判断D.【详解】因为表示正整数集，容易判断A,C正确；对B，若，则满足，但，B错误；对D，的解集为{2}，D错误.故选：AC.【典例20】【多选题】（2023·江苏·高一假期作业）下列说法正确的有（）A．N与N*是同一个集合B．N中的元素都是Z中的元素C．Q中的元素都是Z中的元素D．Q中的元素都是R中的元素【答案】BD【分析】根据常用数集表示的含义，即可根据选项逐一判断.【详解】因为N*表示正整数集，N表示自然数集，不是同一个集合，Z表示整数集，Q表示有理数集，R表示实数集，所以A、C中的说法不正确，B、D中的说法正确．故选：BD.1．（2018·全国·高考真题）已知集合，则中元素的个数为（

）A．9 B．8 C．5 D．4【答案】A【分析】根据枚举法，确定圆及其内部整点个数.【详解】当时，；当时，；当时，；所以共有9个，故选：A.2．（2013·山东·高考真题）设集合,则集合中元素的个数是A． B． C． D．【答案】C【详解】∵A={0，1，2}，B={x﹣y|x∈A，y∈A}，∴当x=0，y分别取0，1，2时，x﹣y的值分别为0，﹣1，﹣2；当x=1，y分别取0，1，2时，x﹣y的值分别为1，0，﹣1；当x=2，y分别取0，1，2时，x﹣y的值分别为2，1，0；∴B={﹣2，﹣1，0，1，2}，∴集合B={x﹣y|x∈A，y∈A}中元素的个数是5个．故选C．3．（2013·全国·高考真题）设集合，，，则M中元素的个数为（）A．3 B．4 C．5 D．6【答案】B【详解】由题意知，，则x的可能取值为5,6,7,8.因此集合M共有4个元素，故选B.一、单选题1．（2022春·湖南长沙·高一浏阳市第六中学校考开学考试）集合,等于（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】解不等式即可求得集合中的元素．【详解】由，可得，又，所以集合,．故选：C．2．（2023·高一课时练习）若集合，则N中元素的个数为（

）A．3 B．6 C．9 D．10【答案】C【分析】根据集合中元素的特征即可列举求解.【详解】由可知集合,故共有9个元素，故选：C3．（2023·全国·高一假期作业）设集合，若，则实数m=（

）A．0 B． C．0或 D．0或1【答案】C【分析】根据元素与集合的关系，分别讨论和两种情况，求解并检验集合的互异性，可得到答案.【详解】设集合，若，，或，当时，，此时；当时，，此时；所以或.故选：C二、多选题4．（2023秋·高一单元测试）设集合，且，则x的值可以为（

）A．3 B． C．5 D．【答案】BC【分析】根据元素与集合的关系运算求解，注意检验，保证集合的互异性.【详解】∵，则有：若，则，此时，不符合题意，故舍去；若，则或，当时，，符合题意；当时，，符合题意；综上所述：或.故选：BC.三、填空题5.（2023·江苏·高一假期作业）已知集合A含有两个元素a和a2，若2∈A，则实数a的值为．【答案】或【分析】根据元素与集合间的关系即可求解.【详解】因为2∈A，所以或，即或.故答案为：或6．（2021·高一课时练习）若，且，则．【答案】1【分析】根据自然数集的概念即可求出结果.【详解】因为，且，则，故答案为：1.7．（2023·上海·高三统考学业考试）“notebooks”中的字母构成一个集合，该集合中的元素个数是【答案】7【分析】根据集合中元素的互异性知集合中不能出现相同的元素.【详解】根据集合中元素的互异性，“notebooks”中的不同字母为“n，o，t，e，b，k，s”，共7个，故该集合中的元素个数是7；故答案为：7.8.（2021秋·高一课时练习）设A＝{4，a}，B＝{2，ab}，若A与B的元素