广东省湛江市2021-2022学年高一下学期期末数学试题

试卷第=page11页，共=sectionpages33页试卷第=page11页，共=sectionpages33页广东省湛江市2021-2022学年高一下学期期末数学试题第I卷（选择题）请点击修改第I卷的文字说明评卷人得分一、单选题1．某学校有高中学生2000人，其中高一年级、高二年级、高三年级的人数分别为700，660，640.为调查学生参加“社区志愿服务”的意向，现采用分层抽样的方法从中抽取一个容量为100的样本，那么应抽取高二年级学生的人数为（

）A．32 B．33 C．64 D．662．已知集合，，则集合（

）A． B． C． D．3．若直线l与平面α相交，则()A．平面α内存在直线与l异面B．平面α内存在唯一一条直线与l平行C．平面α内存在唯一一条直线与l垂直D．平面α内的直线与l都相交4．复数（是虚数单位），则在复平面内对应的点位于（

）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限5．在中，已知，则（

）A．3 B．2 C． D．6．在中，内角所对的边分别是，“”是“”的A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件C．充分必要条件 D．既不充分又不必要条件7．设，，，，则这四个数的大小关系是（

）A． B． C． D．8．如图，角的始边与轴的非负半轴重合，终边与单位圆交于点，角的始边与角的始边重合，且终边与单位圆交于点，记.若角为锐角，则的取值范围是（

）A． B．C． D．评卷人得分二、多选题9．下列函数为偶函数且在上是增函数的是（

）A． B．C． D．10．下列各式中，值为的是（

）A． B．C． D．11．已知向量，，，则下列结论正确的有（

）A． B．若，则C．的最大值为2 D．的最小值为12．如图，正方体的棱长为1，线段上有两个动点，，且，则下列结论中正确的是（

）A．B．平面C．三棱锥的体积为定值D．的面积与的面积相等第II卷（非选择题）请点击修改第II卷的文字说明评卷人得分三、填空题13．若，则_________.14．从3名男同学和2名女同学中任选2名同学参加志愿者服务，则选出的2名同学中至少有1名女同学的概率是_____.15．已知，，是单位圆上的三点，且，则_________.16．对实数、定义一个运算：，设函数（），若函数的图象与轴恰有两个公共点，则实数的取值范围是__________．评卷人得分四、解答题17．已知向量，，，.(1)若与共线，求实数；(2)求的最小值及相应的值.18．已知.(1)化简并求函数图象的对称轴方程；(2)当时，求函数的最大值和最小值.19．移动支付为人民群众的生活带来极大的方便.为了解某地区居民移动支付的使用情况，随机调查了该地区100名居民在一星期内使用移动支付的相关情况，列表如下：支付次数人数302510已知这100名居民中一星期内使用移动支付次数超过30次的占55%.(1)求，的值；(2)估计该地区居民在一星期内使用移动支付次数超过45次的概率.20．在中，内角A，，所对的边分别是，，，记的面积为S.已知_________.从①，②，③三个条件中选择一个填在上面的横线上，并解答下列问题.（注：如果选择多个条件分别解答，则按第一个解答计分）(1)求角A的大小；(2)若边长，求的周长的取值范围.21．四棱锥的侧面是等边三角形，平面，平面，，，是棱的中点.(1)证明：平面；(2)求四棱锥的体积.22．已知函数.其中，且.(1)求函数的单调区间；(2)求函数在上的最小值.答案第=page11页，共=sectionpages22页答案第=page11页，共=sectionpages22页参考答案：1．B【解析】【分析】根据分层抽样的定义求出在各层中的抽样比，即样本容量比上总体容量，按此比例求出在各年级中抽取的人数.【详解】解：根据题意得，用分层抽样在各层中的抽样比为，则高二年级抽取的人数是人，故选:B．2．C【解析】【分析】求出集合、，利用交集的定义即可求解.【详解】解：，，所以，.故选：C.3．A【解析】【详解】当直线l与平面α相交时，这条直线与该平面内任意一条不过交点的直线均为异面直线，故A正确；该平面内不存在与直线l平行的直线，故B错误；该平面内有无数条直线与直线l垂直，所以C错误，平面α内的直线与l可能异面，故D错误，故选A.4．A【解析】【分析】化简复数，再求复数对应复平面的点所在的象限.【详解】，则在复平面内对应的点是，位于第一象限.故选：A【点睛】本题考查复数的除法计算，以及复数的几何意义，属于基础题型.5．B【解析】【分析】直接由正弦定理即可得到答案【详解】由正弦定理，得．故选：B6．C【解析】【详解】由，则，据正弦定理知，；由，据正弦定理，则，得，所以是的充分必要条件．故本题答案选.7．B【解析】【分析】利用同底的对数函数单调性及指数函数性质比较出大小关系即可.【详解】解：∵，∴，又，∴，故.故选：B.8．D【解析】【分析】根据三角函数的定义，可得表达式，根据两角和的正弦公式、辅助角公式，可得的解析式，根据的范围，结合正弦函数的性质，即可得答案.【详解】由题意得，，所以，因为，所以，则.所以的取值范围是.故选：D.9．AD【解析】【分析】根据各函数的性质直接判断即可【详解】对A，为偶函数且在上是增函数，故A正确；对B，为偶函数且在上是减函数，故B错误；对C，不为偶函数，故C错误；对D，为偶函数且在上是增函数，故D正确故选：AD10．BC【解析】【分析】根据二倍角的正弦公式、余弦公式，两角差的正切公式，逐一化简计算，即可得答案.【详解】对于A：，故A错误对于B：，故B正确对于C：，故C正确；对于D：，故D错误；故选：BC11．ABC【解析】【分析】先利用平面向量的基本运算得到三角关系，再利用三角函数运算逐一判断即可.【详解】对于A，，A正确；对于B，若，则，，又，故，B正确；对于C，，，，所以当时最大值为2，C正确；对于D，因为，所以，则，当时，，D错误.故选：ABC.12．BC【解析】【分析】证明平面，可判断A选项的正误；利用面面平行的性质可判断B选项的正误；利用锥体的体积公式可判断C选项的正误；利用三角形的面积公式可判断D选项的正误.【详解】对于A选项，连接、，因为四边形为正方形，则，平面，平面，，，所以，平面，因为平面，平面,平面平面因此，不垂直，A选项错误；对于B选项，因为平面平面，平面，故平面，B选项正确；对于C选项，因为的面积为，点到平面的距离为定值，故三棱锥的体积为定值，C选项正确；对于D选项，设，取的中点，连接、，由A选项可知，平面，即平面，平面，则，因为且，故四边形为平行四边形，则且，因为、分别为、的中点，故且，所以，四边形为平行四边形，平面，平面，所以，，故四边形为矩形，所以，，，所以，平面，平面，，，所以，，D选项错误.故选：BC.13．##-1.5【解析】【分析】根据所给解析式，代入数据，即可得答案.【详解】由题意得.故答案为：14．.【解析】【分析】先求事件的总数，再求选出的2名同学中至少有1名女同学的事件数，最后根据古典概型的概率计算公式得出答案.【详解】从3名男同学和2名女同学中任选2名同学参加志愿服务，共有种情况.若选出的2名学生恰有1名女生，有种情况，若选出的2名学生都是女生，有种情况，所以所求的概率为.【点睛】计数原理是高考考查的重点内容，考查的形式有两种，一是独立考查，二是与古典概型结合考查，由于古典概型概率的计算比较明确，所以，计算正确基本事件总数是解题的重要一环.在处理问题的过程中，应注意审清题意，明确“分类”“分步”，根据顺序有无，明确“排列”“组合”.15．##【解析】【分析】根据两边平方化简可得，从而，【详解】因为，故，解得，又，故.故均为边长为1的正三角形.所以故答案为：16．【解析】【详解】由可得：，则：.据此有：.当时，x-x2=-2,当时，.函数y=f(x)-c的图象与x轴恰有两个公共点等价于函数y=f(x)与y=c的图象有两个交点.如图所示：函数y=c在和之间及y=-2以下与函数f(x)有两个交点.据此可得：实数的取值范围是点睛：本题的核心是考查函数零点的求解与判断方法：(1)直接求零点：令f(x)＝0，如果能求出解，则有几个解就有几个零点．(2)零点存在性定理：利用定理不仅要函数在区间[a，b]上是连续不断的曲线，且f(a)·f(b)＜0，还必须结合函数的图象与性质(如单调性、奇偶性)才能确定函数有多少个零点．(3)利用图象交点的个数：将函数变形为两个函数的差，画两个函数的图象，看其交点的横坐标有几个不同的值，就有几个不同的零点．17．(1)(2)当时取等号，取最小值为【解析】【分析】（1）利用向量共线定理可得关于的方程，解出即得值；（2）利用求模公式表示出，根据二次函数的性质可得其最小值及相应的值即可；(1)∵，又与共线，，∴，解得.(2)由题意，，∴，当且仅当时取等号，取最小值为18．(1)，；(2)最大值为1，最小值为.【解析】【分析】（1）利用三角函数诱导公式及辅助角公式即可化简，利用正弦函数的对称轴即可求解对称轴方程；（2）根据（1）的结果，整体带入求解正弦型函数的值域即可.(1)解:,令，得，所以函数图象的对称轴方程为：.(2)解：由（1）得，因为，故，所以，所以，所以当时，函数的最大值为1，最小值为.19．(1)；(2)【解析】【分析】（1）根据题意结合列表即可求解，的值；（2）结合列表可得100名居民中一星期内使用移动支付次数超过45次的人数为30人，利用古典概型的概率公式即可求解.(1)解：由题意，一星期内使用移动支付次数超过30次的人数为人，故，解得，又，解得，故.(2)解：由题可知，100名居民中一星期内使用移动支付次数超过45次的人数为30人，故该地区居民在一星期内使用移动支付次数超过45次的概率为.20．(1)无论选择①②③，；(2)【解析】【分析】（1）若选①，由正弦定理边化角可得，整理可得，根据A的范围，可求得角A；若选②，正弦定理边化角，结合两角和的正弦公式，可得整理可得，根据A的范围，可求得角A；若选③，根据余弦定理、面积公式，代入化简可得根据A的范围，可求得角A；（2）根据（1）及正弦定理可得，根据两角和的正弦公式、辅助角公式，整理可得，根据角B的范围及正弦函数的性质，即可得答案.(1)若选①，由正弦定理边化角可得，因为，所以，所以，解得；若选②，由正弦定理边化角可得，所以，所以，因为，，所以，解得；若选③，由余弦定理可得，所以，所以，所以因为，所以(2)由（1）得，由正弦定理得，所以，因为，所以，当时，有最大值为4，所以，所以的周长的取值范围为21．(1)证明见解析(2)【解析】【分析】（1）取中点，连接，根据中位线的性质证明得到平行四边形，进而得到平面；（2）取中点，连接，易得平面，进而求得四棱锥的体积即可(1)取中点，连接，由中位线性质可得，又平面，平面，故.又，，故.所以平行四边形，所以.因为平面，平面，故平面；(2)取中点，连接，因为平面，平面，故，又等边三角形，故，且.又，故平面，所以四棱锥的体积22．(1)函数的单调递增区间为，，单调递减区间为；(2)当时，；当时，.【解析】【分析