基于随机共振的混沌振子和差分振子的原理和应用

基于随机共振的混沌振子和差分振子的原理和应用

随机共振检测机电设备早期故障的微弱信号检测一直是故障诊断领域的研究热点。目前,微弱信号检测方法主要集中于两个方面:一是利用现代信号处理方法对噪声进行抑制或消除,当噪声频率与信号频率相等或接近时,该类方法在抑制噪声的同时,亦不可避免地损伤到有用信号,极大地影响了微弱信号检测的效果;二是利用一些非线性系统自身的特性对微弱信号进行检测,常用的非线性方法有随机共振、混沌振子和差分振子等。随机共振系统结构参数严重影响着输出结果,如何自适应选择系统参数以达到最优输出,始终是困扰各种随机共振算法的难题。文献提出了以待检测频率达到最大值为最终判据的自适应扫频随机共振法,文献提出了以近似熵为信号复杂性判据的自适应随机共振法。这两种方法均是以不断调整系统参数为前提的,严重影响了算法的求解速度。混沌振子以输出相图的显著变化来检测微弱信号,李崇晟采用符号序列统计量来识别振子的状态变化,李月以系统输出周期解的平均面积为判据实现了微弱信号的定量检测,这两种方法在一定程度上达到了客观、自动识别振子状态的目的。李楠等人将差分振子用于同步发电机转子匝间短路故障检测,验证了方法的有效性,但在信号幅值检测方面缺少分析和探讨。本文另辟蹊径,提出了并联随机共振的思想,设法从相同数据不同参数随机共振输出结果中提取相同的信号成分,同时提出了利用Hu氏不变矩对混沌振子状态进行自动识别及定量表征,探讨了差分振子相图的大小与待检测信号幅值之间的关系,取得了一些有益的结果,最终将三种方法应用于工业现场机电设备早期故障的微弱特征提取中,取得了较好的效果。1信号的低频特性工程实测的振动信号中,低频成分承载着反映设备运行状态的信息。但在实测信号的频谱中,信号的低频成分常常被强大的背景噪声所淹没难以识别。随机共振法将高频部分的能量转移到低频部分以达到信噪比增强的目的。1.1双势由初始状态决定随机共振的数学模型是一个双稳态系统,可以用Langevin方程来描述x′=-V′(x)+u(t)+n(t)(1)其中V(x)为对称双势阱函数V(x)=a2x2-b4x4(2)式中a,b为非线性系统的结构参数,对称双势阱的位置为x=±√a/b,势垒高度ΔV=a2/(4b)。u(t)=Asin(2πf0t)为周期正弦信号,A为幅值。n(t)为白噪声,且满足E[n(t)]=0,E[n(t)n(t-τ)]=2Dδ(τ),D表示其噪声强度。式(1)描述了一个质点的布朗运动。在没有周期信号和噪声的作用时,质点处于两个势阱的任意一个势阱中,由初始状态决定。在周期信号的作用下,质点在势阱中以ω=2πf0的频率运动,只要A小于临界值Ac(Ac=√4a3/27b),质点只能做局部周期性的运动。然而,当引入噪声时,即使A<Ac,质点也可以从一个势阱跃入到另一个势阱,即出现随机共振现象。1.2相同信号频率成分随机共振的参数设置对随机共振输出的影响很大,是应用随机共振进行检测的关键。对于同一组输入信号,当系统结构参数不同时,双稳态系统的输出亦有较大差别,但这些输出中均不同程度地实现了高频噪声能量向低频有效信号的转移,并包含着相同的信号频率成分,从而提供了从不同输出结果中提取相同信号成分的可能。基于此,本文提出了并联随机共振的方法。并联随机共振不需要对待检测信号的性质进行研究,而是从多个随机共振的输出结果中提取待检测信号特征。其基本原理原理如图1所示。图1中,输入信号为同一组带有强噪声的微弱待检测信号,随机共振1和随机共振2为具有不同系统参数的两个随机共振双稳系统,同一输入信号经过两个不同的随机共振系统之后,其输出信号亦有所不同,但均包含了相同的有效信号频率成分,只需从中提取相同的信号成分即可。鉴于互相关分析原理简单,物理意义明确,本文采用互相关分析来提取两个不同随机共振输出结果中的相同信号频率成分,从而实现微弱信号的并联随机共振检测。1.3轴承保持架故障的早期预警2008年9月18日,某冶金企业在对第9架棒材轧机检修时发现:该轧机Ⅰ轴轴承保持架断裂,滚动体严重变形、Ⅱ轴齿轮轻微打齿。分析该事故的原因,是因为Ⅰ轴轴承损坏,导致Ⅰ轴发生轴向窜动,进而导致Ⅰ轴与Ⅱ轴的啮合齿轮出现打齿故障。为检测本方法的有效性,现提取在线监测系统9月4日保存的振动加速度信号(即故障发生前14天左右的振动信号),利用并联随机共振方法进行微弱信号的检测,期望今后能实现早期故障的预警。当时该轧机驱动电机的转速为1022r/min,轴承型号为HM926747,依据设备传动链及故障诊断原理可计算轴承保持架的故障特征频率理论值为7.317Hz。振动信号的采样频率为4000Hz,采样点数为2048。信号的时域波形及其幅值谱如图2所示。图2中的时域波形较为平稳,幅值谱中高频成分较为突出但低频分量几乎被噪声完全淹没,无法直接找到轴承的故障特征频率。对原始振动信号先进行Hilbert包络解调预处理,然后再分别输入传统随机共振和并联随机共振,得到如图3所示结果。从图3(a)和3(c)中可以看出,传统随机共振输出信号的幅值谱中只能找到21.48Hz的频率成分,大约是保持架故障特征频率7.317Hz的3倍频左右,不能够确定该轴承保持架是否发生了故障。图3(b)和(d)为并联随机共振输出结果的幅值谱,7.813,15.63,21.48Hz的频率成分较为突出,其中7.813Hz与理论计算值7.317Hz相接近,而15.63,21.48Hz的频率分别与理论计算值的2倍频和3倍频相接近,因此可以确定该轴承保持架出现了故障。从上述案例可以看出,随机共振参数设置对系统的输出有着重要的影响,并联随机共振可以在一定程度上减小这种影响,对微弱信号的检测更为有效。2混沌系统噪声的免疫特性利用混沌振子检测微弱信号主要基于混沌系统的两个基本特性:一是混沌系统对噪声的免疫特性,即噪声对混沌振子相图状态的变化影响很小;二是混沌系统对初始值的敏感性,即混沌振子初始值的微小扰动会引起混沌振子相图状态的显著变化。2.1混沌振子检测混沌振子采用Holmes型Duffing方程作为检测器,其形式如下x″(t)+cx′(t)-x(t)+x3(t)=fcos(ωt)(3)式中c为阻尼比,-x(t)+x3(t)为非线性恢复力,fcos(ωt)为周期驱动力。为了检测任意的周期信号,令t=ωτ,代入式(3)中(转换后用t代替τ),则得到如下的状态方程{x′=ω0yy′=ω0(-cy+x-x3+F0cos(ω0t))(4)当加入被测微弱周期信号和外部噪声后,式(4)变为{˙x=ω0y˙y=ω0(-cy+x-x3+F0cos(ω0t)+F1cos(ω1t+θ)+Ν(t))(5)式中ω0为内部周期驱动力的角频率,F0为周期驱动力的幅值,ω1为待测微弱周期信号的角频率,F1为待测信号的幅值,θ为待测信号的相位;N(t)为服从正态分布的随机噪声。当c固定时,逐渐增大周期驱动力的幅值F0,混沌振子相图随之变化,相继呈现出小尺度周期、混沌和大尺度周期三种状态。混沌振子检测就是利用了混沌振子相图从混沌状态向大尺度周期状态转变这一过程。混沌振子相图从混沌状态向大尺度周期状态转变时周期驱动力幅值的临界值记为Fr,当F0+F1>Fr时,混沌振子相图就会从混沌状态转变为大尺度周期状态。因此,在应用混沌振子检测微弱信号时,一般将周期驱动力的幅值F0设置成为略小于临界值Fr,然后将待检测信号输入到系统中,若信号中含有待检测频率成分,则有F0+F1>Fr,混沌振子相图从混沌状态向大尺度周期状态转变。2.2混沌振子状态混沌振子相图的定量刻画有助于微弱信号的客观、自动检测。本文利用Hu氏不变矩定量识别混沌振子相图的状态,以期实现微弱信号的自动识别。对于二值图像,在R2平面上任意正整数p和q的p+q阶矩为mpq=∑y∑xf(x,y)xpyq(6)式中f(x,y)为图像在点(x,y)上的灰度。mpq依赖于该图像在坐标系中的位置,不具备平移不变性,而p+q阶的中心距μpq满足平移不变性,其定义为μpq=∑y∑x(x-ˉx)p⋅(y-ˉy)q⋅f(x,y)(7)式中(ˉx,ˉy)为图像的质心。{ˉx=m10/m00ˉy=m01/m00(8)对μpq进行正规化处理得到ηpq,其表达式如下ηpq=μpqμ1+p+q200p+q≥2(9)ηpq满足平移和伸缩不变性,但不满足旋转不变性。Hu通过研究得到7个完备的2阶、3阶不变矩,其中φ1表征了图像的发散程度,φ1越大,图像越发散,对应于混沌振子相图越明显收敛于大尺度周期,因此可利用φ1描述混沌振子相图的状态。φ1的表达式如下φ1=η20+η02(10)在混沌振子的相图识别中,将混沌振子的相图作为一个二值图像处理,在计算不变矩时,相图所经过的坐标点的灰度值都定义为f(x,y)=1,相图没有经过的坐标点的灰度值定义为f(x,y)=0。在式(4)中设:系统阻尼比c=0.5,待检测频率ω0=94.2(即f0=30Hz),逐渐增大内部周期驱动力的幅值F0,可发现混沌振子的相图相继出现小尺度周期状态、混沌状态和大尺度周期状态,其中后两种状态的相图如图4所示,且混沌状态下的周期驱动力幅值F0=0.57,大尺度周期状态的周期驱动力幅值F0=0.58,因此可以说该混沌振子从混沌状态向大尺度周期状态跃变的阈值为F0=0.58。同时计算F0为不同值时混沌振子相图的不变矩φ1的值,如图5所示。从图5中可以看出,在F0由0.57变为0.58时,不变矩φ1的值有较大的跃变,由1.327跃变到2.441,而此时混沌振子的相图则由混沌状态进入到大尺度周期状态。鉴于此,可以利用φ1的变化来识别混沌振子的状态。输入信号噪声的强度亦会影响混沌振子相图的发散程度,进而相图的不变矩φ1的值亦有所变化。图6为不同噪声强度下不变矩φ1的变化趋势。从图6可以看出,不同噪声强度下φ1的值在混沌振子相图从混沌状态向大尺度周期状态转变时都会出现跃变,保持了良好的稳定性。当φ1>2.5时,不同噪声下的混沌振子相图都呈现为大尺度周期状态。工业现场采集的振动信号,其信噪比各不相同,Hu氏不变矩的稳定性有利于该方法的推广应用。2.3承东北部故障识别2008年4月17日,某高线厂检修时发现增速箱Ⅰ轴轴承内圈出现严重点蚀现象。在线监测系统3月份发现振动异常,但是不能确定具体的故障部位。现提取2月1日的振动加速度信号进行分析,期望能在早期数据中发现设备的微弱故障信息。该设备的电机转速为954r/min,轴承型号为162250B,采样频率2000Hz,采样点数2048。依据设备传动链及故障诊断原理可计算得轴承内圈的故障特征频率为15.9Hz。图7为设备空载时的原始振动信号及其幅值谱。从图7(b)的幅值谱中可以看出,低频部分频率小于29.3Hz时,其有效频率信息被噪声淹没,已无法识别。现利用混沌振子对15.9Hz的特征频率进行检测。首先将混沌振子的待检测频率设置为15.9Hz,逐渐增大周期驱动力的幅值,并绘制不同状态下的Hu氏不变矩φ1的趋势图,如图8所示。从图8中可以看出周期驱动力幅值F0从0.6875变为0.7125时,振子相图的不变矩出现跃变,依前述可知此时即为混沌振子由混沌状态向大尺度周期状态突变的过程。因此,可判断该振子的阈值Fr=0.7125,且不变矩φ1的判决阈值为2.181。将混沌振子的初始值F0设置为0.700(略小于阈值),然后输入待检测信号。待检测信号输入前后的混沌振子相图如图9所示。混沌振子输入待检测信号后,振子相图的不变矩φ1=2.2327,大于前述确定的判决阈值2.181,因此可判断该振子相图处于大尺度周期状态(从图9(b)中亦可肉眼观察出该相图处于大尺度周期状态),亦即原始振动信号中包含15.9Hz这一特征频率,进而可以确认该轴承的内圈存在故障隐患。本案例中,混沌振子成功检测出了该设备的早期故障,比在线监测系统发现异常时间提前了一个月左右。3待检测频率对信号相图收敛的影响差分振子法是以差分振子相图的变化来表征信号中待检测频率的存在与否,若差分振子相图收敛于极环,则信号中存在待检测频率成分;若差分振子相图收敛于极点,则不存在待检测频率。3.1差分振子的数学模型差分振子是以差分方程为基础,以二维离散系统为模型,其检测器形式如下{xk+1=axk+bykyk+1=cxk+dyk+pcos(2kπfe+2kπfdfs)⋅Τ(k)(11)式中p为放大倍数,fe为系统激励频率,T(k)为待检测信号,fd为待检测频率,fs为待检测信号的采样频率。设α=-(a+d),β=ad-bc,利用消元法消去变量yk,可得到一元差分方程xk+1+αxk+βxk-1=0(12)若α,β满足以下条件|α(1+β)4β|<1(β>0)(13)则系统固有频率可以通过下式进行估计ωn=arccos(-α(1+β)4β),ωn∈[0,π](14)3.2激励频率fe对差分振子相图的影响差分振子的参数对差分振子的检测效果影响很大,甚至会出现误判的情况。首先考察α,β对差分振子相图的影响。令T(k)=0,固定β,使β=0.98,改变α的值,差分振子相图的变化如图10所示。从图10中可以看出,当α∈[0.95,1]时,差分振子的相图最为简洁,当α过小或过大时,差分振子相图变得复杂起来。固定α值,改变β的值亦可得到相似的结果。因此,在利用差分振子对信号进行检测时,通常将α和β的值设定在区间[0.95,1]内。为考察系统激励频率fe对差分振子相图的影响,固定其他参数,只改变fe的值,观察差分振子相图的变化。向差分振子中输入一个频率为50Hz的正弦信号,并设α=0.95,β=0.98,p=1。不同激励频率下的差分振子相图如图11所示。由式(14)可以计算得到差分振子检测系统的固有频率fn=ωn/2π=0.33Hz。从图11可以看出:激励频率fe等于或者极为接近系统固有频率fn时,差分振子相图明显收敛于极环,可以对信号进行正常地检测。而当激励频率fe远离系统固有频率fn的值时,不论信号中是否存在待检测频率,振子相图均收敛于极点,差分振子将无法对信号进行检测。因此,使用差分振子检测信号时,通常将激励频率设置为系统固有频率。实验表明,差分振子的初始值只是对差分振子相图在坐标平面中的位置和形状有影响,而对于差分振子相图的收敛性影响极小,可以忽略不计。3.3信号幅值a的影响文献和成功地利用差分振子检测出微弱信号中的周期成分,但对待检测信号幅值的确定缺少论述。大量仿真实验发现,差分振子相图极环的大小与信号时域波形幅值的大小有着密切的关系。现构造一个仿真信号如下y=A⋅sin(2π⋅30⋅t)+noise(15)固定信号中噪声的类型和强度,仅改变有效正弦成分的幅值A,输入同一差分振子得到如图12所示结果。从图12中可以看出,随着信号幅值的增大,差分振子相图也随之不断的增大。若将差分振子相图所占的面积用一个外接正方形来衡量,则差分振子幅值的增加与正方形的边长具有线性比例关系,幅值每增加0.25,对应正方形的边长增加20,如图13所示。不同的噪声强度下,差分振子相图的大小与信号幅值仍然具有稳定的线性比例关系,如图14所示。在差分振子各参数设置相同的条件下,差分振子相图的大小反映了信号幅值的相对大小,通过信号幅值与差分振子相图关系曲线图,可以得到幅值的变化量,从而弥补了差分振子不能够检测信号幅值的缺憾。3.4振动信号分析2008年12月9日,某高线厂在线监测系统发出报警,第25架精轧机的振动幅值超标,12月15日检修时发现,该精轧机齿轮箱一轴轴承内圈严重磨损。现利用差分振子对本次故障发生前20天左右的振动信号进行分析,期望能更早地发现故障特征以实现故障的早期诊断。该轧机驱动电机转速为975r/min,轴承型号162250Y,采样频率4000Hz,采样点数2048。依据设备传动链和故障诊断原理可计算该轴承内圈的故障特征频率为43.158Hz。11月19日、20日、21日这三天的振动信号时域波形及其幅值谱如图15所示。从图15中可以发现,19日到20日时域波形的振动幅值略有增加,但是幅度变化不大。对应的幅值谱中,频谱低频信息全部被噪声淹没,在低频段无法得到任何设备运行的状态信息。将这三组振动信号输入同一个差分振子中,其相图变化如图16所示。在图16中,19日的差分振子相图收敛于极点,说明此信号中不含待检测频率。20日、21日的差分振子相图收敛于极环,说明此时信号中确实已含有待检测频率(即轴承内圈故障特征频率已开始显现),相比较21日收敛于极环的状态更加清晰、简明。20日的差分振子相图极环所占的正方形面积(10×10)明显小于21日极环所占正方形的面积(23×23),说明21日的轴承内圈故障频率的单频幅值比20日有所增加,故障信息更加明显。图16中的三个差分振子相图明确表征出19日轴承没有明显的故障特征,20日开始出现轻微故障,并有恶化的趋势,21日时故障特征表现得更为明显。4故障表现分析2005年1月2日,某高线厂第20架轧机出现严重的振动超标报警,被迫停机检修。开箱检查结果为:该轧机齿轮箱一轴轴承保持架断裂、滚动体变形、内圈严重磨损。轧机驱动电机的转速为1088r/min,轴承型号为162250Y,经计算轴承保持架的故障频率为5.126Hz,内圈的故障频率为11.667Hz,滚动体的故障特征频率为94.836Hz。现利用前述三种非线性方法对2004年11月1日(即故障发生前两个月)的早期数据进行分析,原始的振动信号时域波形及其幅值谱如图17所示。从图17可以看出信号的低频部分被噪声完全淹没,无法看出设备运行状态的任何信息。图18(a)为该信号的包络解调谱,亦看不出任何有用信息。现利用并联随机共振对该信号进行分析,结果如图18(b)所示。图18(b)并联随机共振输出的幅值谱