2022年江苏省苏州市姑苏区振华中学中考数学诊断试卷

第1页（共1页）2022年江苏省苏州市姑苏区振华中学中考数学诊断试卷一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分.）1．（3分）2022年3月25日，我国核电企业研发设计的具有完全自主知识产权的“华龙一号”示范工程全面建成投运，每年减少二氧化碳排放约1632万吨．用科学记数法表示1632万是（）A．1.632×103 B．1.632×107 C．1.632×104 D．1.632×1082．（3分）下列运算正确的是（）A．（a2）3＝a6 B．a8÷a2＝a4 C．a2•a3＝a6 D．（2ab）3＝6a3b33．（3分）要判断一个四边形的窗框是否为矩形，可行的测量方案是（）A．测量两组对边是否相等 B．测量对角线是否相等 C．测量对角线是否互相平分 D．测量对角线交点到四个顶点的距离是否都相等4．（3分）已知a＜b，下列式子不成立的是（）A．a+2021＜b+2021 B．a﹣2021＜b﹣2021 C．﹣2021a＜﹣2021b D．＜5．（3分）下列无理数中，在﹣1与2之间的是（）A．﹣ B．﹣ C． D．6．（3分）下列说法正确的是（）A．是的平方根 B．0.2是0.4的平方根 C．﹣2是﹣4的平方根 D．是的平方根7．（3分）若式子1﹣在实数范围内有意义，则x的取值范围在数轴上表示正确的是（）A． B． C． D．8．（3分）一组不完全相同的数据a1，a2，a3，…，an的平均数为m，把m加入这组数据，得到一组新的数据a1，a2，a3，…，an，m，把新、旧数据的平均数、中位数，众数、方差这四个统计量分别进行比较，一定发生变化的统计量的个数是（）A．1 B．2 C．3 D．49．（3分）如图，在扇形AOB中，D为上的点，连接AD并延长与OB的延长线交于点C，若CD＝OA，∠O＝75°，则∠A的度数为（）A．35° B．52.5° C．70° D．72°10．（3分）如图，矩形纸片ABCD，AB＝15cm，BC＝20cm，先沿对角线AC将矩形纸片ABCD剪开，再将三角形纸片ABC沿着对角线AC向下适当平移，得到三角形纸片A'BC'，然后剪出如图所示的最大圆形纸片，则此时圆形纸片的半径为（）A．cm B．cm C．cm D．cm二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分.）11．（3分）﹣12＝．12．（3分）分解因式：a4﹣1＝．13．（3分）已知圆锥的底面半径是2，母线长是4，则圆锥的侧面积是．14．（3分）已知关于x的方程2x2+mx+n＝0的根是﹣1和3，则m+n＝．15．（3分）如图，在菱形ABCD中，AC，BD相交于点O，E是CD的中点，连接OE．若OE＝5，BD＝12，则AC＝．16．（3分）如图，五边形ABCDE是正五边形，l1∥l2，若∠1＝20°，则∠2＝．17．（3分）在△ABC中，AB＝3，AC＝4，BC＝5．若点P在△ABC内部（含边界）且满足∠PBC≤∠PCB，则所有点P组成的区域的面积为．18．（3分）若二次函数y＝ax2﹣bx+2有最大值6，则y＝﹣a（x+1）2+b（x+1）+2的最小值为．三、解答题（本大题共10小题，共76分.）19．（5分）计算：．20．（5分）解方程：．21．（6分）先化简，再求值：（）÷（1﹣），其中a＝2﹣．22．（6分）如图，转盘A中的2个半圆分别标注1和2，转盘B中的半圆标注1，其他两个扇形的面积相等，分别标注2和3．（1）转动转盘A，当转盘停止转动时，记录指针指向的数．连续进行两次该操作，求记录的2个数相同的概率；（2）分别转动转盘A，B各一次，当转盘停止转动时，记录两个转盘的指针各自指向的数，则记录的2个数相同的概率是．23．（6分）甲、乙两地相距40km，一辆慢车和一辆快车先后从甲地出发沿同一直道匀速前往乙地．慢车先出发，行驶一段时间后停车休息，待快车追上后立即以原速度匀速行驶，直至到达乙地．快车比慢车晚20min出发，始终保持匀速行驶，且比慢车提前到达乙地．两车之间的距离y（单位：km）与慢车的行驶时间x（单位：min）之间的部分函数图象如图所示．请结合图象解决下面问题：（1）慢车的速度为km/min，快车的速度为km/min；（2）求线段AB表示的y与x之间的函数表达式．24．（8分）在▱ABCD中，E，F分别是AB，CD的中点，连接BF，DE，M，N分别是BF，DE的中点，连接EM，FN．（1）求证：四边形BFDE是平行四边形；（2）若AB＝12，EM＝EN＝5，则四边形ABCD的面积为．25．（8分）如图①，某款线上教学设备由底座，支撑臂AB，连杆BC，悬臂CD和安装在D处的摄像头组成．如图②是该款设备放置在水平桌面l上的示意图．已知支撑臂AB⊥l，AB＝15cm，BC＝30cm，测量得∠ABC＝148°，∠BCD＝28°，AE＝9cm．求摄像头到桌面l的距离DE的长（结果精确到0.1cm）．（参考数据：sin58°≈0.85，cos58°≈0.53，tan58°≈1.60，≈1.73）26．（8分）如图，在△ABC中，E是BC边上的点，以AE为直径的⊙O与AB，BC，AC分别交于点F，D，G，且D是的中点．（1）求证AB＝AC；（2）连接DF，当DF∥AC时，若AB＝10，BC＝12，求CE的长．27．（12分）【发现】如图①，已知等边△ABC，将直角三角板的60°角顶点D任意放在BC边上（点D不与点B、C重合），使两边分别交线段AB、AC于点E、F．（1）若AB＝8，AE＝6，BD＝2，则CF＝；（2）求证：△EBD∽△DCF．【思考】若将图①中的三角板的顶点D在BC边上移动，保持三角板与边AB、AC的两个交点E、F都存在，连接EF，如图②所示，问：点D是否存在某一位置，使ED平分∠BEF且FD平分∠CFE？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由．【探索】如图③，在等腰△ABC中，AB＝AC，点O为BC边的中点，将三角形透明纸板的一个顶点放在点O处（其中∠MON＝∠B），使两条边分别交边AB、AC于点E、F（点E、F均不与△ABC的顶点重合），连接EF．设∠BAC＝2α，则△AEF与△ABC的周长之比为（用含α的表达式表示）．28．（12分）平面直角坐标系xOy中，对于任意的三个点A、B、C，给出如下定义：若矩形的任何一条边均与某条坐标轴平行，且A，B，C三点都在矩形的内部或边界上，则称该矩形为点A，B，C的“三点矩形”．在点A，B，C的所有“三点矩形”中，若存在面积最小的矩形，则称该矩形为点A，B，C的“最佳三点矩形”．如图1，矩形DEFG，矩形IJCH都是点A，B，C的“三点矩形”，矩形IJCH是点A，B，C的“最佳三点矩形”．如图2，已知M（4，1），N（﹣2，3），点P（m，n）．（1）①若m＝2，n＝4，则点M，N，P的“最佳三点矩形”的周长为，面积为；②若m＝2，点M，N，P的“最佳三点矩形”的面积为24，求n的值；（2）若点P在直线y＝﹣2x+5上．①求点M，N，P的“最佳三点矩形”面积的最小值及此时m的取值范围；②当点M，N，P的“最佳三点矩形”为正方形时，求点P的坐标；（3）若点P（m，n）在抛物线y＝ax2+bx+c上，当且仅当点M，N，P的“最佳三点矩形”面积为18时，﹣2≤m≤﹣1或1≤m≤3，直接写出抛物线的解析式．

2022年江苏省苏州市姑苏区振华中学中考数学诊断试卷参考答案与试题解析一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分.）1．（3分）2022年3月25日，我国核电企业研发设计的具有完全自主知识产权的“华龙一号”示范工程全面建成投运，每年减少二氧化碳排放约1632万吨．用科学记数法表示1632万是（）A．1.632×103 B．1.632×107 C．1.632×104 D．1.632×108【解答】解：1632万＝16320000＝1.632×107．故选：B．2．（3分）下列运算正确的是（）A．（a2）3＝a6 B．a8÷a2＝a4 C．a2•a3＝a6 D．（2ab）3＝6a3b3【解答】解：A、原式＝a6，符合题意；B、原式＝a6，不合题意；C、原式＝a5，不合题意；D、原式＝8a3b3，不合题意；故选：A．3．（3分）要判断一个四边形的窗框是否为矩形，可行的测量方案是（）A．测量两组对边是否相等 B．测量对角线是否相等 C．测量对角线是否互相平分 D．测量对角线交点到四个顶点的距离是否都相等【解答】解：A、测量两组对边是否相等，可以判定为平行四边形，故选项A不符合题意；B、测量对角线是否相等，不能判定为平行四边形，更不能判定为矩形，故选项B不符合题意；C、测量对角线是否互相平分，可以判定为平行四边形，故选项C不符合题意；D、测量对角线交点到四个顶点的距离是否都相等，可以判定为矩形，故选项D符合题意；故选：D．4．（3分）已知a＜b，下列式子不成立的是（）A．a+2021＜b+2021 B．a﹣2021＜b﹣2021 C．﹣2021a＜﹣2021b D．＜【解答】解：A、不等式两边同时加上2021，不等号方向不变，故本选项正确，不符合题意；B、不等式两边同时减去2021，不等号方向不变，故本选项正确，不符合题意；C、不等式两边同时乘以﹣2021，不等号方向改变，故本选项错误，符合题意；D、不等式两边同时除以2021，不等号方向不变，故本选项正确，不符合题意．故选：C．5．（3分）下列无理数中，在﹣1与2之间的是（）A．﹣ B．﹣ C． D．【解答】解：A．﹣＜﹣1，故不符合题意；B．﹣＜﹣1，故不符合题意；C．﹣1＜，故符合题意；D.＞2，故不符合题意；故选：C．6．（3分）下列说法正确的是（）A．是的平方根 B．0.2是0.4的平方根 C．﹣2是﹣4的平方根 D．是的平方根【解答】解：A、的平方根是±，故A不符合题意．B、0.4的平方根是±，故B不符合题意．C、﹣4没有平方根，故C不符合题意．D、是的平方根，故D符合题意．故选：D．7．（3分）若式子1﹣在实数范围内有意义，则x的取值范围在数轴上表示正确的是（）A． B． C． D．【解答】解：由题可知：x﹣1＞0，解得x＞1．故选：D．8．（3分）一组不完全相同的数据a1，a2，a3，…，an的平均数为m，把m加入这组数据，得到一组新的数据a1，a2，a3，…，an，m，把新、旧数据的平均数、中位数，众数、方差这四个统计量分别进行比较，一定发生变化的统计量的个数是（）A．1 B．2 C．3 D．4【解答】解：一组不完全相同的数据a1，a2，a3，…，an的平均数为m，把m加入这组数据，得到一组新的数据a1，a2，a3，…，an，m，则两组数据的平均数一定不变，众数、中位数不一定变化，一定发生变化是方差，故选：A．9．（3分）如图，在扇形AOB中，D为上的点，连接AD并延长与OB的延长线交于点C，若CD＝OA，∠O＝75°，则∠A的度数为（）A．35° B．52.5° C．70° D．72°【解答】解：连接OD，如图，设∠C的度数为n，∵CD＝OA＝OD，∴∠C＝∠DOC＝n，∴∠ADO＝∠DOC+∠C＝2n，∴OA＝OD，∴∠A＝∠ADO＝2n，∵∠AOC+∠C+∠A＝180°，∠AOC＝75°，∴75°+n+2n＝180°，解得n＝35°，∴∠A＝2n＝70°．故选：C．10．（3分）如图，矩形纸片ABCD，AB＝15cm，BC＝20cm，先沿对角线AC将矩形纸片ABCD剪开，再将三角形纸片ABC沿着对角线AC向下适当平移，得到三角形纸片A'BC'，然后剪出如图所示的最大圆形纸片，则此时圆形纸片的半径为（）A．cm B．cm C．cm D．cm【解答】解：过点A'作A'P⊥AD于点P，设AP＝xcm，A'P＝ycm，圆的直径为dcm，由题意可得：d+x＝20，d﹣y＝15，∴20﹣x＝15+y，即x+y＝5，∵∠A＝∠A，∠APA'＝∠ADC，∴△APA'∽△ADC，∴，即，∴y＝，∴x＝，d＝，∴半径为：cm．故选：A．二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分.）11．（3分）﹣12＝﹣1．【解答】解：﹣12＝﹣1．12．（3分）分解因式：a4﹣1＝（a2+1）（a+1）（a﹣1）．【解答】解：a4﹣1，＝（a2+1）（a2﹣1），＝（a2+1）（a+1）（a﹣1）．故答案为：（a2+1）（a+1）（a﹣1）．13．（3分）已知圆锥的底面半径是2，母线长是4，则圆锥的侧面积是8π．【解答】解：底面半径是2，则底面周长＝4π，圆锥的侧面积＝×4π×4＝8π．14．（3分）已知关于x的方程2x2+mx+n＝0的根是﹣1和3，则m+n＝﹣10．【解答】解：根据根与系数的关系得﹣1+3＝﹣，﹣1×3＝，解得m＝﹣4，n＝﹣6，所以m+n＝﹣4﹣6＝﹣10．故答案为：﹣10．15．（3分）如图，在菱形ABCD中，AC，BD相交于点O，E是CD的中点，连接OE．若OE＝5，BD＝12，则AC＝16．【解答】解：∵菱形ABCD对角线AC与BD交于点O，∴DO⊥CO，DO＝BO＝BD＝6，∵E是DC边上的中点，∴OE＝DC，∴DC＝10，∴OC＝＝8，∴AC＝2OC＝16，故答案为：16．16．（3分）如图，五边形ABCDE是正五边形，l1∥l2，若∠1＝20°，则∠2＝56°．【解答】解：如图所示，连接AC，∵五边形ABCDE是正五边形，∴∠B＝∠BAE＝108°，∠ACB＝∠CAB＝36°，∴∠CAE＝108°﹣36°＝72°，∵l1∥l2，∴∠2+∠ACB＝∠1+∠CAE，即∠2+36°＝20°+72°，解得∠2＝56°，故答案为：56°．17．（3分）在△ABC中，AB＝3，AC＝4，BC＝5．若点P在△ABC内部（含边界）且满足∠PBC≤∠PCB，则所有点P组成的区域的面积为．【解答】解：如图，作线段BC的垂直平分线MN交BC于点M，交AC于点N．由题意，点P组成的图形是△MNC，∵AB＝3，AC＝4，BC＝5，∴AB2+AC2＝AB2，∴∠A＝90°，∵∠CMN＝∠A，∠ACB＝∠MCN，∴△MCN∽△ACB，∴＝，∴＝，∴MN＝，∴S△NMC＝××＝，故答案为：．18．（3分）若二次函数y＝ax2﹣bx+2有最大值6，则y＝﹣a（x+1）2+b（x+1）+2的最小值为﹣2．【解答】解：把二次函数y＝ax2﹣bx+2的图象作关于x轴的对称变换，所得图象的解析式为y＝﹣ax2+bx﹣2，再向左平移1个单位，向上平移4个单位为y＝﹣a（x+1）2+b（x+1）+2，∵二次函数y＝ax2﹣bx+2有最大值6，∴y＝﹣a（x+1）2+b（x+1）+2的最小值为﹣2，故答案为：﹣2．三、解答题（本大题共10小题，共76分.）19．（5分）计算：．【解答】解：＝﹣2+1﹣2×＝﹣2+1﹣1＝﹣2．20．（5分）解方程：．【解答】解：方程两边都乘3（x+1），得：3x﹣2x＝3（x+1），解得：x＝﹣，检验：当x＝﹣时，3（x+1）≠0，∴x＝﹣是方程的解，∴原方程的解为x＝﹣．21．（6分）先化简，再求值：（）÷（1﹣），其中a＝2﹣．【解答】解：原式＝[﹣]÷（﹣）＝÷＝•＝，当a＝2﹣时，原式＝＝．22．（6分）如图，转盘A中的2个半圆分别标注1和2，转盘B中的半圆标注1，其他两个扇形的面积相等，分别标注2和3．（1）转动转盘A，当转盘停止转动时，记录指针指向的数．连续进行两次该操作，求记录的2个数相同的概率；（2）分别转动转盘A，B各一次，当转盘停止转动时，记录两个转盘的指针各自指向的数，则记录的2个数相同的概率是．【解答】解：（1）列表如下：1211、12、121、22、2由表知，共有4种等可能结果，其中记录的2个数相同的有2种结果，所以记录的2个数相同的概率为＝；（2）列表如下：11231（1，1）（1，1）（1，2）（1，3）2（2，1）（2，1）（2，2）（2，3）由表知，共有8种等可能结果，其中记录的2个数相同的有3种结果，所以记录的2个数相同的概率为，故答案为：．23．（6分）甲、乙两地相距40km，一辆慢车和一辆快车先后从甲地出发沿同一直道匀速前往乙地．慢车先出发，行驶一段时间后停车休息，待快车追上后立即以原速度匀速行驶，直至到达乙地．快车比慢车晚20min出发，始终保持匀速行驶，且比慢车提前到达乙地．两车之间的距离y（单位：km）与慢车的行驶时间x（单位：min）之间的部分函数图象如图所示．请结合图象解决下面问题：（1）慢车的速度为0.5km/min，快车的速度为1km/min；（2）求线段AB表示的y与x之间的函数表达式．【解答】解：（1）根据题意，可知慢车的速度＝10÷20＝0.5（km/min），设快车的速度为vkm/min，根据题意，点B处表示慢车开始休息，可得30×0.5﹣（30﹣20）v＝5，解得v＝1，∴快车的速度为1km/min，故答案为：0.5，1；（2）设线段AB的函数表达式为：y＝kx+b（k≠0），代入A（20，10），B（30，5），得，解得，∴线段AB的函数表达式：y＝﹣0.5x+20（20≤x≤30）．24．（8分）在▱ABCD中，E，F分别是AB，CD的中点，连接BF，DE，M，N分别是BF，DE的中点，连接EM，FN．（1）求证：四边形BFDE是平行四边形；（2）若AB＝12，EM＝EN＝5，则四边形ABCD的面积为96．【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB＝DC，AB∥DC．∵E，F分别是AB，CD的中点，∴BE＝AB，DF＝DC，∴BE＝DF，∵BE∥DF∴四边形BFDE是平行四边形；（2）解：连接EF，∵四边形BFDE是平行四边形，∴DE＝BF，∵M，N分别是BF，DE的中点，∴EN＝DN＝BM＝FM＝BF，∵EM＝EN＝5，∴EM＝BF，∴∠BEF＝90°，BF＝2EM＝10，∵AB＝12，∴BE＝6，∴EF＝＝8，∴四边形ABCD的面积为AB•EF＝12×8＝96，故答案为：96．25．（8分）如图①，某款线上教学设备由底座，支撑臂AB，连杆BC，悬臂CD和安装在D处的摄像头组成．如图②是该款设备放置在水平桌面l上的示意图．已知支撑臂AB⊥l，AB＝15cm，BC＝30cm，测量得∠ABC＝148°，∠BCD＝28°，AE＝9cm．求摄像头到桌面l的距离DE的长（结果精确到0.1cm）．（参考数据：sin58°≈0.85，cos58°≈0.53，tan58°≈1.60，≈1.73）【解答】解：过点C作CF⊥l，垂足为F，过点B作BN⊥CF，垂足为N，过点D作DM⊥CF，垂足为M，设DM与BC交于点G，则FN＝AB＝15cm，BN＝AF，DM＝EF，DE＝MF，∠ABN＝90°，DM∥BN，∵∠ABC＝148°，∴∠CBN＝∠ABC﹣∠ABN＝148°﹣90°＝58°，在Rt△CBN中，BC＝30cm，∴CN＝30•sin58°≈30×0.85＝25.5（cm），BN＝30•cos58°≈30×0.53＝15.9（cm），∴AF＝BN＝15.9cm，∴DM＝EF＝AE+AF＝9+15.9＝24.9（cm），∵DM∥BN，∴∠CGM＝∠CBN＝58°，∴∠CDM＝∠CGM﹣∠DCB＝58°﹣28°＝30°，在Rt△CDM中，CM＝DM•tan30°＝×24.9≈14.36（cm），∴MN＝CN﹣CM＝25.5﹣14.36＝11.14（cm），∴MF＝MN+NF＝11.14+15≈26.1（cm），∴DE＝MF＝26.1cm，∴摄像头到桌面l的距离DE的长约为26.1cm．26．（8分）如图，在△ABC中，E是BC边上的点，以AE为直径的⊙O与AB，BC，AC分别交于点F，D，G，且D是的中点．（1）求证AB＝AC；（2）连接DF，当DF∥AC时，若AB＝10，BC＝12，求CE的长．【解答】（1）证明：连接AD，∵AE是⊙O的直径，∴∠EDA＝90°，∵D是的中点，∴＝，∴∠BAD＝∠CAD，∵∠B+∠BAD＝90°，∠C+∠CAD＝90°，∴∠B＝∠C，∴AB＝AC；（2）解：连接DF，DG．∵AB＝AC，AD⊥BC，∴BD＝CD，∵AB＝10，BC＝12，∴AC＝10，CD＝6，由勾股定理得：AD＝＝8，∵DF∥AC，∴＝，∴BF＝FA，在Rt△ADB中，AB＝10，BF＝FA，∴DG＝DF＝AB＝5，∴DG＝DF＝5，∵∠C＝∠C，∠CDG＝∠CAE，∴△AEC∽△DGC，∴＝，即＝，解得：AE＝，在Rt△ADE中，∠ADE＝90°，AE＝，AD＝8，∴DE＝＝，∴EC＝CD﹣DE＝．27．（12分）【发现】如图①，已知等边△ABC，将直角三角板的60°角顶点D任意放在BC边上（点D不与点B、C重合），使两边分别交线段AB、AC于点E、F．（1）若AB＝8，AE＝6，BD＝2，则CF＝6；（2）求证：△EBD∽△DCF．【思考】若将图①中的三角板的顶点D在BC边上移动，保持三角板与边AB、AC的两个交点E、F都存在，连接EF，如图②所示，问：点D是否存在某一位置，使ED平分∠BEF且FD平分∠CFE？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由．【探索】如图③，在等腰△ABC中，AB＝AC，点O为BC边的中点，将三角形透明纸板的一个顶点放在点O处（其中∠MON＝∠B），使两条边分别交边AB、AC于点E、F（点E、F均不与△ABC的顶点重合），连接EF．设∠BAC＝2α，则△AEF与△ABC的周长之比为1﹣cosα（用含α的表达式表示）．【解答】解：（1）∵△ABC是等边三角形，∴AB＝BC，∠B＝∠C＝60°，∵AB＝8，AE＝6，BD＝2，∴BE＝BD，∴△BDE是等边三角形，∴∠BDE＝60°，∵∠EDF＝60°，∴∠CDF＝60°，∴△CDF是等边三角形，∴CD＝CF＝BC﹣BD＝8﹣2＝6，故答案为：6；（2）∵∠CDE＝∠B+∠BED＝∠CDF+∠EDF，∴∠CDF＝∠BED，∵∠B＝∠C，∴△EBD∽△DCF；【思考】存在，作DM⊥AB于M，DN⊥EF于N，DQ⊥AC于Q，∵ED平分∠BEF且FD平分∠CFE，∴DM＝DN，DN＝DQ，∴DM＝DQ，∵∠B＝∠C，∠BMD＝∠CQD，∴△BMD≌△CQD（AAS），∴BD＝CD，∴；【探索】作OM⊥AB于M，ON⊥EF于N，OQ⊥AC于Q，连接AO，由（2）同理得，△BOE∽△CFO，∴，∵点O为BC的中点，∴BO＝OC，∴，∵∠EOF＝∠C，∴△EOF∽△OCF，∴∠EFO＝∠OFC，∠OEF＝∠COF，∴ON＝OQ，∠OEF＝∠OEB，∴