一次函数（知识点串讲）

专题11一次函数考点总结【思维导图】【知识要点】知识点一变量与函数变量：在一个变化过程中数值发生变化的量。常量：在一个变化过程中数值始终不变的量。【注意】变量是可以变化的，而常量是已知数，且它是不会发生变化的。区分常量和变量就是在某个变化过程中该量的值是否发生变化。函数的定义：一般的，在一个变化过程中，如果有两个变量x和y，并且对于x的每一个确定的值，y都有唯一确定的值与其对应，那么我们就把x称为自变量，把y称为因变量，y是x的函数。如果当x=a时y=b，那么b叫做当自变量的值为a时的函数值。【函数概念的解读】有两个变量。一个变量的数值随另一个变量的数值变化而变化。对于自变量每一个确定的值，函数有且只有一个值与之对应。函数定义域：一般的，一个函数的自变量x允许取值的范围，叫做这个函数的定义域。确定函数定义域的方法：（自变量取值范围）（1）关系式为整式时，函数定义域为全体实数；（2）关系式含有分式时，分式的分母不等于零；（3）关系式含有二次根式时，被开放方数大于等于零；（4）关系式中含有指数为零的式子时，底数不等于零；（5）实际问题中，函数定义域还要和实际情况相符合，使之有意义。函数值概念：如果在自变量取值范围内给定一个值a，函数对应的值为b，那么b叫做当自变量取值为a时的函数值。函数解析式：用来表示函数关系的数学式子叫做函数解析式或函数关系式。函数的取值范围：使函数有意义的自变量的取值的全体，叫做自变量的取值范围。画函数图像的一般步骤：1、列表2、描点3、连线函数图像上点的坐标与解析式之间的关系：1、将点的坐标代入到解析式中，如解析式两边成立，则点在解析式上，反之，不在。2、两个函数图形交点的坐标就是这两个解析式所组成的方程组的解。函数的三种表示法及其优缺点1、解析法：两个变量间的函数关系，有时可以用一个含有这两个变量及数字运算符号的等式表示，这种表示法叫做解析法。优：准确反映整个变化过程中自变量与函数的关系。缺：求对应值是要经过比较复杂的计算，而且实际问题中有的函数值不一定能用解析式表示。列表法：把自变量x的一系列值和函数y的对应值列成一个表来表示函数关系，这种表示法叫做列表法。优：自变量和与它对应的函数值数据一目了然，使用方便。缺：所列对应数值个数有限，不容易看出自变量与函数值的对应关系，有局限性。3、图像法：用图像表示函数关系的方法叫做图像法。优：形象的把自变量和函数值的关系表示出来。缺：图像中只能得到近似的数量关系。【典型例题】1．（2013·河北中考真题）如图，淇淇和嘉嘉做数学游戏：假设嘉嘉抽到牌的点数为x，淇淇猜中的结果应为y，则y=（）A．2 B．3 C．6 D．x+3【答案】B【解析】依题可得：．故选B．2．（2019·广西中考模拟）下列各曲线中哪个不能表示y是x的函数的是（）A． B．C． D．【答案】D【详解】解：显然A、B、C三选项中，对于自变量x的任何值，y都有唯一的值与之相对应，y是x的函数；D、对于x＞0的部分值，y都有二个或三个值与之相对应，则y不是x的函数；故选：D．3．（2019·新疆中考模拟）下列曲线中不能表示y是x的函数的是（）A． B．C． D．【答案】C【详解】A，B，D的图象都满足对于x的每一个取值，y都有唯一确定的值与之对应，故A、B、D的图象是函数，C的图象不满足对于x的每一个取值，y都有唯一确定的值与之对应，故C错误．故选C．4．（2019·浙江中考模拟）用100元钱在网上书店恰好可购买m本书，但是每本书需另加邮寄费6角，购买n本书共需费用y元，则可列出关系式（）A． B．C． D．【答案】A【详解】解：平均每本书价格为，购买n本书共需费用.故选：A．5．（2019·浙江中考模拟）已知y关于x的函数图象如图所示，则当y＜0时，自变量x的取值范围是（）A．x＜0 B．﹣1＜x＜1或x＞2 C．x＞﹣1 D．x＜﹣1或1＜x＜2【答案】B【解析】y<0时，即x轴下方的部分，∴自变量x的取值范围分两个部分是−1<x<1或x>2.故选B.【考查题型汇总】考查题型一确定自变量取值范围1．（2018·山东中考模拟）函数y=的自变量x的取值范围是（）A．x≠2 B．x＜2 C．x≥2 D．x＞2【答案】D解：∵函数y=有意义,∴x-20,即x＞2故选D2．（2007·江苏中考真题）在函数y=-1x+2中，自变量xA．x≠2B．x≤-2C．x≠-2D．x≥-2【答案】C【解析】根据题意得：x+2≠0，解得：x≠-2.故选C．3．（2019·湖南中考模拟）函数y=2-x+1x-3中自变量A．x=3 B．x≤2 C．x<2且x≠3 D．x≤2且x≠3【答案】B【详解】根据题意得：2-x≥0x-3≠0解得：x≤2故选B4．（2019·湖南中考模拟）函数y＝中，自变量x的取值范围是（）A．x≥1 B．x＞1 C．x≥1且x≠2 D．x≠2【答案】C【解析】试题分析：依题意得：x﹣1≥0且x﹣2≠0，解得x≥1且x≠2．故选C．5．（2012·湖南中考真题）下列函数中，自变量x的取值范围是x≥3的是（）A． B． C． D．【答案】D【解析】求函数自变量的取值范围，就是求函数解析式有意义的条件，根据二次根式被开方数必须是非负数和分式分母不为0的条件，要使各函数在实数范围内有意义，必须：A、分式有意义，x﹣3≠0，解得：x≠3；B、二次根式和分式有意义，x﹣3＞0，解得x＞3；C、函数式为整式，x是任意实数；D、二次根式有意义，x﹣3≥0，解得x≥3。故选D。考查题型二从函数图形中获取信息1．（2019·吉林中考模拟）“珍重生命，注意安全！”同学们在上下学途中一定要注意骑车安全．小明骑单车上学，当他骑了一段时，想起要买某本书，于是又折回到刚经过的新华书店，买到书后继续去学校，以下是他本次所用的时间与路程的关系示意图．根据图中提供的信息回答下列问题：（1）小明家到学校的路程是多少米；（2）小明在书店停留了多少分钟；（3）本次上学途中，小明一共行驶了多少米？一共用了多少分钟？【答案】（1）1500米；（2）4分钟;(3)2700米；共用14分钟．【详解】(1)根据图象，学校的纵坐标为1500，小明家的纵坐标为0，故小明家到学校的路程是1500米；(2)根据题意,小明在书店停留的时间为从(8分)到(12分)，故小明在书店停留了4分钟.(3)一共行驶的总路程=1200+(1200−600)+(1500−600)=1200+600+900=2700米；共用了14分钟.2．（2005·江苏中考真题）某种洗衣机在洗涤衣服时，经历了进水、清洗、排水、脱水四个连续的过程，其中进水、清洗、排水时洗衣机中的水量y(升)与时间x(分钟)之间的关系如折线图所示．根据图象解答下列问题：(1)洗衣机的进水时间是多少分钟？清洗时洗衣机中水量为多少升？(2)已知洗衣机的排水速度为每分钟19升．①求排水时洗衣机中的水量y(升)与时间x(分钟)与之间的关系式；②如果排水时间为2分钟，求排水结束时洗衣机中剩下的水量．【答案】（1）洗衣机的进水时间是4分钟；清洗时洗衣机中水量为40升．（2）排水时间为2分钟，排水结束时洗衣机中剩下的水量为2升．【解析】解：（1）依题意得洗衣机的进水时间是4分钟，清洗时洗衣机中的水量是40升；（2）①∵洗衣机的排水速度为每分钟19升，从第15分钟开始排水，排水量为40升，∴y=40-19（x-15）=-19x+325，②∵排水时间为2分钟，∴y=-19×（15+2）+325=2升．∴排水结束时洗衣机中剩下的水量2升．（1）根据函数图象可以确定洗衣机的进水时间，清洗时洗衣机中的水量；（2）①由于洗衣机的排水速度为每分钟19升，并且从第15分钟开始排水，排水量为40升，由此即可确定排水时y与x之间的关系式；②根据①中的结论代入已知数值即可求解．3．（2019·甘肃中考模拟）小颖和小亮上山游玩，小颖乘坐缆车，小亮步行，两人相约在山顶的缆车终点会合.已知小亮行走到缆车终点的路程是缆车到山顶的线路长的2倍，小颖在小亮出发后50分才乘上缆车，缆车的平均速度为180米/分，设小亮出发x分后行走的路程为y米．图中的折线表示小亮在整个行走过程中y随x的变化关系.（1)小亮行走的总路程是_________米，他途中休息了___________分；（2）分别求出小亮在休息前和休息后所走的路程段上的步行速度；（3）当小颖到达缆车终点时，小亮离缆车终点的路程是多少？【答案】（1）3600，20；（2）65（米/分），55（米/分）；（3）1100（米）.【详解】(1)根据图象可知：小亮行驶的总路程为3600m，中途休息时间为：50﹣30=20min，故答案为；3600，20；(2)观察图象可知小亮休息前走了30分钟，1950米，所以小亮休息前的速度为：(米/分)，小亮休息后的速度为：(米/分)，答：小亮休息前的速度为65米/分，休息后的速度为55米/分；(3)缆车到山顶的线路长为3600÷2=1800米，缆车到达终点所需时间为1800÷180=10分钟，小颖到达缆车终点时，小亮行走的时间为10+50=60分钟，80－60＝20(分)，∴小颖到达终点时，小亮离缆车终点的路程为：2055=1100(米)，答：当小颖到达缆车终点时，小亮离缆车终点的路程是1100米.考查题型三利用函数图形求解实际问题1．（2019·湖北中考真题）第一次“龟兔赛跑”，兔子因为在途中睡觉而输掉比赛，很不服气，决定与乌龟再比一次，并且骄傲地说，这次我一定不睡觉，让乌龟先跑一段距离我再去追都可以赢．结果兔子又一次输掉了比赛，则下列函数图象可以体现这次比赛过程的是（）A． B．C． D．【答案】B【详解】A、兔子后出发，先到了，不符合题意；B、乌龟比兔子早出发，而早到终点，符合题意；C、乌龟先出发后到，不符合题意；D、乌龟先出发，与兔子同时到终点，不符合题意，故选B．2．（2019·富顺县赵化中学校中考真题）均匀的向一个容器内注水，在注水过程中，水面高度与时间的函数关系如图所示，则该容器是下列中的（）A． B． C． D．【答案】D【详解】根据图象折线可知是正比例函数和一次函数的函数关系的大致图象；切斜程度（即斜率）可以反映水面升高的速度；因为D几何体下面的圆柱体的底圆面积比上面圆柱体的底圆面积小,所以在均匀注水的前提下是先快后慢;故选D.3．（2019·安徽中考模拟）在物理实验课上，小明用弹簧称将铁块A悬于盛有水的水槽中，然后匀速向上提起，直至铁块完全露出水面一定高度，则下图能反映弹簧称的读数y(单位N)与铁块被提起的高度x(单位cm)之间的函数关系的大致图象是（）A． B． C． D．【答案】C【解析】根据浮力的知识，铁块露出水面前读数y不变，出水面后y逐渐增大，离开水面后y不变。因为小明用弹簧称将铁块A悬于盛有水的水槽中，然后匀速向上提起，直至铁块完全露出水面一定高度。故选C。4．（2018·陕西中考模拟）均匀地向一个容器注水，最后把容器注满，在注水过程中，水面高度h随时间t的变化规律如图所示（图中OABC为折线），这个容器的形状可以是（）A． B． C． D．【答案】D【解析】注水量一定，函数图象的走势是稍陡，平，陡；那么速度就相应的变化，跟所给容器的粗细有关．则相应的排列顺序就为D．故选D．考查题型四函数模型1.（2012·浙江中考模拟）某中学九年级甲、乙两班同学商定举行一次远足活动，A、B两地相离10千米，甲班从A地出发匀速步行到B地，乙班从B地出发匀速步行到A地,两班同学各自到达目的地后都就地活动.两班同时出发，相向而行.设步行时间为x小时，甲、乙两班离A地的距离分别为y1千米、y2千米，y1、y2与x的函数关系图象如图所示，根据图象解答下列问题：1）分别求出y1、y2与x的函数关系式2）求甲、乙两班学生出发后，几小时相遇？【答案】1）y1=4x，y2=-5x+10．由图象可知甲班速度为4km/h，乙班速度为5km/h，设甲、乙两班学生出发后，x小时相遇，则4x+5x=10，解得x=109．（8分）2．（2019·天津中考模拟）一辆汽车在某次行驶过程中，油箱中的剩余油量y（升）与行驶路程x（千米）之间是一次函数关系，其部分图象如图所示．（1）求y关于x的函数关系式；（不需要写定义域）（2）已知当油箱中的剩余油量为8升时，该汽车会开始提示加油，在此次行驶过程中，行驶了500千米时，司机发现离前方最近的加油站有30千米的路程，在开往该加油站的途中，汽车开始提示加油，这时离加油站的路程是多少千米？【答案】（1）该一次函数解析式为y=﹣110x+60．（2）在开往该加油站的途中，汽车开始提示加油，这时离加油站的路程是10【详解】（1）设该一次函数解析式为y=kx+b，将（150，45）、（0，60）代入y=kx+b中，得150k+b=45b=60，解得：k=-∴该一次函数解析式为y=﹣110x+60（2）当y=﹣110x+60=8解得x=520，即行驶520千米时，油箱中的剩余油量为8升．530﹣520=10千米，油箱中的剩余油量为8升时，距离加油站10千米，∴在开往该加油站的途中，汽车开始提示加油，这时离加油站的路程是10千米．考查题型五分段函数的应用1．（2019·山东中考模拟）某班同学在研究弹簧的长度跟外力的变化关系时，实验记录得到相应的数据如下表：砝码的质量x/g050100150200250300400500指针位置y/cm234567则下列图象中，能表示y与x的函数关系的图象大致是()A． B．C． D．【答案】B【详解】解：由题干内容可得，一次函数过点（0，2）和（100，4）.设一次函数解析式为y=kx+b，代入点（0,2）和点（100,4）可解得，，b=2.则一次函数解析式为x+2.显然当时，x=275，故选B.2．（2019·湖北中考真题）一个装有进水管和出水管的空容器，从某时刻开始内只进水不出水，容器内存水，在随后的内既进水又出水，容器内存水，接着关闭进水管直到容器内的水放完.若每分钟进水和出水量是两个常数，容器内的水量（单位：）与时间（单位：）之间的函数关系的图象大致的是（）A． B．C． D．【答案】A【详解】∵从某时刻开始内只进水不出水，容器内存水；∴此时容器内的水量随时间的增加而增加，∵随后的内既进水又出水，容器内存水，∴此时水量继续增加，只是增速放缓，∵接着关闭进水管直到容器内的水放完，∴水量逐渐减少为0，综上，A选项符合，故选A．3.（2019·北京市通州区姚村中学中考模拟）如图，点P是▱ABCD边上的一动点，E是AD的中点，点P沿E→D→C→B的路径移动，设P点经过的路径长为x，△BAP的面积是y，则下列能大致反映y与x的函数关系的图象是（）A． B． C． D．【答案】D【详解】通过已知条件可知，当点P与点E重合时，△BAP的面积大于0；当点P在AD边上运动时，△BAP的底边AB不变，则其面积是x的一次函数，面积随x增大而增大；当P在DC边上运动时，由同底等高的三角形面积不变，△BAP面积保持不变；当点P带CB边上运动时，△BAP的底边AB不变，则其面积是x的一次函数，面积随x增大而减小；故选D．4．（2019·合肥寿春中学中考模拟）如图,甲乙两城市相距千米,一辆货车和一辆客车均从甲城市出发匀速行驶至乙城市,已知货车出发小时后客车再出发,先到终点的车辆原地休息,在汽车行驶过程中,设两车之间的距离为(千米),客车出发的时间为(小时),它们之间的关系如图所示,则下列结论：①货车的速度是千米/小时；②离开出发地后，两车第一次相遇时，距离出发地千米；③货车从出发地到终点共用时小时；④客车到达终点时，两车相距千米.正确的有（）A． B． C． D．【答案】C【详解】由函数图象，得：货车的速度为60÷1=60千米/小时，客车的速度为600÷6=100千米/小时，故①正确；.设客车离开起点x小时后，两车第一次相遇，根据题意得：.100x=60+60x，.解得：，.∴离开起点后，两车第一次相遇时，距离起点为：1.5×100=150（千米），.故②正确；.货车从起点到终点共用时为：600÷60=10（小时），.故③错误；.∵客车到达终点时，所用时间为6小时，货车先出发1小时，.∴此时货车行走的时间为7小时，.∴货车走的路程为：7×60=420（千米），.∴客车到达终点时，两车相距：600-420=180（千米），故④正确．.故选C．知识点二一次函数的图形与性质正比例函数定义：一般地，形如y=kx（k为常数，k≠0）的函数，叫做正比例函数，k叫做比例系数。一次函数定义：如果y=kx+b（k，b是常数，k≠0）的函数，叫做一次函数，k叫比例系数。注意：当b=0时，一次函数y=kx+b变为y=kx，正比例函数是一种特殊的一次函数。待定系数法：先设出函数解析式，在根据条件确定解析式中未知的系数，从而得出解析式的方法叫做待定系数法。待定系数法求函数解析式的一般步骤：设函数解析式2、将已知条件带入到解析式中解方程（组）4、将求出的数值代入到解析式中正比例函数图像与一次函数图像特征b>0b<0b=0k>0经过第一、二、三象限经过第一、三、四象限经过第一、三象限图象从左到右上升，y随x的增大而增大k<0经过第一、二、四象限经过第二、三、四象限经过第二、四象限图象从左到右下降，y随x的增大而减小总结如下：k>0时，y随x增大而增大，必过一、三象限。k>0，b>0时,函数的图象经过一、二、三象限；（一次函数）k>0，b<0时,函数的图象经过一、三、四象限；（一次函数）k>0，b=0时,函数的图象经过一、三象限。（正比例函数）k<0时,y随x增大而减小，必过二、四象限。k<0，b>0时，函数的图象经过一、二、四象限；（一次函数）k<0，b<0时，函数的图象经过二、三、四象限；（一次函数）k<0，b=0时，函数的图象经过二、四象限。（正比例函数）直线y1=kx＋b与y2=kx图象的位置关系：1、当b>0时，将y2=kx图象向x轴上方平移b个单位，就得到y1=kx＋b的图象．2、当b<0时，将y2=kx图象向x轴下方平移－b个单位，就得到了y2=kx＋b的图象．k，b符号与直线y=kx+b（k≠0）的关系正比例函数的图像：y=kx（k≠0）是经过点（0，0）和（1，k）的一条直线。一次函数的图象：y=kx+b（k≠0）是经过点（0，b）和(-1、当-bk<02、当-b3、当-b在两个一次函数表达式中：直线l1：y1=k1x＋b1与l2：y2=k2x＋b2的位置关系k相同，b也相同时，两一次函数图像重合；k相同，b不相同时，两一次函数图像平行；k不相同，b不相同时，两一次函数图像相交；k不相同，b相同时，两一次函数图像交于y轴上的同一点（0，b）。特殊位置关系：直线l1：y1=k1x＋b1与l2：y2=k2x＋b2两直线平行，其函数解析式中K值（即一次项系数）相等。即：两直线垂直，其函数解析式中K值互为负倒数（即两个K值的乘积为-1）。即:直线l1与坐标原点构成的三角形面积为s=12⋅【考查题型汇总】考查题型六根据一次函数的概念求字母的值1．（2018·天津中考模拟）已知函数y＝（m﹣1）x+m2﹣1是正比例函数，则m＝_____．【答案】-1【详解】解：由正比例函数的定义可得：m2﹣1＝0，且m﹣1≠0，解得：m＝﹣1，故答案为：﹣1．2．（2019·吉林中考模拟）若y=（m﹣1）x|m|是正比例函数，则m的值为_____.【答案】-1【详解】由题意得：m−1≠0，|m|=1，解得：m=−1.故答案为：−1.3．（2018·柳州市龙城中学中考模拟）若一次函数y=(m﹣3)x+m2﹣9是正比例函数，则m的值为_______．【答案】m=﹣3【解析】∵y=(m﹣3)x+m2﹣9是正比例函数，∴解得m=-3．故答案是：-3.4．（2015·四川中考真题）已知函数是正比例函数，则a=，b=．【答案】；．【解析】根据题意可得：，，解得：，．故答案为；．5．（2019·锦州市第十九中学初二期中）若是一次函数，则______。【答案】-3【详解】∵是一次函数，∴且m-3≠0，∴m=±3且m≠3，∴m=-3，故答案是：-3.考查题型七解正比例关系的问题1．（2018·沈阳市第七中学初二期中）已知y﹣2与x成正比例，且x＝2时，y＝﹣6．则y与x的函数关系式为_____．【答案】y＝﹣4x+2．【详解】解：设y﹣2＝kx（k≠0），则由x＝2时，y＝﹣6，得到：﹣6﹣2＝2k，解得k＝﹣4．则y与x的函数关系式为：y＝﹣4x+2；故答案为：y＝﹣4x+2．2．（2019·平阳县鳌江中学中考模拟）若y与x2﹣1成正比例，且当x＝2时，y＝6，则y与x的函数关系式是_____．【答案】y＝2x2﹣2．【详解】设y＝k（x2﹣1），把x＝2，y＝6代入得：k×（22﹣1）＝6，解得：k＝2，所以y＝2（x2﹣1），即y＝2x2﹣2．故答案为y＝2x2﹣2．3．（2017·湖南中考模拟）已知y=y1+y2，其中y1与x成正比例，y2与（x﹣2）成反比例．当x=1时，y=2；x=3时，y=10．求：（1）y与x的函数关系式；（2）当x=﹣1时，y的值．【答案】（1）y与x的函数关系式为y=3x+；（2）-.【解析】解：（1）∵y=y1+y2，其中y1与x成正比例，y2与（x﹣2）成反比例，∴设y1=ax，y2=，∴y与x的函数关系式为y=ax．将点（1，2）、（3，10）代入y=ax．中，得：，解得：，∴y与x的函数关系式为y=3x+.（2）令x=﹣1，则y=﹣3﹣=﹣，∴当x=﹣1时，y的值为﹣．考查题型八一次函数解析式的确定1．（2017·安徽中考模拟）一个有进水管与出水管的容器，从某时刻开始4min内只进水不出水，在随后的8min内既进水又出水，每分钟的进水量和出水量是两个常数，容器内的水量y（单位：L）与时间x（单位：min）之间的关系如图所示．则8min时容器内的水量为（）A．20L B．25L C．27L D．30L【答案】B【解析】试题分析：由图形可得点（4，20）和（12，30），然后设直线的解析式为y=kx+b，代入可得，解得，得到函数的解析式为y=x+15，代入x=8可得y=25.故选：B2．（2017·广东省东莞市中堂星晨学校中考模拟）已知一次函数的图象经过点(－1,2)和(－3,4)，则这个一次函数的解析式为________．【答案】【解析】设一次函数解析式为y=kx+b，将(−1,2)与(−3,4)代入得：，解得：k=−1，b=1，则一次函数解析式为y=−x+1.故答案为y=−x+13．（2017·山东中考模拟）如图所示，四边形ABCD的四个顶点A、B、C、D的坐标分别为(－1，1)、(－1，－3)、(5，3)、(1，3)，则其对称轴的函数表达式为______________.【答案】y=－x+2【解析】观察可得，四边形ABCD的对称轴是线段AD、BC的垂直平分线，对称轴与线段AD、BC的交点坐标是（0，2）、（2，0），设对称轴的解析式为y=kx+b，代入可得b=22k+b=0，解得b=2，k=-1，所以对称轴的函数表达式为y=－4．（2018·安徽中考模拟）若方程组的解满足k=a+b+c，求关于x的函数y=kx﹣k的解析式．【答案】y=3x﹣3．【解析】方程组中三个方程相加可得2a+2b+2c=6，∴a+b+c=3，又∵k=a+b+c，∴k=3，∴把k=3代入y=kx﹣k得：y=3x﹣3．考查题型九函数值大小的比较1．（2019·河南省实验中学中考模拟）已知点A（x1，y1)、B(x2，y2)在直线y=kx+b上，且直线经过第一、二、四象限，当x1＜x2时，y1与y2的大小关系为________.【答案】y1>y2【解析】详解：∵直线经过第一、二、四象限，∴y随x的增大而减小，∵x1＜x2，∴y1与y2的大小关系为：y1＞y2．故答案为：＞．2．（2015·江苏中考模拟）点A(-1，y1)，B(3，y2)是直线y=kx+b(k<0)上的两点，则【答案】＞．【解析】试题分析：根据k＜0，一次函数的函数值y随x的增大而减小解答：∵直线y=kx+b的k＜0，∴函数值y随x的增大而减小．∵点A(-1，y1)，B(3，y2∴y1＞y2，即y13．（2018·山东中考模拟）已知点A(x1，y1)，B(x2，y2)在直线y＝kx＋b上，且直线经过第一、三、四象限，当x1＜x2时，y1与y2的大小关系为______________．【答案】y1<y2【详解】解：∵直线经过第一、三、四象限，∴y随x的增大而增大，∵x1＜x2，∴y1与y2的大小关系为：y1＜y2．故答案为：y1<y2．4．（2014·广西中考真题）已知P1（1，y1），P2（2，y2）是正比例函数的图象上的两点，则y1y2（填“＞”或“＜”或“=”）．【答案】＜.【解析】∵正比例函数的，∴y随x的增大而增大.∵，∴y1＜y2．考查题型十根据一次函数的位置及增减性判断k，b的值或范围1．（2019·安徽初二期中）已知一次函数.（1）若该函数的值随自变量的增大而减小，求的取值范围；（2）若该函数图象不经过第二象限，求的取值范围.【答案】（1）；（2）【详解】解：（1））∵该函数的值y随自变量x的增大而减小，∴，解得（2）∵该函数图象不经过第二象限，∴；∴；∴2.（2019·安徽省安庆九一六学校初二期中）已知函数y＝(2m＋1)x＋m－3.(1)若函数图象经过原点，求m的值(2)若函数的图象平行于直线y＝3x－3，求m的值(3)若这个函数是一次函数，且y随着x的增大而减小，求m的取值范围．【答案】（1）m=3;（2）m=1;（3）m＜﹣.【解析】（1）由题意得，，；（2）由题意得，，；（3）由题意得，，3．（2019·甘肃初二期中）已知一次函数y=（2m+3）x+m-1，（1）若函数图象经过原点，求m的值；（2）若函数图象在y轴上的截距为-3，求m的值；（3）若该函数的值y随自变量x的增大而减小，求m的取值范围；（4）该函数图象不经过第二象限，求m的取值范围；【答案】（1）；（2）；（3）；（4）．【详解】解：（1）∵函数图象经过原点，

∴，解得；

（2）∵函数图象在y轴上的截距为-3，

∴当时，，即，解得；

（3）∵该函数的值y随自变量x的增大而减小，

即：2m+3＜0，解得；

（4）∵该函数图象不经过第二象限，

即：，解得．考查题型十一已知函数经过象限，求函数取值1．（2018·辽宁中考模拟）一次函数满足，且随的增大而减小，则此函数的图象不经过（）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限【答案】A【解析】根据y随x的增大而减小得：k＜0，又kb＞0，则b＜0，故此函数的图象经过第二、三、四象限，即不经过第一象限．故选A．2．（2019·陕西中考模拟）若正比例函数y＝kx的图象经过点A（k，9），且经过第一、三象限，则k的值是（）A．﹣9 B．﹣3 C．3 D．﹣3或3【答案】C【详解】解：∵正比例函数y＝kx（k≠0）的图象经过第一、三象限∴k＞0，把（k，9）代入y＝kx得k2＝9，解得k1＝﹣3，k2＝3，∴k＝3，故选C．3．（2017·陕西中考模拟）已知直线不经过第一象限，则的取值范围是（）．A． B． C． D．【答案】D【解析】试题解析：∵直线不经过第一象限，则有：解得：．故选． 4．（2019·山东中考真题）当直线经过第二、三、四象限时，则的取值范围是_____．【答案】.【详解】经过第二、三、四象限，∴，，∴，，∴，故答案为：.考查题型十二一次函数的平移规律1．（2019·山东中考模拟）已知：将直线y=x﹣1向上平移2个单位长度后得到直线y=kx+b，则下列关于直线y=kx+b的说法正确的是（）A．经过第一、二、四象限 B．与x轴交于（1，0）C．与y轴交于（0，1） D．y随x的增大而减小【答案】C【详解】将直线y=x﹣1向上平移2个单位长度后得到直线y=x﹣1+2=x+1，A、直线y=x+1经过第一、二、三象限，错误；B、直线y=x+1与x轴交于（﹣1，0），错误；C、直线y=x+1与y轴交于（0，1），正确；D、直线y=x+1，y随x的增大而增大，错误，故选C．2．（2019·四川中考模拟）将直线向右平移2个单位，再向上平移3个单位后，所得的直线的表达式为（）A． B． C． D．【答案】A【详解】由“左加右减”的原则可知，将直线y=2x-3向右平移2个单位后所得函数解析式为y=2(x-2)-3=2x-7，由“上加下减”原则可知，将直线y=2x-7向上平移3个单位后所得函数解析式为y=2x-7+3=2x-4，故选A.3．（2019·广东中考模拟）把函数向上平移3个单位，下列在该平移后的直线上的点是()A． B． C． D．【答案】D【详解】由“上加下减”的原则可知，将直线y=x向上平移3个单位后，所得直线的表达式是y=x+3，当x=2时，y=x+3=2+3=5，所以点（2，5）在平移后的直线上，故选D.考查题型十三计算一次函数与坐标轴所围三角形的面积1．（2017·天津中考模拟）如图，一次函数的图像与正比例函数的图像交于点.（1）求正比例函数和一次函数的解析式；（2）根据图像写出使正比例函数的值大于一次函数的值的的取值范围；（3）求的面积.【答案】（1）一次函数表达式为：y=2x-2；正比例函数为y=x；（2）x<2；（3）1.【详解】经过和，，解得，，一次函数表达式为：；把代入得，点，直线过点，，，正比例函数解析式．由图象可知，当时，一次函数与正比例函数相交；时，正比例函数图象在一次函数上方，故：时，．如图，作MN垂直x轴，则，，的面积为：．2．（2018·重庆中考真题）如图，在平面直角坐标系中，直线l1：y=x与直线l2交点A的横坐标为2，将直线l1沿y轴向下平移4个单位长度，得到直线l3，直线l3与y轴交于点B，与直线l2交于点C，点C的纵坐标为﹣2．直线l2与y轴交于点D．（1）求直线l2的解析式；（2）求△BDC的面积．【答案】直线l2的解析式为y=﹣x+4；（2）16.【详解】（1）把x=2代入y=x，得y=1，∴A的坐标为（2，1）．∵将直线l1沿y轴向下平移4个单位长度，得到直线l3，∴直线l3的解析式为y=x-4，∴x=0时，y=-4，∴B（0，-4）．将y=-2代入y=x-4，得x=4，∴点C的坐标为（4，-2）．设直线l2的解析式为y=kx+b，∵直线l2过A（2，1）、C（4，-2），∴，解得，∴直线l2的解析式为y=-x+4；（2）∵y=-x+4，∴x=0时，y=4，∴D（0，4）．∵B（0，-4），∴BD=8，∴△BDC的面积=×8×4=16．3．（2017·陆丰市民声学校中考模拟）如图，过点A（2，0）的两条直线，分别交y轴于B，C，其中点B在原点上方，点C在原点下方，已知AB=.（1）求点B的坐标；（2）若△ABC的面积为4，求的解析式．【答案】（1）（0，3）；（2）．【详解】（1）在Rt△AOB中，∵，∴，∴OB=3，∴点B的坐标是（0，3）．（2）∵=BC•OA，∴BC×2=4，∴BC=4，∴C（0，-1）．设的解析式为，把A（2，0），C（0，-1）代入得：，∴，∴的解析式为是．考查题型十四一次函数图像交点的实际应用1．（2018·吉林中考真题）小玲和弟弟小东分别从家和图书馆同时出发，沿同一条路相向而行，小玲开始跑步中途改为步行，到达图书馆恰好用30min．小东骑自行车以300m/min的速度直接回家，两人离家的路程y（m）与各自离开出发地的时间x（min）之间的函数图象如图所示（1）家与图书馆之间的路程为多少m，小玲步行的速度为多少m/min；（2）求小东离家的路程y关于x的函数解析式，并写出自变量的取值范围；（3）求两人相遇的时间．【答案】（1）家与图书馆之间路程为4000m，小玲步行速度为100m/s；（2）自变量x的范围为0≤x≤；（3）两人相遇时间为第8分钟．【详解】解：(1)结合题意和图象可知，线段CD为小东路程与时间函数图象，折现O﹣A﹣B为小玲路程与时间图象则家与图书馆之间路程为4000m，小玲步行速度为（4000-2000）÷（30-20）=100m/s(2)∵小东从离家4000m处以300m/min的速度返回家，则xmin时，∴他离家的路程y=4000﹣300x，自变量x的范围为0≤x≤，(3)由图象可知，两人相遇是在小玲改变速度之前，∴4000﹣300x=200x解得x=8∴两人相遇时间为第8分钟．故答案为(1)4000，100；(2)y=4000﹣300x，0≤x≤；(3)第8分钟.2．（2018·黑龙江中考模拟）A、B两辆汽车同时从相距330千米的甲、乙两地相向而行，s（千米）表示汽车与甲地的距离，t（分）表示汽车行驶的时间，如图，L1，L2分别表示两辆汽车的s与t的关系．（1）L1表示哪辆汽车到甲地的距离与行驶时间的关系？（2）汽车B的速度是多少？（3）求L1，L2分别表示的两辆汽车的s与t的关系式．（4）2小时后，两车相距多少千米？（5）行驶多长时间后，A、B两车相遇？【答案】（1）L1表示汽车B到甲地的距离与行驶时间的关系；（2）汽车B的速度是千米/分；（3）s1=﹣1.5t+330，s2=t；（4）2小时后，两车相距30千米；（5）行驶132分钟，A、B两车相遇．【解析】（1）函数图形可知汽车B是由乙地开往甲地，故L1表示汽车B到甲地的距离与行驶时间的关系；（2）（330﹣240）（千米/分）；（3）设L1为把点（0，330），（60，240）代入得所以设L2为把点（60，60）代入得所以（4）当时，330﹣150﹣120=60（千米）；所以2小时后，两车相距60千米；（5）当时，解得即行驶132分钟，A、B两车相遇．知识点三一次函数与方程（组）、不等式一次函数与一元一次方程的关系：因为任何一个以x为未知数一元一次方程都可以转化为kx+b=0（k≠0）的形式.求方程kx+b=0(k≠0)的解，就是求函数y=kx+b(k≠0)函数值为0时，自变量x的值.一次函数与二元一次方程组的关系：一般因为每个含有未知数x和y的二元一次方程，都可以写成y=kx+b（k≠0，k，b为常数）的形式。所以每个这样的方程都对应一个一次函数，即对应一条直线。直线上每个点的坐标（x，y），都是这个二元一次方程的解。由上可知，含有未知数x和y的两个二元一次方程组成的二元一次方程组，都对应两个一次函数，于是也对应两条直线。从“数”的角度看，解这样的方程组，相当于求自变量为何值时相应的两个函数值相等，以及这个函数值是多少。从“形”的角度看，解这样的方程组，相当于确定两条直线的交点坐标。因此可以通过画一次函数图像的方法得到方程组的解一次函数与一元一次不等式的关系：因为任何一个以x为未知数一元一次不等式都可以转化为ax+b>0或ax+b<0（a≠0）的形式。求不等式的解，就是求不等式y=ax+b函数值大于或小于0时，自变量x的取值范围。【考查题型汇总】考查题型十五利用一次函数求解方程组或不等式的方法1．（2019·江苏中考真题）已知一次函数（k为常数，k≠0）和．（1）当k＝﹣2时，若＞，求x的取值范围；（2）当x＜1时，＞．结合图像，直接写出k的取值范围．【答案】（1）；（2）且.【详解】解：（1）当时，.根据题意，得.解得.（2）当x＝1时，y＝x−3＝−2，把（1，−2）代入y1＝kx＋2得k＋2＝−2，解得k＝−4，当−4≤k＜0时，y1＞y2；当0＜k≤1时，y1＞y2．∴k的取值范围是：且.2．（2017·湖北中考模拟）如图，在平面直角坐标系中，存在直线y1＝2x和直线y2＝－x＋3(1)直接写出直线y2＝－x＋3与坐标轴的交点坐标：__________、__________(2)求出直线y1＝2x和直线y2＝－x＋3的交点坐标(3)结合图象，直接写出0＜y2＜y1的解集：_________________【答案】（1）（3，0）（0，3）；（2）交点坐标（1，2）；（3）1＜x＜3【解析】（1）令y=0，得x=3，令x=0，得y=3，所以直线和x轴交点为（3，0），和y轴交点为（0，3）；（2）由，解得，所以两直线交点坐标为（1，2）；（3）由图象可知0＜y2＜y1的解集为1＜x＜3.知识点四一次函数的实践与探索考查题型十六利用数形结合的思想解一次函数应用题1．（2019·浙江中考真题）如图1，某商场在一楼到二楼之间设有上、下行自动扶梯和步行楼梯．甲、乙两人从二楼同时下行，甲乘自动扶梯，乙走步行楼梯，甲离一楼地面的高度（单位：）与下行时间（单位：）之间具有函数关系，乙离一楼地面的高度（单位：）与下行时间（单位：）的函数关系如图2所示．（1）求关于的函数解析式；（2）请通过计算说明甲、乙两人谁先到达一楼地面．【答案】（1）（2）甲【详解】（1）设关于的函数解析式是，，解得，，即关于的函数解析式是；（2）当时，，得，当时，，得，∵，∴甲先到达地面．2．（2019·浙江中考真题）某风景区内的公路如图1所示，景区内有免费的班车，从入口处出发，沿该公路开往草甸，途中停靠塔林（上下车时间忽略不计）.第一班车上午8点发车，以后每隔10分钟有一班车从入口处发车.小聪周末到该风景区游玩，上午7:40到达入口处，因还没到班车发车时间，于是从景区入口处出发，沿该公路步行25分钟后到达塔林．离入口处的路程（米）与时间（分)的函数关系如图2所示.（1）求第一班车离入口处的路程（米）与时间（分）的函数表达式.（2）求第一班车从人口处到达塔林所蓄的时间.（3）小聪在塔林游玩40分钟后，想坐班车到草甸，则小聘聪最早能够坐上第几班车？如果他坐这班车到草甸，比他在塔林游玩结束后立即步行到草甸提早了几分钟？（假设每一班车速度均相同，小聪步行速度不变）【答案】（1）.；（2）10分钟；（3）第5班车，7分钟.【详解】（1）解：由题意得，可设函数表达式为：.把，代入，得，解得.∴第一班车离入口处的路程（米）与时间（分）的函数表达式为.（2）解：把代入，解得，（分）．∴第一班车到塔林所需时间10分钟.（3）解：设小聪坐上第班车.，解得，∴小聪最早坐上第5班车.等班车时间为5分钟，坐班车所需时间：（分），∴步行所需时间：（分），（分）．∴小聪坐班车去草甸比他游玩结束后立即步行到达草甸提早7分钟考查题型十七利用转化的思想解一次函数应用题1．（2019·上海中考模拟）E-learning即为在线学习，是一种新型的学习方式．某网站提供了A、B两种在线学习的收费方式．A种：在线学习10小时（包括10小时）以内，收取费用5元，超过10小时时，在收取5元的基础上，超过部分每小时收费元（不足1小时按1小时计）；B种：每月的收费金额（元）与在线学习时间是（时）之间的函数关系如图所示．（1）按照B种方式收费，当时，求关于的函数关系式．（2）如果小明三月份在这个网站在线学习，他按照A种方式支付了20元，那么在线学习的时间最多是多少小时？如果该月他按照B种方式付费，那么他需要多付多少元？【答案】(1);(2)35小时，10元.【详解】（1）当时，设与之间的函数关系式是：∵它经过点（5，0），（20，15），∴解得∴．（2）按照A种收费方式，设小明三月份在线学习时间为小时，得．解得．当时，．（元）．答：如果小明3月份按照A种方式支付了20元，那么他三月份在线学习的时间最多是35小时，如果该月他按照B种方式付费，那么他需要多付10元.2．（2013·四川中考真题）某商场购进一种每件价格为100元的新商品，在商场试销发现：销售单价x(元/件)与每天销售量y(件)之间满足如图所示的关系：(1)求出y与x之间的函数关系式；(2)写出每天的利润W与销售单价x之间的函数关系式；若你是商场负责人，会将售价定为多少，来保证每天获得的利润最大，最大利润是多少？【答案】（1）y＝－x＋180；（2）售价定为140元/件时，每天最大利润W＝1600元．【解析】解：（1）设y与x之间的函数关系式为y=kx+b（k≠0），由所给函数图象可知，，解得．故y与x的函数关系式为y=﹣x+180；（2）∵y=﹣x+180，∴