第二章 描述统计：数量方法(课件)

第二章描述统计：数量方法STAT统计实例

古埃及男性头骨样本的最大宽度均值：公元前4000年128.67（毫米）

公元150年133.33（毫米）离差：133.33–128.67＝4.66（毫米）结论：1.智力水平的提高；2.古埃及人与来自其他地区的人们通婚的结果。公元前4000年公元150年131，119，138，125，129，126，131，132，126，128，128，131136，130，126，126，139，141，137，138，133，131，134，129第二章描述统计：数量方法STAT

大量的数字既繁琐又不直观；需要对数据做人们时间和耐心所允许的简化。

我们可以用“平均”、“差距”或百分比等来概括大量数字。

由于定性变量主要是计数，比较简单，常用的概括就是比例或百分比。下面主要介绍关于定量变量的数字描述。第二章描述统计：数量方法STAT第二节集中趋势与离中趋势一、概念

变量分布特征可从三方面加以描述：一是变量分布的集中趋势，反映变量分布中各变量值向中心值靠拢或聚集的程度；二是变量分布的离中趋势，反映变量分布中各变量值远离中心值的程度；三是变量分布的形状，反映变量分布的偏斜程度和尖陡程度。1.集中趋势：越靠近中间水平，出现的频数越多，反之亦反。2.离中趋势：离开并分散在中间水平两侧的趋势。按年龄分组（岁）人数（人）38394041421030704020合计170第二章描述统计：数量方法STAT二、生活中的均值理念与思维■生活：减肥；饮食平衡；阴阳互补。■为人处世：中庸之道（居安思危，得理让人三分，不卑不亢，不偏不激）。■冶理国家：培养中产阶级，反对两极分化；为大多数人谋利益；■政治：既反“左”也反“右”。■企业经营：有赔有赚，平均利润。三、均值（平均指标）的定义第二章描述统计：数量方法STAT

1.定义：反映总体一般水平的代表值。？？均值反映了数据的数量集中的特征，是数据偶然性、随机性特征相互抵消后的稳定数值，反映了一些数据必然的特点。

2.特点（1）消除离差；（2）找出中心。第二章描述统计：数量方法STAT四、均值的种类第二章描述统计：数量方法STAT第三节计算平均数一、算术平均数（Mean，均值）※1.含义：数据的重心测度。

[例]10人年龄：15,16,16,17,17,17,18,18,18,18。求平均年龄。2.计算公式

（1）资料未分组：第二章描述统计：数量方法STAT（2）分组资料－－单项数列：第二章描述统计：数量方法STAT（3）分组资料－－组距数列：

[例]11人年龄：15,17,19,20,22,22,23,23,25,26,30。求平均年龄。结论：以组中值代替x尔后计算。第二章描述统计：数量方法STAT2.注意的问题

■权数：权衡轻重的数“f或f/f”学术权威；行政首长权力

[例]“十一”期间10名同学的旅游地点选择：黄山5人，武夷山2人，泰山2人，老福山1人。

综合评价中权数的运用第二章描述统计：数量方法STAT

■是非标志（成数、比率）的平均数第二章描述统计：数量方法STAT■算术平均数的影响因素■算术平均数的数学性质第二章描述统计：数量方法STAT3.评价（1）测度数据的重心位置。3637383940年龄（x）人数（f）363738394011111（2）■Mean=38离差：2+1＝1+2■Mean=38.3333离差：2.3333+1.3333+0.3333＝0.6667+1.66672（2）受极值影响很大。36,37,38,39,40,80Mean＝46第二章描述统计：数量方法STAT

[例]2000年哈佛大学研究生部6个最大专业录取情况如下：第二章描述统计：数量方法STAT二、调和平均数

1.定义：变量值①倒数②的算术平均数③的倒数④

。

2.公式推导第二章描述统计：数量方法STAT

[例]某种蔬菜价格：早上0.4元/斤（x1），中午0.25（x2），晚上0.20（x3），某人早、中、晚各买1元，求平均价格。

[原型公式]平均价格=总金额/总数量

→？第二章描述统计：数量方法STAT

3.加权调和平均数金额（m=xf）5（m1）1（m2）1（m3）7第二章描述统计：数量方法STAT

4.H是Mean的变形

当m=xf时，问：当m1=m2==mn时，简单H与加权H计算的结果相等否？令m1=m2==mn＝A第二章描述统计：数量方法STAT

[例]某企业的月工资资料如下，试计算其月平均工资。工资等级月工资（x）工资总额（m）123456008001000120016003000040000500004800016000合计184000第二章描述统计：数量方法STAT三、几何平均数

1.定义：n个变量值（比率）乘积的n次方根。

2.公式

加权

式见教材

[例]某厂由三个流水作业的车间构成，已知第一车间加工合格率为95%，第二车间为90%，第三车间为98%，求该厂三个车间平均加工合格率。第二章描述统计：数量方法STAT四、算术平均数、调和平均数、几何平均数的数学关系三者都是幂平均数的一种。幂平均数的定义是：

当t=1时，幂平均数就是算术平均数；当t=－1时，幂平均数就是调和平均数；当t趋向0时，幂平均数的极限形式就是几何平均数。由于幂平均数是单调递增函数，所以t值越大幂平均数越大。因此单从数学意义上看，三者的大小关系是：

H≤G≤Mean

但实际应用中这样的比较往往没有意义。因为任何一个计算对象一般都只适合采用一种方法来计算平均数，即不同的平均数计算方法适合于不同的计算条件，必须加以正确的选择。第二章描述统计：数量方法STAT

[例]两名同学的三门功课考试成绩如下，请问应录取谁？A同学：85，75，90；B同学：50，100，100。

总成绩标准：A250分；B250分。

平均数标准：第二章描述统计：数量方法STAT五、位置平均数（一）中位数（Median）

1.定义：中间位置对应的那个数

Me测度数据的中心。

[例]某科室9人年龄：24,25,25,26,26,27,28,29,55

排序：X1,X2,X3,X4,X5,X6,X7,X8,X9

2.计算（1）资料未分组时，中位=（n+1）/2；

当n为偶数时？[例]9人年龄：24,25,25,26,26,27,28,29,55Mean=29.44岁[例]9人年龄：10,24,25,25,26,26,27,28,29Mean=24.44岁

结论：Mean不稳健（很灵敏）。第二章描述统计：数量方法STAT（2）资料为单项式数列时中位=（f+1）/2＝12.5；24个人年龄的Me=17（岁）年龄人数（f）向上累计向下累计15（下）16171819（上）249632（第1~2）6（第3~6）15212424221893合计24（f）————第二章描述统计：数量方法STAT（3）组距式数列中位=f/2？？第二章描述统计：数量方法STAT

506070（L）80（U）90100

103060110150180xy第90个人Me=L+x=U-y(Sm-1)Me组变量值呈均匀分布50人/10分=5人/分第二章描述统计：数量方法STAT

3.注意的问题

[例]两组数据为：A.1,2,3,4,5；B.1,2,3,4,18。

A.Me=3，Mean=3；B.Me=3，Mean=5.6

■比较稳健；■利用信息不充分；

■在有极值的情况下，中位数更能反映数据的一般水平。

[例]2000年美国较富裕三州的个人平均收入（Mean）及收入中位数（Me）位次资料如下。请解释为何纽约州的收入中位数比其它州低许多。州个人平均收入个人收入Me康涅狄格新泽西纽约第1位第2位第4位第7位第2位第29位第二章描述统计：数量方法STAT

[例]在一项城市住房问题的研究中，研究人员对某市抽样调查了300户，其中的一个问题是：“您对您家庭目前的住房状况是否满意？”Me=“一般”说明中心和重心的不同。类别户数（f）向上累计非常不满意不满意一般满意非常满意2410893453024132225270300合计300（f）——第二章描述统计：数量方法STAT（二）众数（Mode）

1.定义：出现次数最多的那个数Mo（1）20,15,18,20,20,22,20,23；（2）20,20,15,19,19,20,19,25；（3）10,11,13,16,15,25,8,12；

2.计算

找位置：确定Mo组；

确定众数：Mo=40码；表述：170双售出鞋子鞋码的Mo为40码。特点：峰顶对应的变量值。第二章描述统计：数量方法STAT[图示]383940414280604020第二章描述统计：数量方法STAT（2）组距式数列找峰顶：确定Mo组；70<Mo<80

符号含义：L为Mo组的下限，U为上限；i=U–L；

1=fm–fm-1；

2=fm–

fm+1。第二章描述统计：数量方法STAT成绩4050607080901005040302010人数AGFLUMo=L+x=U-yBCEDOxy第二章描述统计：数量方法STAT405060708090100成绩5040302010人数LUMo=L+x=U-yAGFOBCEDxy第二章描述统计：数量方法STAT

3.注意的问题[例]两组数据资料如下：A.20,15,18,20,20,22,20,23；B.20,15,18,20,20,22,20,57；■比较稳健；■信息利用不充分；■可用于反映质量变量的集中趋势。

[例]血型：ABOAB人数：215122N=40

[美国统计资料]当代美国的平均人是女性，平均每个女性有2.1个孩子，这些女性住在平均价值为8万美元的住宅中。第二章描述统计：数量方法STAT[例]在一项城市住房问题的研究中，研究人员对某市抽样调查了300户，其中的一个问题是：“您对您家庭目前的住房状况是否满意？”

Me=“一般”Mo=“不满意”应以哪种平均数作为决策依据？类别户数（f）向上累计非常不满意不满意一般满意非常满意2410893453024132225270300合计300（f）——第二章描述统计：数量方法STAT六、Mean、Me和Mo之间的关系

Me和Mo“中位和峰顶”

位置平均数；Mean“重心”计算平均数。（一）数量关系

1.对称分布第二章描述统计：数量方法STAT

2.偏态分布

Mo=12Me=13Mean=13.05（1）右（正）偏：Mo＜Me＜Mean第二章描述统计：数量方法STAT（2）左（负）偏Mo=12Me=11Mean=10.95

Mean＜Me＜Mo第二章描述统计：数量方法STAT

3.

卡尔•皮尔逊经验公式：适度偏斜情况下，Mo与Me之间的距离，大约为Me到Mean之间距离的两倍。第二章描述统计：数量方法STAT[例]某工厂需招聘一名工人，甲前往应征。他被告知厂里平均薪金每周300元。然而，当甲工作几天后，竟然没有发现一个工人的工资超过每周100元，那么平均工资怎么可能是每周300元呢？第二章描述统计：数量方法STAT第四节变异程度的测度一、概念与作用（一）离中趋势测度：反映各变量值差异程度的测度。在很多情况下，人们更关心各变量值与平均数之间的离差。[例]1999年某市声称其人均住房面积达到10平方米的水平。

[例]统计学家：舒适的平均体温。第二章描述统计：数量方法STAT（二）作用1.衡量平均数代表性的大小。2.反映变量值分布的离中趋势和分散程度。小组成绩ABC70,70,70,7065,68,72,7534,51,95,100Mean707070离差0,0,0,05,2,2,536,19,25,30平均离差03.527.53.反映现象发展的均衡性和稳定性。第二章描述统计：数量方法STAT二、变异测度方法（一）全距（极差，Range）

R=Xmax–Xmin小组成绩（分）MeanR（分）ABC70,70,70,7065,68,72,7534,51,95,10070707001066A.24,25,25,26,26,27,28,29,55Mean=29.44岁，RA=31岁B.11,17,19,20,38,39,39,41,41Mean=29.44岁，RB=30岁第二章描述统计：数量方法STAT（二）平均差（meandeviationA.D）

1.定义：变量值与其Mean的平均离差。姓名成绩x人数fABCD656872751111合计2804

5

2250522514第二章描述统计：数量方法STAT[例]成绩x人数f656872752583合计18

5.61

2.611.394.39——5.612=11.222.615=13.051.398=11.224.393=13.1748.66第二章描述统计：数量方法STAT

2.判定准则小组成绩（分）MeanA.D（分）AB65,68,72,7534,51,95,10070703.527.5（1）比较全面、灵敏。A.65,68,72,76Mean=70.25分，A.D=3.75分；B.65,68,72,90Mean=73.75分，A.D=8.125分。（2）绝对值运算给数学处理带来不便。第二章描述统计：数量方法STAT（四）方差（variance）与标准差（standarddeviation）※

1.方差

2：离差平方的Mean；2.标准差

：平均离差。姓名年龄x人数fABCD151822251111合计804

5岁

225025岁2442558第二章描述统计：数量方法STAT[例]

成绩人数f60以下60~7070~8080~9090以上2816104合计40

x5565758595

xf11052012008503803060-21.5-11.5-1.58.518.5924.5105836722.51369 4110第二章描述统计：数量方法STAT

2.公式归纳：离差平方的平均数2。第二章描述统计：数量方法STAT

3.判定准则小组成绩（分）Mean

（分）AB65,68,72,7534,51,95,10070703.8128.20第二章描述统计：数量方法STAT[例]第二章描述统计：数量方法STAT[例]用计算器统计键计算（1）ON/C2ndFSTAT（2）数据录入4510DATA（屏幕：10）5520DATA（屏幕：30）6540DATA（屏幕：70）…………9530DATA（屏幕：190）第二章描述统计：数量方法STAT

4.是非标志（成数、比率）的方差与标准差[例]试据以下资料计算某班考试成绩及格率的Mean与

2。标准化是非变量10成数（比率）P=N1/N=0.6Q=N0/N=0.41第二章描述统计：数量方法STAT

5.方差加法定理（※）（1）总方差=组间方差+平均组内方差（2）总方差：变量值与其总体Mean所计算的方差。[例]11人日产量（件）如下：15、17、19、20、22、22、23、23、25