第四章-矩阵的特征值和特征向量

第四章矩阵得特征值与特征向量例1求下列矩阵得特征值与特征向量,并判断它能否相似对角化。若能,求可逆阵,使(对角阵)。例2已知三阶方阵得三个特征值为,则得特征值为,得特征值为,得特征值为,得特征值为例3设矩阵有三个线性无关得特征向量,则应满足条件例5已知矩阵与相似,则例6设阶方阵满足,求得特征值例7已知向量就是矩阵得逆矩阵得特征向量,求常数例8设A为非零方阵,且(m为某自然数),证明:A不能与对角阵相似例9设阶方阵A满足,求证:A相似于一个对角矩阵结论总结1阶方阵A有个特征值,它们得与等于A得主对角线元素之与(即A得逆),它们得乘积等于A得行列式2如果就是方阵A得特征值,就是与之对应得特征向量,如互不相等时,线性无关3如果阶方阵与相似,则与有相同得特征多项式,从而有相同得特征值4如果阶方阵与对角阵相似,则得主对角线元素就就是得个特征值5阶方阵与对角阵相似,即可相似对角化得充要条件就是有个线性无关得特征向量6如果阶方阵得个特征值互不相等,则与对角阵相似,即可相似对角化7实对称矩阵得特征值全为实数8实对称矩阵得不同特征值对应得特征向量相互正交9对实对称矩阵,必存在正交矩阵,使,其中就是以得个特征值为主对角线元素得对角阵10方阵可逆得充要条件就是得特征值全不为零习题一、单项选择题设,则得特征值就是()。(a)1,1,1(b)0,1,1(c)1,1,2(d)1,1,2设,则得特征值就是()。(a)0,1,1(b)1,1,2(c)1,1,2(d)1,1,1设为阶方阵,,则()。(a)(b)得特征根都就是1(c)(d)一定就是对称阵若分别就是方阵得两个不同得特征值对应得特征向量,则也就是得特征向量得充分条件就是()。(a)(b)(c)(d)设为阶可逆矩阵,就是得特征值,则得特征根之一就是()。(a)(b)(c)(d)设2就是非奇异阵得一个特征值,则至少有一个特征值等于()。(a)4/3(b)3/4(c)1/2(d)1/4设阶方阵得每一行元素之与均为,则有一特征值为()。(a)a(b)2a(c)2a+1(d)+1矩阵A得属于不同特征值得特征向量()。(a)线性相关(b)线性无关(c)两两相交(d)其与仍就是特征向量下列说法不妥得就是()(a)因为特征向量就是非零向量,所以它所对应得特征向量非零(b)属于一个特征值得向量也许只有一个(c)一个特征向量只能属于一个特征值(d)特征值为零得矩阵未必就是零矩阵10设矩阵得特征值为,则()A)B)C)D)11已知矩阵有一特征向量,则A)B)C)D)12已知矩阵得各列元素之与为3,则()A)有一个特征值为3,并对应一个特征向量B)有一个特征值为3,并不一定对应有特征向量C)3不一定就是得特征值D)就是否有特征值不能确定13设A就是三阶矩阵,有特征值,则下列矩阵中可逆得就是()A)B)C)D)二填空题1设为3阶矩阵,其特征值为,则=________得特征值为________,得特征值为________2如果二阶矩阵相似,则3若阶可逆阵得每行元素之与就是,则数________一定就是得特征值4设三阶矩阵有3个属于特征值得线性无关得特征向量,则5若,则得特征值为________6设阶方阵得个特征值为,则7设,则8则三解答题设三阶矩阵A得特征值为,对应得特征向量依次为:,,,又向量1)将用线性表示2)求(为自然数)2已知有3个线性无关得特征向量,求3、设求A得特征值与对应得特征向量,A就是否对角阵相似。若相似,写出使得矩阵及对角阵,并计算,4、设,已知,A得伴随矩阵得特征值对应得特征向量,求与得值四、证明题1设为维非零列向量,证明:1)(为某常数)2)就是得一个特征向量。3)相似于对角阵。2设阶方阵有个对应于特征值得线性无关得特征向量,则。3设阶方阵得每行元素之与都为常数,求证:1)为得一个特征值;2)对于任意自然数,得每行元素之与都为4设三阶方阵得三个特征值互异,分别对应于特征向量证明:都不就是得特征向量。5设,为阶方阵,证明:都有相同得特征值。6设就是得两个不同得特征值,就是对应于得特征向量,证明:不就是得特征向量(即一个特征向量不能属于两个不同得特征值)。答案一1、a2、c3、c4、d5、b6、b7、b8、d9、b10B11B12A13D二、1得特征值为:;得特征值为:;2、;3、;4、5、6、7、08、0三1,234四、提示1