概率论课件 第三章

第三章

随机变量的数字特征

1§2.1数学期望引例3.1.1数学期望的定义某射击运动员射击结果如下：101099988888则他的平均命中的环数为2若用X表示他射击时命中的环数，则X是一个随机变量，其分布律可表示为

上面的可理解为以概率为权数的“加权”平均值我们称之为随机变量的“数学期望”或“均值”。3定义1离散型随机变量的数学期望.)().(,,.,2,1,}{

111ååå¥=¥=¥=====kkkkkkkkkkkpxXEXEXpxpxkpxXPX即记为的数学期望的和为随机变量则称级数绝对收敛若级数的分布律为设离散型随机变量L4关于定义的几点说明(3)随机变量的数学期望与一般变量的算术平均值不同.(1)E(X)是一个实数,而非变量,它是一种加权平均,与一般的平均值不同,它从本质上体现了随机变量X取可能值的真正平均值,也称均值.(2)级数的绝对收敛性保证了级数的和不随级数各项次序的改变而改变,之所以这样要求是因为数学期望是反映随机变量X取可能值的平均值,它不应随可能值的排列次序而改变.5试问哪个射手技术较好?例1谁的技术比较好?甲射手乙射手6故乙射手的技术比较好.解7例2泊松分布

则有8例3袋中有12个零件，其中9个合格品，3个废品.安装机器时，从袋中一个一个地取出（取出后不放回），设在取出第一个合格品之前已取出的废品数为随机变量X,求E(X).

X的可能取值为0，1，2，3.为求X的分布律，先求取前面这些可能值的概率，易知解

9于是，得到X的分布律为：则有:X0123P0.7500.2040.0410.00510连续型随机变量数学期望的定义定义2数学期望简称期望，又称为均值。

11例4

均匀分布则结论

均匀分布的数学期望位于区间的中点.12例5指数分布

则某电子元件的寿命X服从参数为的指数分布(单位：小时),求这类电子元件的平均寿命.由已知,X的分布密度为解:13即这类电子元件的平均寿命为1000小时.由得：

指数分布是常用的“寿命分布”之一，由上述计算可知，若一个电子元件的寿命服从参数为的指数分布，则它的平均寿命为.14解例6设(X,Y)的联合分布律为15事实上，我们不需要先求关于X和Y的边缘分布律，可以直接由的联合分布律求X和Y的数学期望。161o当二维离散型随机变量(X,Y

)的联合分布律为时2o当二维连续型随机变量(X,Y)的概率函数为时17例7设二维连续型随机变量(X,Y)的联合密度为求和解18问题的提出：设已知随机变量X的分布，我们需要计算的不是X的期望，而是X的某个函数的期望，比如说g(X)的期望.那么应该如何计算呢？3.1.2随机变量函数的数学期望19如何计算随机变量函数的数学期望?一种方法是，因为g(X)也是随机变量，故应有概率分布，它的分布可以由已知的X的分布求出来.一旦我们知道了g(X)的分布，就可以按照期望的定义把E[g(X)]计算出来.

使用这种方法必须先求出随机变量函数g(X)的分布，一般是比较复杂的.20那么是否可以不先求g(X)的分布而只根据X的分布求得E[g(X)]呢？下面的基本公式指出，答案是肯定的.类似引入上述E(X)的推理，可得如下的基本公式:21定理1:设X是一个随机变量，Y=g(X)，则当X为离散型时,P(X=xk)=pk;当X为连续型时,X的密度函数为f(x).推广到两个以上r.v的基本公式，见教材.22该公式的重要性在于:当我们求E[g(X)]时,不必知道g(X)的分布，而只需知道X的分布就可以了.这给求随机变量函数的期望带来很大方便.23例8设随机变量X的分布律为X-1012P0.10.30.40.2，且，.试求：，解:利用定理1计算得：同理，24例9设随机变量X的分布密度为求:(1) ;(2)的数学期望.解:(1)(2)25例11设(X,Y)服从以点为顶点的三角形区域A上的均匀分布,试求函数的数学期望.解三角形区域A如图3-1,易知A的面积为1，故图3-121yOxA26于是271.设C为常数,则有证2.设X是一个随机变量，k,b是常数,则有3.1.3数学期望的性质证设X的分布密度为，则283.设X、Y是任意两个随机变量，则证设的联合密度函数为,边缘概率密度分别为和,则

294.设X、Y是相互独立的随机变量,则有推广推广若为相互独立的随机变量，则有30例12设随机变量的分布密度分别为(1)求(2)若设相互独立，求解(1)

31(2)

32(3)由相互独立，易得小结数学期望是一个实数,而非变量,它是一种加权平均,与一般的平均值不同,它从本质上体现了随机变量X取可能值的真正的平均值.332.数学期望的性质34常见离散型随机变量的数学期望

分布

分布律

E(X)(0-1)分布

X~B(1,

p)

kkppkXP--==1)1(}{

k=0,1

p

二项分布

X~B(n,

p)

knkknppCkXP--==)1(}{

k=0,1,2,…,n

np

泊松分布

)(~lPX

P{X=k}=ll-ekk!

k=0,1,2,…

l几何分布

P{X=k}=ppk1)1(--

k=1,2,…

p1

35常见连续型随机变量的数学期望

分布名称

概率密度

)(XE

均匀分布

X~U[a,b]f(x)=ïîïíìÎ-其他,0],[,1baxab

2ba+

正态分布

),(~2smNX

f(x)=222)(21smsp--xe

m

指数分布

)(~lEXf(x)=)0(,00,>ïîïíì>-lll其他xex

l1

36§3.2方差

一、方差的定义37方差是一个非负值，常用来体现随机变量X取值的分散程度.如果D(X)值大,表示X取值越分散,E(X)的代表性差;而如果D(X)值小,则表示X的取值比较集中,以E(X)作为随机变量的代表性好.说明38由方差的定义，我们不难发现方差实际上就是随机变量的函数的数学期望，于是离散型随机变量X的方差连续型随机变量X的方差其中为X的分布密度39证明利用数学期望的性质，可得到计算方差的一个简便公式：40例1甲、乙两人射击结果分别用X、Y表示（单位：分）。经统计得X和Y的分布律如下：X0123Y0123P0.30.40.20.1P0.40.20.30.1试问二人谁更稳定些？解由得

由得可见，二人平均水平相当，但甲更稳定些。41例2设X服从区间上的均匀分布，求.解在上一节例3中已求得，而于是42进而例3设随机变量X服从参数为的指数分布,求.解

X的分布密度为43证明二、方差的性质1、设C是常数,则有2、设X是一个随机变量,C是常数,则有证明444、设X和Y是两个随机变量，则

特别地，若X,Y相互独立,则有证明45X,Y相互独立时从而有，X,Y相互独立时事实上，“相互独立的随机变量其各自的函数间，仍然相互独立”.这是一个很有用的结论.46推广47例4设随机变量X具有数学期望，方差，求的数学期望和方差。解利用数学期望和方差的性质得48我们称数学期望为0，方差为1的变量为标准化变量，且称为随机变量的标准化。由于标准化变量是无量纲的，所以可用于不同单位的量的比较，因而在统计分析中有着广泛的应用。49§3.3协方差与相关系数3.3.1协方差问题的提出协方差50定义设(X,Y)为二维随机变量，若存在，则称它为随机变量X与Y的协方差，记作或，即51由协方差的定义易知协方差具有下列性质:1、

2、

5、若X和Y相互独立，则

7、6、3、

4、

常用作协方差的计算公式52例1设二维随机变量的联合分布律为010q010p其中，求.101010解由已知易得X,Y以及XY的分布律分别为53进一步有于是54例2设二维随机变量(X,Y)的概率密度函数为求，.解因为55所以又利用对称性易得，所以563.3.2相关系数

协方差的大小在一定程度上反映了X和Y相互间的关系，但它还受X与Y本身度量单位的影响.例如Cov(kX,kY)=k2Cov(X,Y)

为了消除量纲的影响，我们可将随机变量标准化

.可以验证，

标准化随机变量消除了量纲的影响。57定义设D(X)>0,D(Y)>0,计算公式：特别地，当时，称X与Y不相关.58思考随机变量的不相关与相互独立之间存在怎样的联系呢？不难看到，若X与Y相互独立，那么协方差为0，即X与Y相互独立时，X与Y一定不相关.那么反之是否成立呢？看下面例题。例3若，且，问X与Y是否不相关？是否独立？59解因为X分布密度为偶函数，所以

于是进一步，有这说明与是不相关的。60相关系数的性质：性质1证性质2证若，则61性质2证

62

相关系数是随机变量之间线性关系强弱的一个度量(参见如下的示意图).|

|的值越接近于1,Y与X的线性相关程度越高;|

|的值越接近于0,Y与X的线性相关程度越弱.63我们已知道如下命题：注意：以上逆命题一般不成立,即X与Y不相关时,不一定独立.然而，在正态分布的场合,独立性与不相关性是一致的。若X与Y相互独立，则X与Y不相关。64二维正态分布由前面章节讨论可知656667结论683.3.3矩其中k是正整数.协方差Cov(X,Y)是X和Y的二阶混合中心矩.称它为X和Y的k+l阶混合(原点)矩.若存在，称它为X和Y的k+l阶混合中心矩.

设X和Y是随机变量，若k,l=1,2,…存在，69在数学中大家都注意到这样的现象：有时候一个有限的和很难求,但一经取极限由有限过渡到无限,则问题反而好办.例如,若对某一x,要计算和

而一经取极限，则有简单的结果

§3.4大数定律与中心极限定理70事实证明这是可能的，而且在一般情况下和的极限分布就是正态分布，由此可见正态分布的重要性。对和的分布收敛于正态分布的这一类极限定理的研究，在长达两个世纪的时期内成了概率论研究的中心课题，因此得到了“中心极限定理”的名称。本章将列述这类定理中最简单，然而也是最重要的情况。

71723.4.1切比雪夫不等式或733.4.2大数定律定理1（切比雪夫大数定律）

设X1,X2,…是相互独立的随机变量序列，它们都有有限的方差，并且方差有共同的上界，即D(Xi)≤K，i=1,2,…，切比雪夫则对任意的有或74证两边夹,即得结论.75解释:取值接近于其数学期望的概率接近于1.当n充分大时，差不多不再是随机的了,76推论（伯努利大数定律）或伯努利

下面给出的伯努利大数定律,是定理1的一种特例.

设nA是n重伯努利试验中事件A发生的次数，p是事件A发生的概率，则对任给的

,有77引入i=1,2,…,n则

而

由切比雪夫大数定律，78是事件A发生的频率，

伯努利大数定律表明，当重复试验次数n充分大时，事件A发生的频率nA/n与事件A的概率p有较大偏差的概率很小.这就是频率稳定性的理论解释。

历史上，伯努利第一个研究了这种类型的极限定理，在1713年发表的论文中(这是概率论的第一篇论文!),他建立了以上定理。所以有人认为，概率论的真正历史应从出现伯努利大数定律的时刻算起。

79

下面给出的独立同分布下的大数定律，不要求随机变量的方差存在.

设随机变量序列X1,X2,…独立同分布，具有有限的数学期E(Xi)=