大学物理B层次-第六章 静电场

第三篇Electromagneticfield电磁场稳恒磁场第六章Themagneticfield1§6-1磁现象的电本质磁场

1.基本磁现象早期磁现象：磁铁磁铁间的相互作用。

(1)人造磁铁、天然磁铁有吸引铁、鈷、镍的性质—磁性。(2)磁铁有两个极：N，S。(3)磁极间存在相互作用力：同极相斥，异极相吸。在历史上很长一段时期里,人们曾认为磁和电是两类截然不同的现象。INS

1819年,奥斯特实验首次发现了电流与磁铁间有力的作用(见图9-1),才逐渐揭开了磁现象与电现象的内在联系。2

磁铁对载流导线也有力的作用；磁铁对运动电荷也有力的作用；电流与电流之间也有力的相互作用。1882年,安培对这些实验事实进行分析的基础上，提出了物质磁性本质的假说：

物质间的磁力相互作用是以什么方式进行的呢?近代的理论和实验都表明,物质间的磁力作用是通过磁场传递的。即磁场和电场一样,也是物质存在的一种形式。运动电荷

磁场

运动电荷

奥斯特实验证明电流对磁铁有力的作用。同时，人们还发现：一切磁现象都起源于电荷的运动(电流)。3

式中N为线圈的匝数，S为线圈包围的面积，为载流线圈平面正法线方向的单位矢量。n

试验线圈(电流、尺寸都很小的载流线圈)的磁矩定义为：

将试验线圈置于磁场中一点，不管怎样转动，它处于平衡时，正法线总是指向一个确定的方向，这说明磁场是矢量场。我们规定：2.磁感应强度B

试验线圈处于平衡时，线圈正法线指示的方向即为该点磁场(B)的方向。Pm=NISnsIn4

定义:磁场中某点磁感应强度的大小等于试验线圈所受的最大磁力矩与线圈磁矩之比。即§6-2磁通量

磁场的高斯定理1.磁感应线(磁力线)

为了形象地描述磁场,可仿照电场中引入电力线的方法引入磁感应线(也称磁力线)。

磁力线上每一点的切线方向与该点的磁感应强度B的方向一致。通过某点垂直于磁场方向的单位面积上的磁力线条数等于该点B的大小。5

磁力线有以下特点:

(1)磁力线是无头无尾的闭合曲线(或两端伸向无穷远处)。所以磁场是涡旋场。(2)磁力线与载流电路互相套合(即每条磁力线都围绕着载流导线)。(3)任两条磁力线都不相交。图6-36

磁场中,通过一给定曲面的磁力线数目,称为通过该曲面的磁通量。2.磁通量

磁通量是标量，其正负由角

确定。与电场中一样，对闭合曲面来说,我们规定取向外的方向为法线的正方向。这样：磁力线从封闭面内穿出时，磁通量为正；

磁力线从封闭面外穿入时，磁通量为负。通过匀强磁场中面积为S的平面的磁通量应为类似于电通量，通过任一曲面S的磁通量为7

由于磁力线是闭合曲线，因此通过任一闭合曲面磁通量的代数和(净通量)必为零,亦即3.磁场的高斯定理上式与静电学中的高斯定理很相似,称为磁场的高斯定理。但两者却有本质上的区别。在静电场中,由于自然界有单独存在的正、负电荷,因此通过一闭合曲面的电通量可以不为零,这反映了静电场的有源性。而在磁场中,磁力线的连续性表明,像正、负电荷那样的磁单极是不存在的,磁场是无源场。在国际单位制中,磁通量的单位为韦伯(wb)。8

将半球面和圆面组成一个闭合面，则由磁场的高斯定理知，通过此闭合面的磁通量为零。-Br2cos

这就是说，通过半球面和通过圆面的磁通量数值相等而符号相反。于是通过半球面的磁通量就可以通过圆面来计算：。

例题6-1在匀强磁场B中，有一半径为r的半球面S,S边线所在平面的法线方向的单位矢量n和B的夹角为

,如图所示，则通过半球面S的磁通量为nS

B9

真空中，电流元Idl

在P点产生的磁场为§6-3毕奥-萨伐尔定律

！上式称为毕奥-萨伐尔定律，它是一条实验规律。

1.公式中的系数是SI制要求的。真空的磁导率：o=410-72.r是电流元Idl

到P点的距离。

rP

r是从电流元Idl指向P点的单位矢量。10大小：Idl=电流I线元长度dl。方向：电流I的方向；4.磁场的大小：

方向：由右手螺旋法则确定(见图)。3.电流元Idl

是线元。

是Idl与r之间的夹角。BrP

B11

5.对载流导体，按照磁场叠加原理,可分为若干个电流元，然后用毕-萨定律积分：应当注意：上面的积分是求矢量和。6.磁感应强度的单位是特斯拉(T)，1T=104Gs。12例题6-2

求直线电流的磁场。

解选坐标如图,

方向：垂直纸面向里(且所有电流元在P点产生的磁场方向相同);所以直线电流在P点产生的磁场为电流元Idx在P点所产生的磁场为Pa.Ixox

Idxr13

由图可以看出:

x=atg(-90)=-actg

完成积分得

1

2磁场方向:垂直纸面向里。Paxox

IdxrIBI14注意：1.上式中的a是直电流外一点P到直电流的垂直距离。2.

1和

2是直电流与(直电流端点与场点P的)连线的夹角。

应取同一方位的角。

1

2Paxox

IdxrI15

讨论:(1)对无限长直导线,IB

1

2Paxox

IdxrI

1=0,

2=

,则有16

(2)如果P点位于直导线上或其延长线上,

证：若P点位于直导线上或其延长线上，则=0或=，于是

1

2Paxox

IdxrI则P点的磁感应强度必然为零。17

例题6-3直电流公式的应用。(1)P点磁场:P点磁场：

AB：BC：

1

2IPaABCI

18(2)边长为a的正方形中心O点:A点磁场：

1

1=45,

2=135a2

2

1

1=45,

2=90aI.o

2AaI19

(3)边长为a的正三角形中心o点的磁场。

电流I经三角形分流后,在中心o点产生的磁场为零。

CD段在三角形中心o点产生的磁场也为零。只有AB段在三角形中心o点产生磁场：IIoraABCD20

(4)在一半径为R的无限长半圆筒形金属薄片中，沿长度方向有电流I流过，且电流在横截面上均匀分布。求半圆筒轴线上一点的磁场强度。

解

用长直导线公式积分。Bx=2Rsin

-IodBxy

Rd

21

例题6-4圆电流轴线上一点的磁场。

解由对称性可知，P点的场强方向沿轴线向上。sin

有B=即RIxp

dBrIdldBB22在圆电流的圆心o处,因x=0,故得

由于各个电流元在圆心处产生的磁场方向相同，因此，如半圆弧圆心处的磁场：B=当然，圆心之外这个结论就不正确了。

一段圆弧形电流在圆心处产生的磁场就是圆电流在圆心产生磁场乘以(圆弧弧长与圆周长之比)。RIxp

dBrIdldBB23例题6-5直电流和圆电流的组合。圆心o:Bo=方向：垂直纸面向外。方向：垂直纸面向里。oRIIabcdIRroIabcdef24

电流I经圆环分流后,在中心o点产生的磁场为零。IIRoBCDAＩ1l1Ｉ2l2方向：垂直纸面向里。注:任何带电旋转体轴线上的磁场都可用环公式积分。25

例题6-6一均匀带电圆盘，半径为R，电荷面密度为

,绕通过盘心且垂直于盘面的轴以

的角速度转动，求盘心的磁场及圆盘的磁矩。解将圆盘分为若干个圆环积分。

带电圆环旋转时产生的电流强度为环上的电量盘心的磁场：.oR

q

Isrdr2r

o26线圈的磁矩:.oR

rdr方向：垂直纸面向里。Pm=NISn圆盘的磁矩:27

例题6-7一半径为R的均匀带电半圆弧，单位长度上的电量为

，绕其直径所在的直线以角速度

匀速转动，求圆心o处的磁场。

解半圆弧旋转起来，象一个球面，可划分为若干圆电流积分。

Ro

xro28注意到：r=Rsin

,

于是

Ro

d

xr建立如图所示的坐标系。29§6-4匀速运动点电荷的磁场

由毕—萨定律，电流元Idl在P点产生的磁场为I=qn

ds

设电流元Idl的横截面积为ds，导体单位体积内有n个带电粒子,每个粒子带有电量q，以速度

沿Idl的方向作匀速运动，则

Idl=qn

dsdl=q

.ndsdl

在电流元Idl内运动的带电粒子数为:dN=ndsdl。rPIdldsI一个运动电荷产生的磁场=30

例题6-8一电子以速度

=1.0×107m/s作直线运动,求该电子在与它相距r=10-9m的一点处产生的最大磁感应强度。解

由式(9-13)可知，磁场的最大值为于是一个运动电荷产生的磁场就是:Irp31§6-5安培环路定理

真空中,安培环路定理的数学表示式如下：

1.I内—是闭合路径l所包围的电流的代数和。

这就是说，B的环流完全由闭合路径l所包围的电流确定，而与未包围的电流无关。包围—以闭合路径l为边界的任一曲面上流过的电流。

电流的正负规律是:当闭合路径l的方向与电流方向呈右手螺旋关系时，电流I就取正号;反之,取负号。这个定理的表述为：在真空中，磁感应强度B沿任何闭合路径l的线积分(亦称B的环流)等于该闭合路径l所包围的电流强度的代数和的

o倍。32

即：右手拇指伸直,弯曲四指与闭合路径l的方向一致时,拇指的指向即为电流的正方向。lI1I2I3lII333.适用条件：稳恒电流(闭合电路)。

2.应该强调指出,安培环路定理表达式中右端的I内虽然只包括闭合路径l所包围的电流的代数和,但在式左端的B却是空间所有电流(闭合路径l内外的电流)产生的磁感应强度的矢量和。IIl34SI(圆面)0(曲面S)于是得B=0正确答案请见例题6-2。例如,对有限长直电流,P点磁场：rPI35

例题6-9设无限长圆柱体半径为R,电流I沿轴线方向,并且在横截面上是均匀分布的。求:(1)圆柱体内外的磁场；(2)通过斜线面积的磁通量。

解(1)由对称性可知，磁场方向为圆周切线方向，满足右手螺旋关系。

I内是以r为半径的圆面上流过电流的代数和。旋转对称选半径r的圆周为积分的闭合路径，如图9-26所示。

r是场点到轴线的距离;rBlIR由安培环路定理：36

设电流密度为J.r22r

o2r

oIrBlIR旋转对称37(2)通过斜线面积的磁通量:rBlIR2Rldrds38

例题6-10一长直圆柱体内有一长直柱形空腔，两轴线平行且相距a，柱体中的电流密度为J,求空腔中的磁场强度。

解空腔柱体的磁场可看作是两个流有反向电流J的实心长直柱体的叠加。or1B1由上题计算结果可知：+=JJo´r2B2r1aoo

Jpr2B1B239空腔中的场强:

可见，空腔中的磁场是一个匀强磁场：大小：

方向：y轴正方向(即垂直于连心线oo´)。r1aoo

Jpr2B1B2

1

2r1r2oo´axyB2B1

1

240

例题6-11一半径为a的长直圆柱体和一内外半径分别为b和c(a<b<c)的同轴长直圆筒通有等值反向电流I(电流在横截面内是均匀分布的)，如图所示，求空间的磁场分布。

解由安培环路定理：2r

oJ.r2I2r

o旋转对称××××I···bcaoI41

解

由对称性知,与螺线环共轴的圆周上各点磁感应强度的大小相等,方向沿圆周为切线方向。

例题6-12求载流螺线环的磁场分布。设螺线环环上均匀密绕N匝线圈,线圈中通有电流I,如图所示。

Iro由安培环路定理：l2r

o在环管内:B=NI42

对于管外任一点,过该点作一与螺线环同轴的圆周l1或l2为闭合路径，

Il1l2

由于这时I内=0，所以有B=0(在螺线环外)可见，螺线环的磁场集中在环内，环外无磁场。43

对载流长直密绕螺线管，若线圈中通有电流强度为I的电流,沿管长方向单位长度上的匝数为n，则由安培环路定理容易求得：管内：管外：B=0可见，管内是匀强磁场,而管外的磁场仍为零。BI44

例题6-13一均匀带电的长直柱面，半径为R，单位面积上的电量为

，以角速度

绕中心轴线转动，如图所示，求柱面内外的磁场。

解旋转的柱面形成圆电流，它和一个长直螺线管等效。

由长直螺线管的磁场可知，柱面外的磁场为零；而柱面内的磁场为=

o×单位长度上的电流强度

45§6-6磁场对运动电荷及电流的作用

一个电荷q在磁场B中以速度

运动时，该电荷所受的磁场力(也称为洛仑兹力)为1.洛仑兹力洛仑兹力的大小

f=q

Bsin

式中:

为电荷的运动方向与所在点磁场B的方向之间的夹角。洛仑兹力f的方向垂直于

和B组成的平面。若q>0,则f的方向与

B的方向相同;

若q<0,则f的方向与

B的方向相反。+q

fB

46

由于洛仑兹力的方向总是与电荷的运动方向垂直,所以洛仑兹力对运动电荷不作功。因此,洛仑兹力不能改变运动电荷速度的大小,只能改变速度的方向。(1)带电粒子在匀强磁场中的运动

因为洛仑兹力f=q

Bsin

=0，所以带电粒子在磁场中作匀速直线运动。

带电粒子作匀速率圆周运动。圆周运动的半径和周期分别为

BB

^47

与B有一夹角

此时带电粒子一方面以

⊥=

sin

在垂直于B的平面内作圆周运动,同时又以

=cos沿磁场B的方向作匀速直线运动。

这两种运动叠加的结果是粒子以B的方向为轴线作等螺距螺旋线运动(见图)。

B

=cos^

=sin48螺距半径周期

B

=cos^

=sin49磁聚焦示意图

尽管在P点电子束中电子的速度各不相同,但周期相同，所以它们散开在磁场中沿各自的螺旋线绕行一周后,都又会重聚于同一点P′。这就是磁聚焦的基本原理。它已广泛地应用于电真空器件中,特别是电子显微镜中。50

因为端部的磁场设计得比中部的强,带电粒子运动到端部附近时,就像在一个瓶子的颈部一样被收束得更细,加上带电粒子在非均匀磁场中所受的洛仑兹力总有一个指向磁场较弱方向的轴向分量,在这个分力的作用下,接近端部的带电粒子就像光线遇到镜面反射一样,又沿一定的螺旋线向中部磁场较弱部分返回。这样,高温等离子体中的带电粒子就被磁场约束在一定的区域内来回运动而不能逃脱。这就是所谓的磁塞效应和磁镜效应。磁约束

等粒子体的温度高达几千万度，甚至上亿度。51(2)霍耳效应

1879年,霍耳(A.H.Hall)发现下述现象:在匀强磁场B中放一板状金属导体,使金属板面与B的方向垂直,在金属板中沿着与磁场B垂直的方向通以电流I,则在金属板上下两个表面之间就会出现横向电势差VH(见图)。这种现象称为霍耳效应,VH称为霍耳电势差。

bIBa上下两个表面之间的电场用EH表示。产生霍耳效应的原因：金属中的自由电子受洛仑兹力的作用。VHfm

52

达到稳恒状态时，-eEH=-e

B即EH=

B

VH=EH.a=a

B

I=ne

ab

式中b是导体在磁场方向的厚度。霍耳效应不只在金属导体中产生,在半导体和导电流体(如等离子体)中也会产生。

得bIBaVHfm

539

金属导体中形成电流的载流子是带负电的自由电子；在N型半导体中的多数载流子仍是带负电的电子，但在P型半导体中的多数载流子却是带正电的空穴。

通过对霍耳电势差的实验测定,可判定半导体的类型,还可以计算出载流子的浓度。用霍耳效应来测磁场，是现在一个常用的比较精确的方法。有的金属(如Be,Zn,Cd,Fe等)会出现反常霍耳效应:其霍耳电势差的极性与载流子为正电荷的情况相同,好像这些金属中的载流子带正电似的。80年代又发现了在低温、强磁场条件下的整数量子霍耳效应(获1985年诺贝尔物理奖)和分数量子霍耳效应,这些现象用经典电子论无法解释,只能用量子理论加以说明。54

例题6-14在均匀磁场中，一电子经时间t=1.57×10-8s,从a沿半圆运动到b，a、b相距0.1m。求空间磁场的大小和方向，以及电子的运动速度。ab

解磁场方向：又由R=垂直纸面向里。T=55

例题6-15匀强磁场B只存在于x>0的空间中,且B垂直纸面向内,如图所示。一电子在纸面内以与x=0的界面成

角的速度

进入磁场。求电子在y轴上的入射点和出射点间的距离，以及y轴与电子在磁场中的轨道曲线包围的面积。

解电子进入磁场后，作圆运动，如图所示。

找出圆心o

，加辅助线o

A、o

B。

入射点和出射点间的距离:AB=2Rsin

y轴与轨道曲线包围的面积:

o

xyAB

Ro

56

例题6-16半导体的大小a×b×c=0.3×0.5×0.8cm3,

电流I=1mA(方向沿x轴),磁场B=3000Gs(方向沿z轴)，如图所示；测得A、B两面的电势差uA-uB=5mv,问:(1)这是P型还是N型半导体？(2)载流子浓度n=?

解(1)由A面比B面电势高，判定这是N型半导体。

(2)由公式代入I=10-3A,B=0.3T,b=0.3×10-2m,VH=5×10-3v,得：n=1.25×1020个/m3。IabcxyzBAB57

例题6-17如图所示，空间存在匀强电磁场：电场E沿y轴，磁场B沿z轴。将一点电荷+q在坐标原点静止释放，简述它将作什么样的运动。若轨道最高点P(x,y)处的曲率半径=2y，求：该电荷的最大速率。

解电荷+q受电场力的作用由静止开始运动，同时又受到洛仑兹力的作用，于是作旋轮线运动。在P点速率最大:=2y

因洛仑兹力不作功,所以解得：.fefmxP(x,y)Ez+qyB582.安培定律大小：dF=IdlBsin

方向：

即：dF的方向垂直于Idl和B组成的平面，指向由右手螺旋确定。对载流导体，可分为若干电流元积分：

IdlBF实验表明:电流元Idl

在磁场B中受的作用力(安培力)为59

对于放置在均匀磁场中长度为l的直载流导线,其所受的安培力为其大小：F=IlBsin

方向：I

Bab=Il×B60

例题6-18在均匀磁场B中有一段弯曲的导线ab,通有电流I,求此段导线受的磁场力。

解弯曲导线ab可分为若干电流元积分：

可见,在匀强磁场中,弯曲导线受的磁场力等于从起点到终点的直导线所受的磁场力。力的大小：F=IlBsin

力的方向:垂直纸面向外。

IBabIdll直载流导线受的安培力:61又如，匀强磁场中的导线：圆弧受的力：力的方向垂直纸面向外。RBaboIoRIabB直载流导线受的安培力:圆弧受的力：62

例题6-19如图所示，无限长直电流I1和线段AB(AB=L,通有电流I2)在同一平面内,求AB受的磁力及对A点的磁力矩。

解由于每个电流元受力方向相同(如图示)，由公式dF=IdlBsin

得M=I2I1d

ABdFxdx63

例题6-20将半径R的圆电流I1置于无限长直电流I2的磁场中,长直导线与圆电流直径重合且相互绝缘,求圆电流I1所受的磁力。

解在圆电流上取电流元I1dl,

由对称性可知，圆环受的合力沿x轴的正方向,而大小为F=xyoI1I2dF

xRyI1dldFI1dl此电流元受磁力的方向沿半径指向圆外,其大小为643.磁场作用于载流线圈的力矩

一N匝的刚性矩形平面载流线圈处于匀强磁场中，如图所示，求它受的力和力矩。f1f2f2´由F=IlBsin

，

可知：ab:f1=bc：f2=NIl2B,方向垂直纸面向外;da：f2´=NIl2B,方向垂直纸面向内。可见，ab和cd