新课标人教A版高中数学数列

1．观察以下几个例子：（1）钢管自上而下排列成一列数

4，5，6，7，8，9，10

（2）正整数1，2，3，4，…,的倒数排列成一列数:1,1/2,1/3,1/4,…

（3）精确到1，0.1，0.01，0.001，…不足近似值排列成一列数：1，1.4，1.41，1.414，…

（4）-1的1次幂，2次幂，4次幂，…排列在一列数:-1,1,-1,1,…

（5）无穷多个1排列成一列数：1，1，1，1，…数列的定义：按一定次序排列的一列数叫做数列，数列中的每一个数都叫做这个数列的项，各项依次叫做这个数列的第1项（或首项），第2项，…，第n项，…

数列的一般形式可以写成a1,a2,a3,…an,….其中an是数列的第n项。简记作｛an｝。判断题（1）“1，2，3，4，5，6”与“6，5，4，3，

2，1”是同一数列（）（2）“1，2，2，3，3，3”不是数列（）（二）①若an＋1＞an，对任意的正整数n都成立，则｛an｝称为递增数列;②若an＋1＜an，对任意的正整数n都成立，则｛an｝称为递减数列；③若an＋1＝an，对任意的正整数n都成立，则｛an｝称为常数数列。④摆动数列数列的分类（一）①有穷数列；②无穷数列。1

.若an=an-1－3,则｛an｝是单调递_______数列∵an－an-1=－3＜0∴｛an｝是递减A.递增数列B.递减数列C.摆动数列D.不确定以数列（1）为例，说明数列是一个序号集合与另一个数的集合的映射。序号：

1，2，3，4，5，6，745678910x+3数列的通项公式：如果数列｛an｝的第n项an与序号n之间的关系可以用一个公式来表示，那么这个公式叫做这个数列的通项公式。例1写出下面数列的一个通项公式，使它的前4项分别是下列各数：（2）2，0，2，0；优点：不需要计算就可以直接看出与项相对应的关系列表法：图像法优点：能直接形象地表示出随着项数的变化，相应项变化的趋势，直观明了根据下列各组数，写出它的一个通项公式通项公式的优点：①简明、全面地概括了项数与项的关系；②可以通过通项公式求出任意项的值a1=4a2=5=a1+1a3=6=a2+1…………an=an-1+1（2≤n≤7）定义：已知数列｛an｝的第1项（或前几项），且任意一项an与前一项an-1（或前几项）间的关系可以用一个公式来表示，那么这个公式叫做数列的递推公式解：a1=1,通项公式与递推公式的异同3.Sn法：若数列的前n项和记为Sn,即

Sn=a1+a2+a3+……+an-1+anSn-1∴当n≥2时，有an=Sn－Sn-1例3.已知｛an｝的前n项和Sn=n2＋n－2,求an.

解：当n≥2时，an=Sn－Sn-1=n2＋n－2－(n－1)2－(n－1)＋2=2n当n=1时，a1=01.若Sn=n2－1，求an2.若Sn=2n2－3n，求an练习1.a1+(a2-a1)+(a3-a2)+…+(an-an-1)=________

若an=an-1+2(n≥2)，a1=1,则an=________2.a1×(a2／a1)×(a3／a2)×…×(an／an-1)=____________若an+1／an=2，a1=1,则an=___________3.若Sn=3n－2,则an=____________

an2n－1an2n－1例2.已知，求证：｛an｝是单增的∴an+1＞an，即｛an｝是单增的1

.若an=an-1－3,则｛an｝是单调递_______数列∵an－an-1=－3＜0∴｛an｝是递减A.递增数列B.递减数列C.摆动数列D.不确定根据下列各组数，写出它的一个通项公式例3.已知｛an｝的前n项和Sn=n2＋n－2,求an.

解：当n≥2时，an=Sn－Sn-1=n2＋n－2－(n－1)2－(n－1)＋2=2n当n=1时，a1=01.若Sn=n2－1，求an2.若Sn=2n2－3n，求an练习等差数列的定义：一般地，如果一数列从第二项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，公差常用字母d表示。1．观察以下几个数列：①4，5，6，7，8，9，10；②3，0，-3，-6，…；③1/10，2/10，3/10，4/10，…2．判断题：①数列a，2a，3a，4a，…是等差数列。（

）②数列３，３，３，3，…是等差数列。（）③若an－an+1=3(n∈N*)，则{an}是公差为3的等差数列。（）④若a2－a1=a3－a2,则数列｛an｝是等差数列（）

1、等差数列要求从第2项起，后一项与前一项作差。不能颠倒。

2、作差的结果要求是同一个常数。可以是整数，也可以是０和负数。对等差数列的定义的理解1．如果一个数列，不是从第2项起，而是从第3项起或第4项起，每一项与它前一项的差是同一个常数，那么这个数列不是等差数列．

2．一个数列从第2项起，每一项与它前一项的差尽管等于常数，这个数列也不一定是等差数列，因为这些常数不一定相同．当这些常数不同时，此数列不是等差数

3．求公差时，要注意相邻两项相减的顺序d=an+1-an

或d=an-an-1(n≥2)4.要判断一个数列是不是等差数列，只要看对于任意正整数n，an-an-1，是不是通一个常数，切记不可通过计算a2-a1,a3-a2等有限的几个式子的值后，发现它一个常数，就得出该数列为等差数列的结论等差中项

观察如下的两个数之间，插入一个什么数后者三个数就会成为一个等差数列：（1）2，，4（2）-1，，5（3）-12，，0（4）0，，032-60

如果在a与b中间插入一个数A，使a，A，b成等差数列，那么A叫做a与b的等差中项。3、由定义归纳通项公式a2－a1=d，a3－a2=d，a4－a3=d，……则a2=a1+da3=a2+d=a1+2da4=a3+d=a1+3d……由此得到an=a1+(n－1)dan－1－an－2=d,an

－an－1=d.这（n－1）个式子迭加an－a1=(n－1)d当n=1时，上式两边均等于a1，即等式也成立的。这表明当n∈N*时上式都成立，因而它就是等差数列{an}的通项公式。等差数列的通项公式an=a1+(n-1)d

中，an,a1,n，d这四个变量，知道其中三个量就可以求余下的一个量。等差数列的的例题1-2例1求等差数列8，5，2，…，的第20项。解:例2-401是不是等差数列-5，-9，-13，…的项？如果是，是第几项？解：因此，解得答：这个数列的第100项是-401.

解：由题意可得

a1+5d=12(1)﹛a1+17d=36(2)∴d=2a1=2∴an=2+(n-1)×2=2n

此题解法是利用数学的函数与方程思想，函数与方程思想是数学几个重要思想方法之一，也是高考必考的思想方法，应熟悉并掌握。

例3：在等差数列{an}中，已知a6=12，a18=36,求首项a1，公差d及通项an。

分析：此题已知a6=12，n=6；a18=36,n=18分别代入通项，公式an=a1+(n-1)d中

，可得两个方程，都含a1与d两个未知数组成方程组，可解出a1与d。***********评注：补充:直角三角形的三边a,b,c成等差数列（c为斜边），则a:b:c=_____.例2

某市出租车的计价标准为1.2元/千米，起步价为10元，即最初的4千米（不含4千米）计费10元。如果某人乘坐该市的出租车去往14千米处的目的地，且一路畅通，等候时间为0，需要支付多少车费？解：根据题意，当该市的出租车的行程大于或等于4千米时，每增加1千米，乘客需要支付1.2元。所以，我们可以建立一个等差数列来计算车费。令，表示4千米处的车费，公差d=1.2，那么，当出租车行至14千米处时，n=11,此时需要支付车费

（元）答：需要支付车费23.2元。例3已知数列的通项公式为，其中p,q为常数，且，那么这个数列一定是等差数列吗？分析：判断是不是等差数列，可以利用等差数列的定义，也就是看是不是一个与n无关的常数解：取数列中的任意相邻两项求差得它是一个与n无关的数，所以是等差数列（1）数列：-2，0，2，4，6，8，10，…12345678910123456789100●●●●●●●

当p不为零时，等差数列的图象是直线y=px+q上的均匀排开的一群孤立的点。当p是零时，等差数列的图象是平行于x轴的直线（或x轴）上的均匀分布的一群孤立的点。结论：如果一个数列的通项公式是关于正整数n的一次函数，那么这个数列一定是等差数列an=pn+q的图像其实就是一次函数y=3x-5当x在正整数范围内取值时相应的点的集合，斜率p是等差数列的公差上面的命题中的等式两边有相同数目的项，如a1+a2=a3成立吗？【说明】3.更一般的情形，an=，d=等差数列的性质11.{an}为等差数列

2.a、b、c成等差数列

an+1-an=dan+1=an+dan=

a1+(n-1)dan=kn+b（k、b为常数）am+(n-m)db为a、c的等差中项AA2b=a+c4.在等差数列{an}中，由m+n=p+qam+an=ap+aq

例2.在等差数列{an}中(1)已知a6+a9+a12+a15=20，求a1+a20例题分析(2）已知a3+a11=10，求a6+a7+a8分析：由a1+a20

=a6+a15=a9+a12及a6+a9+a12+a15=20，可得a1+a20=10分析：a3+a11=a6+a8=2a7，又已知a3+a11=10，∴a6+a7+a8=（a3+a11）=15等差数列的性质21.2.3.例：3．等差数列通项的设法

(1)通项法：设数列的通项公式，即设an=a1+(n-1)d

(2)对称项设法：当等差数列{an}的项数为奇数时，可设中间一项为a，再以公差为d向两边分别设项为：

…,a-2d,a-d,a,a+d,a+2d,…

当等差数列{an}的项数为偶数时，可设中间两项分别为a-d，a+d，再以公差为2d向两边分别设项为，

…,a-3d,a-d,a+d,a+3d,…

对称项设法的优点：若有n个数构成等差数列．利用对称项设出这个数列，则其各项和为na．练习：在等差数列{an}中，已知项数m,n,p成等差数列，试问：am,an,ap是否也组成等差数列?三数成等差数列，它们的和为12，首尾二数的积为12，求此三数.已知{an}为等差数列且a4+a5+a6+a7=56，a4a7=187，求公差d.高斯的故事

高斯上小学时，有一次数学老师给同学们出了一道题：计算从1到100的自然数之和。那个老师认为，这些孩子算这道题目需要很长时间，所以他一写完题目，就坐到一边看书去了。谁知，他刚坐下，马上就有一个学生举手说：“老师，我做完了。”老师大吃一惊，原来是班上年纪最小的高斯。老师走到他身边，只见他在笔记本上写着5050，老师看了，不由得暗自称赞。为了鼓励他，老师买了一本数学书送给他。思考：现在如果要你算，你能否用简便的方法来算出它的值呢？？100＋99＋98＋…＋2＋1n＋(n-1)＋(n-2)＋…＋2＋1？问题1如图，建筑工地上一堆圆木，从上到下每层的数目分别为1，2，3，……，10.问共有多少根圆木？请用简便的方法计算.？问题2数列前n项和的意义

数列｛an

｝：a1，a2，a3，…，an

，…我们把a1＋a2＋

a3＋

…＋

an叫做数列｛an

｝的前n项和，记作Sn这节课我们研究的问题是：(1)已知等差数列｛an

｝的首项a1，项数n，第n项an，求前n项和Sn的计算公式；(2)对此公式进行应用。设等差数列｛an｝的前n项和为Sn，即

Sn=a1+a2+…+an=a1+(a1+d)+…+[a1+(n-1)d]

又Sn=an+(an-d)+…+[an-(n-1)d]∴2Sn=(a1+an)+(a1+an)+…+(a1+an)=n(a1+an)此种求和法称为倒序相加法n个思考：若已知a1及公差d，结果会怎样呢？公式的推导设若a1、d是确定的，那么上式可写成Sn=An2+Bn若A≠0（即d≠0）时，Sn是关于n的二次式且缺常数项。等差数列的前n项和公式的其它形式分析公式的结构特征例:等差数列－10,－6,－,2,…的前多少项的和为54？解：设题中的等差数列是｛an｝，前n项和为Sn.则a1＝－10，d＝－6－（－10）＝4，Sn＝54.由等差数列前n项和公式，得解得n1＝9，n2＝－3（舍去）.因此，等差数列的前9项和是54.举例1.an＝？an=4n-14Sn=2n2-12n2.Sn呢？nSnO6nanOan=4n-14Sn=2n2-12nSn的深入认识课外探索1、已知等差数列16，14，12，10，…

(1)前多少项的和为72？

(2)前多少项的和为0？

(3)前多少项的和最大？

2、求集合的元素个数，并求这些元素的和.解：所以集合M中的元素共有14个.将它们从小到大列出，得即7，14，21，28，…，98这个数列是成等差数列，记为答：集合M共有14个元素，它们的和等于735.3、已知一个直角三角形的三条边的长成等差数列，求证它们的比是3：4：5.证明：将成等差数列的三条边的长从小到大排列，它们可以表示为

a-d,a,a+d(这里a-d>0,d>0)由勾股定理，得到解得从而这三边的长是3d,4d,5d,因此，这三条边的长的比是3：4：5解得a1=0.2，d=0.2a51+a52+…+a80=S80-S50例3.在等差数列｛an｝中，a4=0.8,a11=2.2,

求a51+a52+…+a80=30a1+1935d=30×0.2+1935×0.2=393解：∵a6+a15=a9+a12=a1+a20∴a1+a20=10∴S20=(1／2)(a1+a20)×20=100例4.在等到差数列｛an｝中，a6+a9+a12+a15=20,

求S20变式：在等差数列｛an｝中1.已知a1－a4－a8－a12+a15=2，则S15=_____－30已知a1+a2+…+a4=40,an+an-1+…an-3=80，Sn=720则n=___1.已知（1）1，2，22，23，…观察下列数列，说出它们的

特点从第二项起，每一项与前一项的比都等于2定义：如果一个数列从第二起，每一项与它的前一项的比都等于同一个常数，那么这个数列就叫做等比数列

这个常数叫做公比，记为q(q≠0)数学语言：特征：（1）每项均不为0，且q≠0

（2）各项均为负数，或，均为正数，或，

正负相间1.已知等比数列{an}：(1)an

能不能是零？

；(2)公比q能不能是1？2.用下列方法表示的数列中能确定是等比数列的是

.①已知a1=2，an=3an+1；②1，2，4，……；③a，a，a，……，a；④1，-1，1，……，(-1)n+1；⑤sin1，sin2，sin4，sin8，……，sin2n-1；⑥2a，2a，2a，……，2a3.什么样的数列既是等差数列又是等比数列？不能能√√√×××非零的常数列①④⑥课堂练习通项公式的推导：n－1个即通项公式为：an=a1qn-1如果在a与b中间插一个数G，使a，G，b成等比数列，那么G叫做a与b的等比中项。即G2=a·b(a·b>0)注意：（1）同号两数才有等比中项；（2）等比中项有两个，它们互为相反数；（3）若三个数成等比数列，则可设这三个数分别为a／q，a，aq若三个数为x,2x+2,3x+3成等比数列，则x=__1.在等比数列{an}中，是否有?2.如果数列{an}中，对于任意的正整数n(n≥2)，都有那么，{an}一定是等比数列吗?1。在等比数列｛an｝中，（1）若a4=5,a8=6,则a2a10=______，a6=______2。已知｛an｝是等比数列，an＞0且a2a4+2a3a5+a4a6=25，那么a3+a5的值等于（）

A.5B.10C.15D.201.三角形的三边成等比数列，求公比q的取值范围.解：设三边为：a,aq,aq2(a,q>0)，则解(1)得：解(2)得：解(3)得：qR求它们的交集故公比q的取值范围：小结：等比数列{an}的三种判定方法思考题：已知四个数，前三个数成等比数列，它们的和19，后三个数成等差数列，它们的和12，求这四个数1.三角形的三边成等比数列，求公比q的取值范围.解：设三边为：a,aq,aq2(a,q>0)，则解(1)得：解(2)得：解(3)得：qR求它们的交集故公比q的取值范围：小结：等比数列{an}的三种判定方法思考题：已知四个数，前三个数成等比数列，它们的和19，后三个数成等差数列，它们的和12，求这四个数性质：（1）an=amqn-m（2）若m+n=p+k，则am·an=ap·ak,（1）若a1a9=64，且a3+a7=20，则a11=________（2）若a7·a12=5，则a8·a9·a10·a11=_________A.成等差数列不成等比数列B.成等比数列不成等差数列C.成等差数列又成等比数列D.既不成等差数列又不成等比数列A.等比数列，但不是等差数列B.等差数列，但不是等比数列C.等差数列，而且也是等比数列D.非等差数列又非等比数列所以{bn}是以3为首项，2为公比的等比数列设等比数列{an}，判断下列结论的正误(10)等比数列的增减性：

当q>1，a1>0或0<q<1，a1<0时,{an}是递增数列

当q>1，a1<0或0<q<1，a1>0时,{an}是递减数列当q=1时，{an}是常数数列

当q<0时，{an}是摆动数列已知(b-c)logmx+(c-a)logmy+(a-b)logmz=0(1)设a,b,c等差数列，且公差不为零，求证：x,y,z成等比数列(2)设正数x,y,z成等比数列，且公比不为1求证：a,b,c成等差数列典例1：在1与2之间插入n个正数a1，a2，a3，…，an，使这n+2个数成等比数列；又在1与2之间插入n个正数b1，b2，b3，…，bn，使这n+2个数成等差数列．记An＝a1a2a3…an，Bn＝b1+b2+b3+…+bn．求数列{An}和{Bn}的通项典例2设数列{an}的首项a1＝t，前n项和Sn满足；5Sn-3Sn-1＝3，(n≥2，n∈N)是否存在常数t，使得数列{an}为等比数列，若存在，求出t的值，若不存在，请说明理由典例3三个互不相等的数成等差数列，如果适当排列这三个数，也可以成等比数列，已知这三个数的和等于6，求此三数．典例4已知正项等比数列{an}中，a1a5+2a2a6+a3a7＝100，a2a4-2a3a5+a4a6=36求数列的通项公式1.已知数列lgx+lgx2+lgx3+…+lgx10=110，求lgx+lg2x+lg3x+…+lg10x.2046等比数列的前n项和复习的通项公式：2.等比数列1.等比数列的定义：成等比数列3.(n≥2).

传说在古代印度，国王要奖赏国际象棋的发明者,发明者说：“请在棋盘的第1个格子里放上1颗麦粒，在第2个格子里放上2颗麦粒，在第3个格子里放上4颗麦粒，在第4个格子里放上8颗麦粒，依此类推，每个格子里放的麦粒数都是前一个格子里放的麦粒数的2倍，直到第64个格子。请给我足够的粮食来实现上述要求”。国王觉得并不难，就欣然同意了他的要求。你认为国王有能力满足发明者的要求吗？分析：由于每个格子里的麦粒数都是前一个格子里的麦粒数的2倍，且共有64个格子，各个格子里的麦粒数依次是棋盘与麦粒于是发明者要求的麦粒总数就是问题：求以1为首项,2为公比的等比数列的前64项的和两边同乘公比２，得将上面两式列在一起，进行比较①②②－①，得说明：超过了1.84,假定千粒麦子的质量为40g,那么麦粒的总质量超过了7000亿吨。所以国王是不可能同意发明者的要求。⑴×q, 得⑵⑴－⑵，得由此得q≠1时，等比数列的前n项和设等比数列它的前n项和是⑴即说明：这种求和方法称为错位相减法当q≠1时，∵∴显然，当q=1时，(q=1).(q≠1).等比数列的前n项和表述为：证法一：Sn=a1+a2+…+an=a1+a1q+a1q2+…+a1qn-2+a1qn-1……①qSn=a1q+a1q2+…+a1qn-1+a1qn……②①-②得Sn-qSn=a1-a1qn证法二：Sn=a1+a1q+a1q2+…+a1qn-2+a1qn-1

=a1+q(a1+a1q+…+a1qn-2)=a1+q(Sn-an)证法三：解:(1)由n=8，得练习1根据下列条件，只需列出等比数列的的式子⑴⑵⑶等比数列从第5项到第10项的和为或例2某商场今年销售计算机5000台，如果平均每年的销售量比上一年的销售量增加10%，那么从今起，大约几年可使总销售量达到30000台(结果保留到个位)？分析：第1年产量为5000台第2年产量为5000×(1+10%)=5000×1.1台第3年产量为5000×(1+10%)×(1+10%)……第n年产量为则n年内的总产量为：

解：由题意,从第1年起,每年的销售量组成一个等比数列其中∴即两边取常用对数，得∴(年)答：约5年可以使总销售量量达到30000台例2某商场今年销售计算机5000台，如果平均每年的销售量比上一年的销售量增加10%，那么从今起，大约几年可使总销售量达到30000台(结果保留到个位)？小结(q=1).(q≠1).1.已知则(q=1).(q≠1).已知则2.对含字母的题目一般要分别考虑q=1和q≠1两种情况。填表数列 等差数列 等比数列

前n

项和公式

推导方法 SS【注意】在应用等比数列的前n项和公式时考虑

.倒序相加错位相减公比是否为11.已知数列前n项和sn=2n-1，则此数列的奇数项的前n

项的和是