【数学】2023-2024学年高二上人教A版（2019）选择性必修一 用空间向量研究直线、平面的位置关系课件

1.4.1用空间向量研究直线、平面的位置关系1.空间中点、直线和平面的向量表示1.4空间向量的应用高二数学

选择性必修

第一册

牌楼与牌坊类似，是中国传统建筑之一，最早见于周朝.在园林、寺观、宫苑、陵墓和街道常有建造.旧时牌楼主要有木、石、木石、砖木、琉璃几种，多设于要道口.牌楼中有一种有柱门形构筑物，一般较高大.如图，牌楼的柱子与地面是垂直的，如果牌楼上部的下边线与柱子垂直，我们就能知道下边线与地面平行.这是为什么呢？导语问题1

利用空间向量解决立体几何问题的关键是什么？新知导入空间向量立体几何对应关系点、直线、平面点的位置向量Po

问题2

如何用空间向量表示空间中的一个点P？直线的方向向量几何表示定点A＋一个方向确定一条直线l向量表示定点A＋方向向量

点P在直线l上充要条件PaAB问题3

如何用空间向量表示空间中的直线l？

问题3

如何用空间向量表示空间中的直线l？取定空间中任一点O，有即

①②alPBAO上式都称为空间直线的向量表示式.空间任意直线由直线上一点A及直线的方向向量a唯一确定.∴点A和向量a不仅能确定直线l的位置，还可以表示出直线

l上的任意一点.平面的向量表示式

问题4

如何用空间向量表示平面α？点O与向量a，b不仅可以确定平面α，还可以具体表示出α的任意一点.

我们把上式称为空间平面

ABC的向量表示式.由此可知，空间中任意平面由空间一点及两个不共线向量唯一确定.追问

空间中一点位于平面ABC内的充要条件？平面的法向量

追问

如何用一个向量表示空间中的平面α？例1

(1)已知直线l的一个方向向量m＝(2，－1,3)，且直线l过A(0，y,3)和B(－1,2，z)两点，则y－z等于√典例讲解解析∵A(0，y,3)和B(－1,2，z)，∵直线l的一个方向向量为m＝(2，－1,3)，∴y－z＝0.(2)在如图所示的坐标系中，ABCD－A1B1C1D1为正方体，棱长为1，则直线DD1的一个方向向量为________，直线BC1的一个方向向量为__________________.(0,0,1)(0,1,1)(答案不唯一)故直线DD1的一个方向向量为(0,0,1)；故直线BC1的一个方向向量为(0,1,1).跟踪训练1

(1)(多选)若M(1,0，－1)，N(2,1,2)在直线l上，则直线l的一个方向向量是A.(2,2,6) B.(1,1,3)C.(3,1,1) D.(－3,0,1)√√故向量(1,1,3)，(2,2,6)都是直线l的一个方向向量.巩固练习(2)从点A(2，－1,7)沿向量a＝(8,9，－12)的方向取线段长

＝34，则B点的坐标为A.(18,17，－17) B.(－14，－19,17)√解析设B点坐标为(x，y，z)，即(x－2，y＋1，z－7)＝λ(8,9，－12)，所以x＝18，y＝17，z＝－17.典例讲解例2

证明“平面与平面平行的判定定理”：若一个平面内的两条相交直线与另一个平面平行，则这两个平面平行。例3在长方体中,AB=4，BC=3,=2,M是AB的中点.以D为原点,DA,DC,

所在直线分别为x轴、y轴、z轴,建立如图所示的空间直角坐标系.（1）求直线CD的方向向量；（2）求平面