四川省仁寿第一中学校（北校区）2023-2024学年高三上学期9月月考理科数学试题

仁寿一中北校区2021级高三上学期9月月考试题理科数学本试卷共4页，全卷满分150分，考试时间120分钟．2023年9月一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，每个小题仅有一个正确选项．1.（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】利用复数的乘法可求.【详解】，故选：D.2.已知集合，，那么等于（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】根据补集的运算，可得答案.【详解】由题意，，则.故选：B.3.设数列是等差数列，是数列的前n项和，，，则等于（）A.10 B.15 C.20 D.25【答案】B【解析】【分析】根据给定条件求出等差数列的首项及公差即可得解.【详解】因数列是等差数列，由等差数列的性质知：，而，则，等差数列公差，首项，则.故选：B.4.若实数，满足，则的最大值为（）A.8 B.7 C.2 D.1【答案】B【解析】【分析】由约束条件作出可行域，再结合图象求出目标函数的最值.【详解】由约束条件作出可行域，如图：联立，解得由，得，为直线的纵截距.由图可知，当直线过点时，直线的纵截距最大，且.故选：B.5.已知直线m，n及平面，则“”是“”的（）A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件 D.既不充分也不必要条件【答案】B【解析】【分析】由充分条件与必要条件求解即可【详解】由题意可知：当时，与可能平行，也可能相交，故充分性不成立；当时，成立，故必要性成立；所以“”是“”的必要不充分条件，故选：B6.已知函数，则下列结论正确的是（）A.函数是偶函数 B.函数是增函数C.函数是周期函数 D.函数的值域为【答案】D【解析】【分析】根据偶函数的定义、余弦函数的性质、二次函数的性质，可得答案.【详解】对于A，当时，，，故A错误；对于B，由余弦函数的性质，易知函数在上不单调，故B错误；对于C，由二次函数的性质，易知函数在上为增函数，故C错误；对于D，由，且当时，，则，故D正确.故选：D.7.已知，都为锐角，，，则等于（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】由同角三角函数的基本关系可得和，代入，计算可得．【详解】解：，都是锐角，，，，，故选：A．8.已知圆柱的高为1，它的两个底面的圆周在直径为2的同一个球的球面上，则该圆柱的体积为（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】设圆柱的底面半径为，利用勾股定理求出，再根据圆柱的体积公式计算可得.【详解】设圆柱底面半径为，则，解得或（舍去），所以圆柱的体积.故选：C9.设，则的大小关系为（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】利用指数函数与对数函数的性质，即可得出的大小关系.【详解】因，，，所以.故选：D.【点睛】本题考查的是有关指数幂和对数值的比较大小问题，在解题的过程中，注意应用指数函数和对数函数的单调性，确定其对应值的范围.比较指对幂形式的数的大小关系，常用方法：（1）利用指数函数的单调性：，当时，函数递增；当时，函数递减；（2）利用对数函数的单调性：，当时，函数递增；当时，函数递减；（3）借助于中间值，例如：0或1等.10.若两个正实数x，y满足，且不等式有解，则实数m的取值范围是（）A. B.C. D.【答案】D【解析】【分析】根据题意，将变形可得，由基本不等式的性质可得的最小值为2，由题意得，解不等式即可得答案．【详解】根据题意，两个正实数x，y满足，变形可得，即则有，当且仅当时，等号成立，则的最小值为2，若不等式有解，则有，解可得或，即实数m的取值范围是．故选：D．11.四名同学各掷骰子5次，并各自记录每次骰子出现的点数，分别统计四名同学的记录结果，可以判断出一定没有出现点数6的是（）A.平均数为3，中位数2 B.中位数为3，众数为2C.中位数为3，方差为 D.平均数为2，方差为【答案】D【解析】【分析】根据题意举出特例，结合中位数，众数，平均数以及方差公式，即可得出答案．【详解】对于A，当投掷骰子出现结果为1，1，2，5，6时，满足平均数为3，中位数为2，可以出现点数6，故A错误；对于B，当投掷骰子出现结果为2，2，3，4，6时，满足中位数为3，众数为2，可以出现点数6，故B错误；对于C，当投掷骰子出现结果为1，2，3，3，6时，满足中位数为3，平均数为：，方差为，可以出现点数6，故C错误；对于D，若平均数为2，且出现6点，则方差，则平均数为2，方差为时，一定没有出现点数6，故D正确．故选：D．12.设函数（其中为自然对数的底数），若存在实数a使得恒成立，则实数m的取值范围是（）A. B.C. D.【答案】A【解析】【分析】由题意可得，令，函数和函数的图象，一个在直线上方，一个在直线下方，等价于一个函数的最小值大于另一个函数的最大值，即可得出答案．【详解】函数的定义域为，由，得，所以，令，由题意知，函数和函数的图象，一个在直线上方，一个在直下方，等价于一个函数的最小值大于另一个函数的最大值，由，得，所以当时，单调递增，当时，单调递减，所以，没有最小值，由，得，当时，在上单调递增，在上单调递减，所以有最大值，无最小值，不合题意，当时，在上单调递减，在上单调递增，所以，所以即，所以，即m的取值范围为．故选：A．二、填空题：共4小题，每小题5分，满分20分．13.展开式中项的系数为___________（用数字作答）【答案】【解析】【分析】根据二项式展开式的通项公式计算出正确答案.【详解】展开式的通项公式为，令得，所以展开式中项的系数为.故答案为：14.已知向量，满足，，则向量与的夹角为________．【答案】####【解析】【分析】根据条件求出的坐标，然后可得答案.【详解】因为，，所以所以所以向量与的夹角为故答案为：15.已知为偶函数，当时，，则曲线在点处的切线方程是__________．【答案】【解析】【详解】试题分析：当时，，则．又因为为偶函数，所以，所以，则切线斜率为，所以切线方程为，即．【考点】函数的奇偶性与解析式，导数的几何意义．【知识拓展】本题题型可归纳为“已知当时，函数，则当时，求函数的解析式”．有如下结论：若函数为偶函数，则当时，函数的解析式为；若为奇函数，则函数的解析式为．16.设函数，有下列结论：①的图象关于点中心对称；②的图象关于直线对称；③在上单调递减；④在上最小值为，其中所有正确的结论是______．【答案】②③【解析】【分析】整理化简解析式可得，根据正弦函数的相关性质逐一进行判断即可．【详解】，当时，，则的图象关于点中心对称，故①错误；当时，，则的图象关于直线对称，故②正确；由，得，当即时，函数单调递减，则当时，函数单调递减，故③正确；当时，，可知函数在上单调递增，∴的最小值为，故④错误．故答案为：②③．三、解答题：共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第1721题为必考题，每个试题考生必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答．17.等比数列中，.（1）求的通项公式；（2）记为的前项和若，求.【答案】（1）或（2）【解析】【分析】（1）根据题意求出公比，再根据等比数列的通项即可得解；（2）根据等比数列前项和公式计算即可.【小问1详解】设公比为，由，得，解得，所以或；【小问2详解】当时，，解得，当时，，即，方程无解，综上所述，.18.在中，角的对边分别为，且.（1）求的值；（2）若面积为，且，求的周长.【答案】（1）；（2）【解析】【分析】（1）由已知条件结合余弦定理可求cosA的值，进而根据同角三角函数基本关系式可求sinA的值．（2）利用三角形的面积公式可求bc的值，由正弦定理化简已知等式可得b＝3c，解得b，c的值，根据余弦定理可求a的值，即可求解三角形的周长．【详解】（1）∵，∴由余弦定理可得2bccosA＝bc，∴cosA＝，∴在△ABC中，sinA＝＝．（2）∵△ABC的面积为，即bcsinA＝bc＝，∴bc＝6，又∵sinB＝3sinC，由正弦定理可得b＝3c，∴b＝3，c＝2，则a2＝b2+c2﹣2bccosA＝6，，所以周长为.【点睛】本题主要考查了余弦定理，同角三角函数基本关系式，三角形的面积公式，正弦定理在解三角形中的综合应用，考查了计算能力和转化思想，属于中档题．19.如图，在四棱锥中，⊥平面，，，，，是的中点，在线段上，且满足．（1）求证：平面；（2）求二面角的正弦值．【答案】（1）证明见解析（2）【解析】【分析】(1)构造平行四边形找到平行线，利用线面平行的判定定理即可；(2)建立空间直角坐标系，根据空间向量计算二面角的余弦值，进而求正弦值；【小问1详解】如图，取的中点为，连接,因为为的中点，所以,所以四边形为平行四边形，所以,因为平面，平面，所以平面，【小问2详解】以为原点，所在直线为轴，建立如图所示空间直角坐标系，则,设，所以因为，所以，解得，所以，设平面和平面的法向量分别为所以,即，令，则有，所以同理,即，令，则有，所以设二面角为，则，.所以面角的正弦值.20.200人，对其选科情况进行统计，选考物理的占，选考政治的占，物理和政治都选的有80人.（1）完成选考物理和政治的人数的列联表，并判断是否可以在犯错误概率不超过的前提下，认为考生选考物理与选考政治有关？选考政治的人数没选考政治的人数合计选考物理人数没选考物理的人数合计（2）在该地区已选科的考生中随机选出3人，这3人中物理和政治都选了的考生的人数为X，视频率为概率，求X的分布列和数学期望.附：参考数据和公式：，其中.【答案】（1）列联表见解析，可以（2）分布列见解析，【解析】【分析】（1）根据题意完成列联表，再计算出与比较即可得出判断；（2）因为任取一人物理和政治都选了的概率，且，所以根据二项分布的概率计算公式列出分布列计算数学期望即可.【小问1详解】根据题意，选考物理的考生有人，选考政治的考生有人，列联表补充完整如下：选考政治的人数没选考政治的人数合计选考物理的人数8040120没选考物理的人数701080合计15050200因为，所以在犯错误概率不超过的前提下，可以认为考生选考物理与选考政治有关.【小问2详解】在该地区已选科的考生中随机选出1人，则物理和政治都选了的概率，易知，随机变量服从二项分布，即，所以可取0，1，2，3，，，，.分布列如下：0123则.21.已知函数（其中为自然对数的底数）.（1）讨论函数的导函数的单调性；（2）设，若x＝0为g（x）的极小值点，求实数a的取值范围.【答案】（1）答案见解析；（2）.【解析】【分析】（1）先求导，再对利用导数分两种情况求函数的单调区间；（2）求出，令，则，令，再对分两种情况讨论分析得解.【小问1详解】解：，令，则，①当时，，②当时，时，，时，；综上，当时，在上是增函数；当时，在上是增函数，在上是减函数；【小问2详解】解：，则，，令，则，令，则，当时，，，故，是减函数，所以.①当，即时，，即在上是减函数，不符合是极小值，舍去；②当，即时，因为是减函数，且，，所以，使得，当时，，即是增函数，所以，即在上是增函数；当时，，使得，是减函数，故，从而是增函数，所以，即在上是减函数.综上，的取值范围是.（二）选考题：共10分，请考生在第22、23题中任选一题作答．如果多选，那么按所做的第一题计分．22.在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为（t为参数），以坐标原点为极点，以x轴正半轴为极轴建立极坐标系，直线l的极坐标方程为．（1）求曲线C的普通方程和直线l的直角坐标方程；（2）若直线l与曲线C交于A，B两点，点P的直角坐标为，求的值．【答案】（1）曲线C的普通方程为，直线l的直角坐标方程为；（2）2【解析】【分析】（1）对于曲线C，消去参数，对于直线l，运用极坐标和直角坐标转换公式即可；（2）联立C与l方程，求出A，B点坐标，运用两点距离公式计算即可.【小问1详解】对于C：，得：，代入①得：，化简得：，是等轴双曲线；对于l，根据极坐标与直角坐标转换公式：得：；【小问2详解】由（1）的结论，直线l经过，即点P在l上，联立方程：，将④代入③得：，解得