中学数学 解一元二次方程练习 （含答案）

第1页（共1页）解一元二次方程一．解答题（共20小题）1．计算：（1）2x2＝8；（2）x2﹣x﹣6＝0．2．解下列方程：（1）（y﹣2）（y﹣3）＝12；（2）4（x+3）2＝25（x﹣1）2；（3）2x2+3x﹣1＝0（请用配方法解）．3．解下列方程（1）x2﹣8x+15＝0；（2）﹣＝1．4．解方程：（1）x2﹣x﹣20＝0；（2）x2﹣9x+5＝0．5．已知：关于x的一元二次方程x2+mx＝3（m为常数）．（1）证明：无论m为何值，该方程都有两个不相等的实数根；（2）若方程有一个根为2，求方程的另一个根．6．解方程：（1）x2+4x﹣1＝0；（2）．7．计算（或解方程）（1）（2）（3）2x2﹣4x＝1（配方法）8．解一元二次方程：（1）x2+2x＝29；（2）2x2﹣x﹣1＝0．9．已知关于x的一元二次方程（x﹣m）2+2（x﹣m）＝0（m为常数）．（1）求证：不论m为何值，该方程总有两个不相等的实数根．（2）若该方程有一个根为4，求m的值．10．解方程：（1）x2﹣4x﹣1＝0；（2）2（x﹣1）2﹣8＝0．11．用公式法解方程：x2+4x﹣5＝0．12．解方程：x2﹣5x+6＝013．解方程：（1）x2﹣4＝0；（2）（x+3）2＝（2x﹣1）（x+3）．14．解方程：x（x﹣1）＝3（x﹣1）．15．解一元二次方程．（1）（x﹣1）2＝4；（2）x2﹣x﹣1＝0．16．解方程：x2﹣4＝6（x+2）．17．解方程：（1）（x﹣4）2﹣3＝0；（2）4（x﹣3）＝2x（x﹣3）．18．解方程：（1）3x（x﹣1）＝2﹣2x；（2）2x2﹣4x﹣1＝0．19．解方程：（1）x2﹣2x﹣3＝0．（2）3x2+2x﹣1＝0．20．解方程：①x2﹣8x+12＝0；②x2﹣2x﹣8＝0．

解一元二次方程参考答案与试题解析一．解答题（共20小题）1．计算：（1）2x2＝8；（2）x2﹣x﹣6＝0．【分析】（1）先变形为x2＝4，然后利用直接开平方法解方程；（2）利用因式分解法解方程．【解答】解：（1）x2＝4，x＝±2，所以x1＝2，x2＝﹣2；（2）（x﹣3）（x+2）＝0，x﹣3＝0或x+2＝0，所以x1＝3，x2＝﹣2．【点评】本题考查了解一元二次方程﹣因式分解法：因式分解法就是利用因式分解求出方程的解的方法，这种方法简便易用，是解一元二次方程最常用的方法．也考查了直接开平方法．2．解下列方程：（1）（y﹣2）（y﹣3）＝12；（2）4（x+3）2＝25（x﹣1）2；（3）2x2+3x﹣1＝0（请用配方法解）．【分析】（1）根据因式分解法即可求出答案．（2）根据因式分解法即可求出答案．（3）根据配方法即可求出答案．【解答】解：（1）∵（y﹣2）（y﹣3）＝12，∴y2﹣5y﹣6＝0，∴（y﹣6）（y+1）＝0，∴y＝6或y＝﹣1．（2）∵4（x+3）2＝25（x﹣1）2，∴4（x+3）2﹣25（x﹣1）2＝0，∴[2（x+3）﹣5（x﹣1）][2（x+3）+5（x﹣1）]＝0，∴（﹣3x+11）（7x+1）＝0，∴x＝或x＝．（3）∵2x2+3x﹣1＝0，∴x2+x﹣＝0，∴x2+x+＝，∴（x+）2＝，∴x＝．【点评】本题考查一元二次方程，解题的关键是熟练运用一元二次方程的解法，本题属于基础题型．3．解下列方程（1）x2﹣8x+15＝0；（2）﹣＝1．【分析】（1）方程利用因式分解法求出解即可；（2）方程去分母，去括号整理后，利用公式法求出解即可．【解答】解：（1）方程x2﹣8x+15＝0，分解因式得：（x﹣3）（x﹣5）＝0，可得x﹣3＝0或x﹣5＝0，解得：x1＝3，x2＝5；（2）去分母得：2x2+2﹣6x+9＝12，整理得：2x2﹣6x﹣1＝0，这里a＝2，b＝﹣6，c＝﹣1，∵△＝36+8＝44，∴x＝＝，解得：x1＝，x2＝．【点评】此题考查了解一元二次方程﹣因式分解法，以及公式法，熟练掌握各自的解法是解本题的关键．4．解方程：（1）x2﹣x﹣20＝0；（2）x2﹣9x+5＝0．【分析】（1）方程利用因式分解法求出解即可；（2）方程利用公式法求出解即可．【解答】解：（1）方程x2﹣x﹣20＝0，分解因式得：（x﹣5）（x+4）＝0，可得x﹣5＝0或x+4＝0，解得：x1＝5，x2＝﹣4；（2）方程x2﹣9x+5＝0，这里a＝1，b＝﹣9，c＝5，∵△＝81﹣20＝61，∴x＝，解得：x1＝，x2＝．【点评】此题考查了解一元二次方程﹣因式分解法，以及公式法，熟练掌握各自的解法是解本题的关键．5．已知：关于x的一元二次方程x2+mx＝3（m为常数）．（1）证明：无论m为何值，该方程都有两个不相等的实数根；（2）若方程有一个根为2，求方程的另一个根．【分析】（1）先把方程化为一般式，再计算判别式的值得到△＝m2+12＞0，然后根据判别式的意义得到结论；（2）利用两根之积为﹣2确定方程的另一根．【解答】（1）证明：x2+mx﹣3＝0，∵a＝1，b＝m，c＝﹣3∴△＝b2﹣4ac＝m2﹣4×1×（﹣3）＝m2+12，∵m2≥0，∴m2+12＞0，∴△＞0，∴无论m为何值，该方程都有两个不相等的实数根；（2）设方程的另一个根为x1，则2•x1＝＝＝﹣3，∴x1＝﹣∴方程的另一个根为﹣．【点评】本题考查了根与系数的关系：若x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的两根时，x1+x2＝﹣，x1x2＝．也考查了判别式．6．解方程：（1）x2+4x﹣1＝0；（2）．【分析】（1）方程利用配方法求出解即可；（2）分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，经检验即可得到分式方程的解．【解答】解：（1）方程整理得：x2+4x＝1，配方得：x2+4x+4＝5，即（x+2）2＝5，开方得：x+2＝±，解得：x1＝﹣2+，x2＝﹣2﹣；（2）去分母得：2x2﹣x+5＝2x2﹣10x，解得：x＝﹣，经检验x＝﹣是分式方程的解．【点评】此题考查了解一元二次方程﹣配方法，以及解分式方程，熟练掌握各自的解法是解本题的关键．7．计算（或解方程）（1）（2）（3）2x2﹣4x＝1（配方法）【分析】（1）先根据二次根式的除法法则和二次根式的性质进行计算，再算加减即可；（2）方程两边都乘以x（x+1）得出5x+2＝3x，求出x，再进行检验即可；（3）系数化成1，配方，开方，即可得出两个方程，求出方程的解即可．【解答】解：（1）原式＝﹣++＝3﹣+2+＝5；（2）方程两边都乘以x（x+1）得：5x+2＝3x，解得：x＝﹣1，检验：当x＝﹣1时，x（x+1）＝0，所以x＝﹣1是增根，即原方程无解；（3）2x2﹣4x＝1，x2﹣2x＝，x2﹣2x+1＝+1，（x﹣1）2＝，x﹣1＝，x1＝1+，x2＝1﹣．【点评】本题考查了二次根式的混合运算，解分式方程，解一元二次方程等知识点，能正确根据二次根式的性质进行计算是解（1）的关键，能把分式方程转化成整式方程是解（2）的关键，能正确配方是解（3）的关键．8．解一元二次方程：（1）x2+2x＝29；（2）2x2﹣x﹣1＝0．【分析】（1）利用配方法求解可得；（2）利用公式法求解可得．【解答】解：（1）∵x2+2x＝29，∴x2+2x+1＝29+1，即（x+1）2＝30，则x+1＝±，∴x1＝﹣1+，x2＝﹣1﹣；（2）∵a＝2，b＝﹣，c＝﹣1，∴△＝（﹣）2﹣4×2×（﹣1）＝10＞0，则x＝，即x1＝，x2＝．【点评】本题主要考查解一元二次方程的能力，熟练掌握解一元二次方程的几种常用方法：直接开平方法、因式分解法、公式法、配方法，结合方程的特点选择合适、简便的方法是解题的关键．9．已知关于x的一元二次方程（x﹣m）2+2（x﹣m）＝0（m为常数）．（1）求证：不论m为何值，该方程总有两个不相等的实数根．（2）若该方程有一个根为4，求m的值．【分析】（1）根据方程的系数结合根的判别式，即可得出△＝4＞0，由此即可证出：不论m为何值，该方程总有两个不相等的实数根；（2）将x＝4代入原方程，即可得出关于m的一元二次方程，解之即可得出结论．【解答】（1）证明：（x﹣m）2+2（x﹣m）＝0，原方程可化为x2﹣（2m﹣2）x+m2﹣2m＝0，∵a＝1，b＝﹣（2m﹣2），c＝m2﹣2m，∴△＝b2﹣4ac＝[﹣（2m﹣2）]2﹣4（m2﹣2m）＝4＞0，∴不论m为何值，该方程总有两个不相等的实数根．（2）解：将x＝4代入原方程，得：（4﹣m）2+2（4﹣m）＝0，即m2﹣10m+24＝0，解得：m1＝4，m2＝6．故m的值为4或6．【点评】本题考查了根的判别式以及解一元二次方程，解题的关键是：（1）牢记“当△＞0时，方程有两个不相等的实数根”；（2）代入x＝4求出m值．10．解方程：（1）x2﹣4x﹣1＝0；（2）2（x﹣1）2﹣8＝0．【分析】（1）移项后配方，开方，即可得出两个一元一次方程，求出方程的解即可；（2）移项，系数化成1，开方，即可得出两个一元一次方程，求出方程的解即可．【解答】解：（1）x2﹣4x﹣1＝0，x2﹣4x＝1，x2﹣4x+4＝1+4，（x﹣2）2＝5，x﹣2＝，x1＝2+，x2＝2﹣；（2）2（x﹣1）2﹣8＝0，2（x﹣1）2＝8，（x﹣1）2＝4，x﹣1＝±2，x1＝3，x2＝﹣1．【点评】本题考查了解一元二次方程，能选择适当的方法解一元二次方程是解此题的关键．11．用公式法解方程：x2+4x﹣5＝0．【分析】首先找出a、b、c的值，计算根的判别式，进一步利用求根公式求得答案即可．【解答】解：x2+4x﹣5＝0，∵a＝1，b＝4，c＝﹣5，∴△＝b2﹣4ac＝42﹣4×1×（﹣5）＝36，则x＝＝，解得x1＝﹣5，x2＝1．【点评】此题考查用公式法解一元二次方程，掌握用公式法解方程的步骤与方法是解决问题的关键．12．解方程：x2﹣5x+6＝0【分析】利用因式分解法求解可得．【解答】解：∵x2﹣5x+6＝0，∴（x﹣2）（x﹣3）＝0，则x﹣2＝0或x﹣3＝0，解得x1＝2，x2＝3．【点评】本题主要考查解一元二次方程的能力，熟练掌握解一元二次方程的几种常用方法：直接开平方法、因式分解法、公式法、配方法，结合方程的特点选择合适、简便的方法是解题的关键．13．解方程：（1）x2﹣4＝0；（2）（x+3）2＝（2x﹣1）（x+3）．【分析】（1）利用直接开平方法求解可得；（2）利用因式分解法求解可得．【解答】解：（1）∵x2﹣4＝0，∴x2＝4，则x1＝2，x2＝﹣2；（2）∵（x+3）2＝（2x﹣1）（x+3），∴（x+3）2﹣（2x﹣1）（x+3）＝0，∴（x+3）（﹣x+4）＝0，则x+3＝0或﹣x+4＝0，解得x1＝﹣3，x2＝4．【点评】本题主要考查解一元二次方程的能力，熟练掌握解一元二次方程的几种常用方法：直接开平方法、因式分解法、公式法、配方法，结合方程的特点选择合适、简便的方法是解题的关键．14．解方程：x（x﹣1）＝3（x﹣1）．【分析】利用因式分解法求解可得．【解答】解：原方程移项得：x（x﹣1）﹣3（x﹣1）＝0；，∴（x﹣1）（x﹣3）＝0，则x﹣1＝0或x﹣3＝0，解得：x1＝1或x2＝3．【点评】本题主要考查解一元二次方程的能力，熟练掌握解一元二次方程的几种常用方法：直接开平方法、因式分解法、公式法、配方法，结合方程的特点选择合适、简便的方法是解题的关键．15．解一元二次方程．（1）（x﹣1）2＝4；（2）x2﹣x﹣1＝0．【分析】（1）直接开平方法求解可得；（2）根据公式法求解可得．【解答】解：（1）（x﹣1）2＝4，x﹣1＝±2，解得x1＝﹣1，x2＝3；（2）x2﹣x﹣1＝0，∵a＝1，b＝﹣，c＝﹣1，∴△＝3﹣4×1×（﹣1）＝7＞0，x＝，解得x1＝，x2＝．【点评】本题主要考查解一元二次方程的能力，熟练掌握解一元二次方程的几种常用方法：直接开平方法、因式分解法、公式法、配方法，结合方程的特点选择合适、简便的方法是解题的关键．16．解方程：x2﹣4＝6（x+2）．【分析】先进行整理，再根据公式法求解可得．【解答】解：x2﹣4＝6（x+2）．整理得x2﹣6x﹣16＝0，∵a＝1，b＝﹣6，c＝﹣16，∴△＝36﹣4×1×（﹣16）＝100＞0，x＝＝3±5，解得x1＝﹣2，x2＝8．【点评】本题主要考查解一元二次方程的能力，熟练掌握解一元二次方程的几种常用方法：直接开平方法、因式分解法、公式法、配方法，结合方程的特点选择合适、简便的方法是解题的关键．17．解方程：（1）（x﹣4）2﹣3＝0；（2）4（x﹣3）＝2x（x﹣3）．【分析】（1）根据解一元二次方程的方法﹣直接开平方法解答即可；（2）根据解一元二次方程的方法﹣因式分解法解答即可．【解答】解：（1）（x﹣4）2﹣3＝0，（x﹣4）2＝3，∴x1＝+4，x2＝﹣+4；（2）4（x﹣3）＝2x（x﹣3），（4﹣2x）（x﹣3）＝0，∴x1＝2，x2＝3．【点评】此题考查了解一元二次方程﹣因式分解法，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键．18．解方程：（1）3x（x﹣1）＝2﹣2x；（2）2x2﹣4x﹣1＝0．【分析】（1）方程整理后，利用因式分解法求出解即可；（2）方程整理后，利用配方法求出解即可．【解答】解：（1）3x（x﹣1）＝2﹣2x，整理得：3x（x﹣1）+2（x﹣1）＝0，分解因式得：（x﹣1）（3x+2）＝0，可得x﹣1＝0或3x+2＝0，解得：x1＝1，x2＝﹣；（2）2x2﹣4x﹣1＝0，方程整理得：x2﹣2x＝，平方得：x2﹣2x+1＝+1，即（x﹣1）2＝，开方得：x﹣1＝±，解得：x1＝1+，x2＝1﹣．【点评】此题考查了解一元二次方程﹣因式分解法，以及配方法，熟练掌握各自的解法是解本题的关键．19．解方程：（1）x2﹣2x﹣3＝0．（2）3x2+2x﹣1＝0．【分析】各方程利用因式分解的方法求出解即可．【解答】解：（1）x2﹣2x﹣3＝0，分解因式得：（x+1）（x﹣3）＝0，可得x+1＝0或x﹣3＝0，解得：x1＝﹣1，x2＝3；（2）3x2+2x﹣1＝0，分解因式得：（x+1）（3x﹣1）＝0，可得x+1＝0或3x﹣1＝0，解得：x1＝﹣1，x2＝．【点评】此题考查了解一元二次方程﹣因式分解法，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键．20．解方程：①x2﹣8x+12＝0；②x2﹣2x﹣8＝0．【分析】利用因式分解法求解可得．【解答】解：①∵x2﹣8x+12＝0，∴（x﹣2）（x﹣6）＝0，则x﹣2＝0或x﹣6＝0，解得x＝2或x＝6；②∵x2﹣2x﹣8＝0，∴（x+2）（x﹣4）＝0，则x+2＝0或x﹣4＝0，解得x＝﹣2或x＝4．【点评】本题主要考查解一元二次方程的能力，熟练掌握解一元二次方程的几种常用方法：直接开平方法、因式分解法、公式法、配方法，结合方程的特点选择合适、简便的方法是解题的关键．

考点卡片1．二次根式的混合运算（1）二次根式的混合运算是二次根式乘法、除法及加减法运算法则的综合运用．学习二次根式的混合运算应注意以下几点：①与有理数的混合运算一致，运算顺序先乘方再乘除，最后加减，有括号的先算括号里面的．②在运算中每个根式可以看做是一个“单项式“，多个不同类的二次根式的和可以看作“多项式“．（2）二次根式的运算结果要化为最简二次根式．（3）在二次根式的混合运算中，如能结合题目特点，灵活运用二次根式的性质，选择恰当的解题途径，往往能事半功倍．2．解一元二次方程-直接开平方法形如x2＝p或（nx+m）2＝p（p≥0）的一元二次方程可采用直接开平方的方法解一元二次方程．如果方程化成x2＝p的形式，那么可得x＝±；如果方程能化成（nx+m）2＝p（p≥0）的形式，那么nx+m＝±．注意：①等号左边是一个数的平方的形式而等号右边是一个非负数．②降次的实质是由一个二次方程转化为两个一元一次方程．③方法是根据平方根的意义开平方．3．解一元二次方程-配方法（1）将一元二次方程配成（x+m）2＝n的形式，再利用直接开平方法求解，这种解一元二次方程的方法叫配方法．（2）用配方法解一元二次方程的步骤：①把原方程化为ax2+bx+c＝0（a≠0）的形式；②方程两边同除以二次项系数，使二次项系数为1，并把常数项移到方程右边；③方程两边同时加上一次项系数一半的平方；④把左边配成一个完全平方式，右边化为一个常数；⑤如果右边是非负数，就可以进一步通过直接开平方法来求出它的解，如果右边是一个负数，则判定此方程无实数解．4．解一元二次方程-公式法（1）把x＝（b2﹣4ac≥0）叫做一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的求根公式．（2）用求根公式解一元二次方程的方法是公式法．（3）用公式法解一元二次方程的一般步骤为：①把方程化成一般形式，进而确定a，b，c的值（注意符号）；②求出b2﹣4ac的值（若b2﹣4ac＜0，方程无实数根）；③在b2﹣4ac≥0的前提下，把a、b、c的值代入公式进行计算求出方程的根．注意：用公式法解一元二次方程的前提条件有两个：①a≠0；②b2﹣4ac≥0．5．解一元二次方程-因式分解法（1）因式分解法解一元二次方程的意义因式分解法就是利用因式分解求出方程的解的方法，这种方法简便易用，是解一元二次方程最常用的方法．因式分解法就是先把方程的右边化为0，再把左边通过因式分解化为两个一次因式的积的形式，那么这两个因式的值就都有可能为0，这就能得到两个一元一次方程的解，这样也就把原方程进行了降次，把解一元二次方程转化为解一元一次方程的问题了（数学转化思想）．（2）因式分解法解一元二次方程的一般步骤：①移