古老石子游戏取wythoff

始为非平衡的游戏中取胜；玩家B（后手）能够在初始为平衡的游戏中取胜。WythoffGame玩法三（2堆石子每次从一或两堆取一样数目的石子小数约等于0.61803398875，其倒数是(1+sqrt(5))/2，约等于1.61803398875。Ak=[k*(1+sqrt(5.0)/2]Bk=Ak+Dimnum(100)AsDimakAsInteger,bkAsSubupdata(aAsInteger,bAsInteger)ak=a:bk=bText1.Text=Str(ak)Text2.Text=EndSubDimaAsInteger,bAsInteger,iAsInteger,tAsIntegerDimflagAsBooleanIfak=0Andbk>0Label4.Caption=Label4.Caption+"("+Str(0)+","+Str(bk)+")"Text5.Text=Str(0)Text6.Text=Str(bk)bk=0EndIfak>0Andbk=0Label4.Caption=Label4.Caption+"("+Str(ak)+","+Str(0)+")"Text5.Text=Str(ak)Text6.Text=Str(0)ak=0EndIfak=bkLabel4.Caption=Label4.Caption+"("+Str(ak)+","+Str(ak)+")"Text5.Text=Str(ak)Text6.Text=Str(ak)ak=0:bk=0EndIfak=0Andbk=0ThenCallupdata(0,0)Label6.Caption=Label6.Caption+":Loser!"Label7.Caption=Label7.Caption+":Winer!"ExitSubEndflag=FalseFori=0To60Ifi=akIfnum(ibkThen'不小心进入了奇异局势，只能瞎搞了a=Int(Rnd()*ak)+1Text5.Text=Str(a)Text6.Text=Callupdata(ak-a,bk-a)Ifbk>num(i)ThenIfnum(i)=0ThenText5.Text=num(i))+num(t))+

Text6.Text=Label4.Caption=Label4.Caption+"("+Str(1)+","+Str(1)+")"Callupdata(ak-1,bk-1)Text5.Text=Str(0)Text6.Text=Str(bk-num(i))Label4.Caption=Label4.Caption+"("+Str(0)+","+Str(bkCallupdata(ak,num(i))EndIft=bk-Ift<1Thent=Text5.Text=Str(ak-num(t))'a[b-a],b-a+a[b-a]Text6.Text=Str(ak-num(t))Label4.Caption=Label4.Caption+"("+Str(ak-num(t))+","+Str(akCallupdata(num(t),bk-ak+num(t))EndIfEndIfIfnum(i)=bkThenIfak>iThenText5.Text=Str(ak-i)Text6.Text=Str(0)Label4.Caption=Label4.Caption+"("+Str(ak-i)+","+Str(0)+")"Callupdata(i,num(i))Text5.Text=Str(ak-(num(i)-Text6.Text=Str(ak-(num(i)-Label4.Caption=Label4.Caption+"("+Str(ak-(num(i)-i))+","Str(ak-(num(i)-i))+Callupdata(num(i)-i,bk-ak+(num(i)-i))EndIfEndIfEndEndSubPrivateSubCommand1_Click()Command3.Enabled=FalseCommand4.Enabled=FalseDimaAsIntegerbAsIntegera=b=IfIfa<0Ora>akThenExitSub Ifb<0Orb>bkThenExitSubIfa=0Andb=0ThenExitIfa>0Andb>0Anda<>bThenExitLabel5.Caption=Label5.Caption+"("+Str(a)+","+Str(b)+")"Callupdata(ak-a,bk-b)If0=akAnd0=bkThenCallupdata(0,0)Label6.Caption=Label6.Caption+":Winer!"Label7.Caption=Label7.Caption+":Loser!"ExitSubEndIfEndPrivateSubDimkAsIntegeraAsIntegerbAsInteger k=Int(Rnd()*30+a=Int(k*(1+Sqr(5#))/b=a+Callupdata(a,b)Command4.Enabled=FalseCommand1.Enabled=TrueEndPrivateSubDimaAsInteger,bAsInteger,tAsIntegeraInt(Rnd*505'b=Int(Rnd()*50+Ifa>bThent=a:a=b:b=tCallupdata(a,b)Command3.Enabled=FalseCommand1.Enabled=TrueEndPrivateSubCommand5_Click()DimkAsIntegerForFork=0Toak=Int(k*(1+Sqr(5#))/2)bk=ak+kList1.AddItemStr(ak)+ "+NextEndPrivateSubDimkAsInteger,aAsInteger,bAsForFork=0Toa=Int(k*(1+Sqr(5#))/b=a+knum(a)=NextEnd领域性质这种情况下是颇为复杂的。我们用（ak，bk）（akbkk=0，1，2，...,n)表示两堆物品的数量并称其为局势，可以看出,a0=b0=0,ak是未在前面出现过的最小自然数,而bk=ak+k。aka[k]a[k-1]bk=a[k]ka[k-1]ka[k-1]k1b[k-1]>a[k-1]。所以性质1成立。假设面对的局势是（a,b），baa个物体，就变为了奇异局势（0，0）；a=ak，b>bkb-bk个物体，即变为奇异局势；aakbbka-a[b-a]个物体变为奇异局势（a[b-a]b-a+a[b-a]）；a>ak，b=ak+k则从第一堆中拿走多余的数量a-ak即可；aak，bakk,分两种情况，第一种，a=aj（jk）bbj即可；第二种，a=bjk）baj30 (0,k),(k,0),(k,k)的格点；然后找y=x上方未被划去的格点，标出(1,2)，然后划去(1,k),(k,2),(1+k,2+k)，同时标出对称果只列出a<=b的必败态的话，前面的一些是(0,0),(1,2),(3,5),(4,7),(6,10),…a[m]<a[k+1])，则可再拿成，有，解方程得1：(a，b)(ba)的胜负性是相同的（ab）(ab)是必胜态，那么将必胜策略中所有的操作，对第一堆的变为第二堆，对第二堆的变为第一堆，就构成(b,a)的必胜策略2(ab)xayb，(x,b)(ay)是必胜态。xaybxy(ab)1，(x,b)(a,y)xayb(x,b)(ay)(ab)是必胜态，矛盾。故(x,b)和(a,y)均为为必胜态。3:(ab)d0，(adbd)是必胜态。24：在所有的必败态中，每个数字恰巧出现一次。1，对于对称的状态我们只需要处理其中一个，而两个数不会相同（相同的状态必然是必胜态），于是1346此，对任意i，必有(k-j,k+i-j)或(k-j,k+i)=0,(0<j<k)必败3i的取值(其实是无穷多个，jk-1i有无数种)i1,i2,i3使得m,k+i2)必败。显然与定理2矛盾，因此不存在这样的数k。4，矩阵中每个数字恰巧出现一次，而按照这个矩阵的定义，第二列的数总比同行第一列大，第一列又按6ii1(a[p],a[p]p)(a[p]p行第一个数，pi)均为必败态，那么考察i(a[i],a[i]delta)deltaideltai，一定可以通过一次操作变为前面出现过的必败态，那么这个状态就是必胜态。下面由delta>=i，我们来说明delta=i。首先，我们考虑从第一堆中取出p个石子，得到状态(a[ip,a[i]-pdelta)，由定理5，比a[i]小的数都在之前出现过，若a[i]p出现在某一行的第一列，由于存在必败态(a[ip,a[ipdddelta)，故(a[i]p,a[i]p+delta)一定为必胜态（定理2）；若a[i]p出现在某一行的第二列，由于第一列是单增的，因而其对应的第一列数必小于a[i]+delta，故而也可推出其状态为必胜态。于是，(a[i],a[i]delta)(a[i]a[idddelta)有关。不难看出，deltai时恰为必败胜态，因而(a[i],a[i]+delta)为必败态，由定理2及定理4可得，原命题成立。即矩阵中第i行第二列的数等于同行第一列的数加上i。下面的过程可能需要比较高的数学技巧，首先给出我们需要的一个重要定理（[x]x的整数部分，{x}x{x}x7（Betty定理）A,B1/A1/B1P[AtBetty定理中“于是我们得到每一行第二列的数为我们的目的是要让Betty定理，我们得到最终我们需要的定理：定理8：上述矩阵中每一行第一列的数为[Bettya、b1/a+1/b=1P={【na|n为任意的正整数}，Q={【nb|n为任意的正整数}，PQ是Z+P∩QP∪QZ+。结果。因此任一个整数至多在集合P或Q中出现一次。<m/(k+1)1/am/kn/(k+1)<1/bn/k。相加起来得(m+n)/(k+11(m+n)/kkm+nk+1。这与的子集。(反证法)Z+\(P∪Q)km、n使得【ma】<k<【(m+1)a】、【nb】<k<【(n+1)bmak(