2023-2024学年四川省成都市青羊区重点中学高二（上）月考数学试卷（一）（含解析）

第=page11页，共=sectionpages11页2023-2024学年四川省成都市青羊区重点中学高二（上）月考数学试卷（一）一、单选题（本大题共8小题，共24.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）1.一组数据按从小到大的顺序排列如下：9，10，12，15，x，17，y，22，26，经计算，该组数据中位数是16，若75%分位数是20，则x+yA.33 B.34 C.35 D.362.中国营养学会把走路称为“最简单、最优良的锻炼方式”，它不仅可以帮助减肥，还可以增强心肺功能、血管弹性、肌肉力量等.如图为甲、乙两人在同一星期内日步数的折线统计图：

则下列结论中正确的是(

)A.这一星期内甲的日步数的第六十百分位数为12150

B.乙的日步数星期四比星期三增加了1倍以上

C.这一星期内甲的日步数的平均值小于乙

D.这一星期内甲的日步数的方差大于乙3.已知空间两不同直线m，n，两不同平面α，β，下列命题正确的是(

)A.若m/​/α且n/​/α，则m/​/n

B.若m⊥β且m/​/n，则n/​4.抛掷一枚骰子两次，第一次得到的点数记为x，第二次得到的点数记为y，则平面直角坐标系xOy中，点(x,y)到原点OA.16 B.736 C.295.江南的周庄、同里、用直、西塘、乌镇、南浔古镇，并称为“江南六大古镇”，是中国江南水乡风貌最具代表的城镇，它们以其深邃的历史文化底蕴、清丽婉约的水乡古镇风貌、古朴的吴侬软语民俗风情，在世界上独树一帜，驰名中外，这六大古镇中，其中在苏州境内的有3处．某家庭计划今年暑假从这6个古镇中挑选2个去旅游，则至少选一个苏州古镇的概率为(

)A.25 B.12 C.456.从分别写有1，2，3，4，5，6的六张卡片中，无放回地随机抽取两张，则抽到的两张卡片上的数字之积是5的倍数的概率为(

)A.13 B.25 C.357.在梯形ABCD中，AB/​/CD，AD⊥ABA.3 B.−2 C.−328.四名同学各掷骰子5次，分别记录每次骰子出现的点数，根据四名同学的统计结果、可以判断出一定没有出现点数6的是(

)A.平均数为2，方差为3.1 B.中位数为3，方差为1.6

C.中位数为3，众数为2 D.平均数为3，中位数为2二、多选题（本大题共4小题，共12.0分。在每小题有多项符合题目要求）9.口袋里装有1红、2白、3黄共6个形状相同的小球，从中任取2球，事件A=“取出的两球同色”，B=“取出的2球中至少有一个黄球”，C=“取出的2球中至少有一个白球”，D=“取出的两球不同色”，E=“取出的A.事件A与D为对立事件 B.事件B与C是互斥事件

C.事件C与E为对立事件 D.事件P10.有两组样本数据，分别为x1，x2…x6和y1，y2，y3，y4，且平均数x−=90与y−=A.平均数为85 B.平均数为86 C.标准差为10 D.标准差为211.在△ABC中，若(a+b)：(a+cA.sinA：sinB：sinC=4：5：6

B.△ABC是钝角三角形12.菱形ABCD的边长为a，且∠BAD=60°，将△ABD沿BD向上翻折得到△PBDA.PO⊥平面BCD

B.球O的表面积为2πa2

C.球O被三棱锥P−BCD表面截得的截面周长为43三、填空题（本大题共4小题，共12.0分）13.已知tan(α+π4)=14.某校进行定点投篮训练，甲、乙、丙三个同学在固定的位置投篮，投中的概率分别12，23，p，已知每个人投篮互不影响，若这三个同学各投篮一次，至少有一人投中的概率为78，则p=15.事件A、B是相互独立事件，若P(A)=0.3，P(B)=16.在△ABC中，D为AC上一点且满足AD=13DC，若P为BD四、解答题（本大题共6小题，共72.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17.(本小题12.0分)

2021年是中国共产党建党100周年，为了使全体党员进一步坚定理想信念，传承红色基因，市教育局以“学党史、悟思想、办实事、开新局”为主题进行“党史”教育，并举办由全体党员参加的“学党史”知识竞赛．竞赛共设100个小题，每个小题1分，共100分．现随机抽取1000名党员的成绩进行统计，并将成绩分成以下七组：[72,76)，[76,80)，[80,84)，[84,88)，[88,92)，[92,96)，[96,100]，

18.(本小题12.0分)

2023年7月11日第64届国际数学奥林匹克竞赛结果公布，中国队6名参赛选手全员金牌，再夺第一.某班级为了选拔数学竞赛选手，举行初次选拔考试，共有排好顺序的两道解答题.规定全部答对者，通过选拔考试.设甲答对第一道和第二道题的概率分别为12，23，乙答对第一道和第二道题的概率分别为12，23，甲，乙相互独立解题，答对与否互不影响．

(1)求甲，乙都通过考试的概率；

(219.(本小题12.0分)

正值蓝莓销售的高峰期，一家水果店的店长计划未来10天蓝莓的日进货量(单位：千克)为85，92，90，96，86，94，88，89，85，95．

(1)计算该水果店未来10天蓝莓日进货量的众数与方差；

(2)假设未来这10天该水果店蓝莓的市场日需求量均为x(x∈Z)(单位：千克)，当日销售的蓝莓可盈利10元/千克，当日未销售的蓝莓则需要退货，亏损15元20.(本小题12.0分)

已知△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，△ABC的面积S=34(b2+c2−a2),21.(本小题12.0分)

已知在梯形ABCD中，AD//BC，∠ABC=∠BAD=π2，AB=BC=2AD=4，E，F分别是AB，22.(本小题12.0分)

在△ABC中，P为AB的中点，O在边AC上，BO交CP于R，且|AO|=2|OC|，设AB=a，AC=b．

(1)试用a，b表示AR

答案和解析1.【答案】D

【解析】解：由题意可知中位数为x=16，

因为75%×9=6.75，则75%百分位数为y=20，

所以x+y=2.【答案】D

【解析】解：由图可知，这一星期内甲的日步数按从小到大分别为：

2435，7965，9500，11600，12700，16000，16800，共7个数，

由7×60%=4.2，所以这一星期内甲的日步数的第六十百分位数为12700，故A错误；

乙星期四的日步数为12970，乙星期三的日步数7030,12970−70307030<1，故B错误；

甲的平均数为2435+7965+9500+11600+12700+16000+3.【答案】C

【解析】解：由空间两不同直线m，n，两不同平面α，β，知：

在A中，若m/​/α且n/​/α，则m/​/n或m、n相交或异面，故A不正确；

在B中，若m⊥β且m/​/n，则n⊥β，故B不正确；

在C中，若m⊥α且m//β，则α⊥β，所以C正确；

在D中，若m不垂直于α，且n⊂α，则m与n有可能垂直，故D4.【答案】C

【解析】解：基本事件共有36个，

而满足点(x,y)到原点O的距离不大于4的基本事件有(1,1)，(1,2)，(1,3)，(2,1)，(25.【答案】C

【解析】解：某家庭计划今年暑假从这6个古镇中挑选2个去旅游的可能情况有C62=15种情况，

至少选一个苏州古镇的概率为P=1−C3215=46.【答案】A

【解析】解：由题意可知，从6个数字中无放回地随机抽取两张，共有6×5=30种结果，

若要是5的倍数，则两张卡片中必有一张是5，

若第一张抽到的是5，共有5种抽法，

若第二张抽到的是5，共有5种抽法，

故抽到的两张卡片上的数字之积是5的倍数的共10种抽法，

所以所求概率为P=1030=17.【答案】C

【解析】解：以A为原点，AB为x轴，AD为y轴，建立平面直角坐标系．

则：A(0,0)，B(2,0)，D(0,3)，C(18.【答案】A

【解析】解：对于选项A，若平均数为2，则方差S2>15(6−2)2=3.2>3.1，平均数为2，方差为3.1，

所以一定没有出现点数6，故选项A正确；

对于选项B，当投掷骰子出现的结果为3，3，3，5，6时，满足中位数为3，方差为：

S2=15[(3−4)2+(3−4)2+(3−4)2+(5−4)2+(6−4)2]=1.6，

此时出现点数为6，故选项B错误；

对于选项C，当投掷骰子出现结果为9.【答案】AD【解析】【分析】本题考查对立事件、互斥事件、随机事件发生的概率，属于容易题．

由对立事件与互斥事件的定义以及事件的关系和运算依次判断，即可得到答案．【解答】

解：事件A=“取出的两球同色”，事件D=“取出的两球不同色”，

事件A与D为对立事件，故A正确；

事件BC=“取出的2球为一个黄球，一个白球”，所以事件B与C不是互斥事件，故B错误；

事件CE=“取出的2球有且只有一个白球”，所以事件C与E不是对立事件，故C错误；

事件C∪E为必然事件，故10.【答案】BD【解析】解：数据z1，z2，…，z10的平均数为：90×6+80×410=86，方差为：11.【答案】AC【解析】解：由(a+b)：(a+c)：(b+c)=9：10：11，

不妨设a+b=9t，a+c=10t，b+c=11t，t>0，

解得a=4t，b=5t，c=6t，

可得a：b：c=4：5：6，

由正弦定理可得sinA：sinB：sinC=a：b：c=4：5：6，故A正确；

因为cosC=(4t)2+(5t)2−(6t)2212.【答案】AC【解析】解：在菱形ABCD中，连接AC，则AC⊥BD，设AC，BD交于E，如图，

则PE⊥BD，CE⊥BD，PE⊂平面PBD，CE⊂平面CBD，

即∠PEC为二面角P−BD−C的平面角，即cos∠PEC=13，

∵∠BAD=60°，∴△ABD为正三角形，即△ PBD,△CBD为正三角形，

∴PE=CE=32a，∴PC2=PE2+CE2−2PE⋅CEcos∠PEC=32a2−2×34a2×13=a2，

∴PC=a，

∴三棱锥P−BCD是棱长为a的正四面体，

将该四面体补成正方体PHDG−NCMB，四面体的各棱为正方体的面对角线，

则正方体棱长为22a，

∵球O与三棱锥P−BCD的6条棱相切，则O点即为正方体的中心，

连接PM，则O为正方体体对角线PM的中点，

∵PN⊥平面MBNC，BC⊂平面MBNC，∴PN⊥BC，

∵BC⊥MN，PN∩MN=N，∴BC⊥平面PMN，

∵PM⊂平面PMN，∴BC⊥PM，

同理可证BD⊥PM，BC∩BD=B，

∴PM⊥平面BCD，即PO⊥平面BC13.【答案】−【解析】解：因为tan(α+π4)=tanα+11−tanα=−3，

所以解得tanα=sinαcosα=2，14.【答案】14【解析】解：由题意可得1−(1−12)(1−23)15.【答案】23【解析】解：∵事件A、B是相互独立事件，∴P(A−B)=P(A−)P(B16.【答案】4

【解析】解：因为B、P、D三点共线，所以设AP=tAB+(1−t)AD，

因为AD=13DC，所以AD=14AC，

所以设AP=tAB+(1−t)AD=tAB+1−t4AC，

由AP17.【答案】解：(1)由频率分布直方图可得，1000名党员成绩的众数为84+882=86，

成绩在[72,84)的频率为(0.02+0.03+0.0375)×4=0.35，

成绩在[72,88)的频率为(0.02+0.03+0.0375+0.075)×4=0.65，

故中位数位于[84,88)之间，中位数是84+4×0.5−0.350.65−0.35=86

(分)．

(2)∵[72,76)与[76,80)的党员人数的比值为2：3，

采用分层随机抽样方法抽取5人，则在[72,76)中抽取2人，[76,80)中抽3人，

设[72,76)抽取人的编号为A1，A【解析】(1)根据已知条件，结合中位数公式，即可求解．

(2))由[72,76)与[76,80)的党员人数的比值为2：3，可得采用分层随机抽样方法抽取5人，则在[72,76)中抽取2人，[76,18.【答案】解：设甲答对第一道和第二道题的概率分别为12，23，

乙答对第一道和第二道题的概率分别为12，23，甲，乙相互独立解题，答对与否互不影响，

设事件Ai=“甲答对了i道题”，事件Bi=“乙答对了i道题”，i=0，1，2，

由题意P(A0)=12×13=16，P(A【解析】(1)设事件Ai=“甲答对了i道题”，事件Bi=“乙答对了i道题”，i=0，1，2，由相互独立事件概率乘法公式能求出甲，乙都通过考试的概率．

19.【答案】解：(1)该水果店未来10天蓝莓日进货量的众数为85，

平均数为2×85+92+90+96+86+94+88+89+9510=90，

方差为110[2×(85−90)2+(92−90)2+0+(96−90)2+(86−【解析】(1)利用众数的定义和方差的公式求解；

(2)易知当x(x≤20.【答案】解：(1)因为S=12bcsinA，b2+c2−a2=2bccosA，

又因为S=34(b2+c2−a2)，

所以可得12bcsinA=32bccosA，整