2023-2024学年浙江省杭州市四校高二（上）联考数学试卷（10月份）（含解析）

第=page11页，共=sectionpages11页2023-2024学年浙江省杭州市四校高二（上）联考数学试卷（10月份）一、单选题（本大题共8小题，共40.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）1.直线3x+y−1A.3,1 B.−3,2.如果一个复数的实部与虚部相等，则称这个复数为“等部复数”，若复数z=(2−aiA.−1 B.1 C.2 D.3.平面α，β互相平行的一个充分条件是(

)A.α，β都垂直于同一平面 B.某一直线与α，β所成角相等

C.α，β都平行于同一直线 D.α，β都垂直于同一直线4.已知直三棱柱ABC−A1B1C1，∠BA.3010 B.12 C.5.设非零向量a和b的夹角为θ，定义运算：|a×b|=|a||A.2 B.7 C.3 D.6.点P(x,y)在圆x2A.[0,1] B.[0,7.在△ABC中，A(−1,0)，B(A.3−22 B.268.在三棱锥A−BCD中，AB=AD=BD=A.33 B.29 C.二、多选题（本大题共4小题，共20.0分。在每小题有多项符合题目要求）9.已知实数a>b，c>0A.a2>b2 B.ea>10.已知圆台的上底半径为1，下底半径为3，球O与圆台的两个底面和侧面都相切，则(

)A.圆台的母线长为4 B.圆台的高为4

C.圆台的表面积为26π D.球O的表面积为11.分别抛掷两枚质地均匀的硬币，设事件A=“第一枚正面朝上”，事件B=“第二枚正面朝上”，事件C=“两枚硬币朝上的面相同”，事件D=A.事件A和B互斥 B.事件C和D互斥

C.事件A和B相互独立 D.事件C和D相互独立12.过抛物线y=x24−14上一点P作圆C：x2A.使PE⊥PF的点P共有2个

B.|EF|既有最大值又有最小值

C.使四边形PE三、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13.在空间直角坐标系中，若a=(1,1,−3)，14.设ω>0，若函数f(x)=cos(ωx)15.直线l：y=x与圆C：(x−1)2+(y−2)2=16.若关于x的方程ax2−x−b=0；在四、解答题（本大题共6小题，共70.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17.(本小题10.0分)

如图，已知PA⊥平面ABCD，底面ABCD为正方形，PA=AB=2，M，N分别为AB，PC的中点．

(Ⅰ)18.(本小题12.0分)

在△ABC中，a，b，c分别是角A，B，C的对边，且cos2A−B2−cosAco19.(本小题12.0分)

已知奇函数f(x)=m−g(x)1+g(x)的定义域为R，其中g(x)20.(本小题12.0分)

文明城市是反映城市整体文明水平的综合性荣誉称号，作为普通市民，既是文明城市的最大受益者，更是文明城市的主要创造者.某市为提高市民对文明城市创建的认识，举办了“创建文明城市”知识竞赛，从所有答卷中随机抽取100份作为样本，将样本的成绩(满分100分，成绩均为不低于40分的整数)分成六段：[40,50)，[50,60)，…，[90,100]得到如图所示的频率分布直方图．

(Ⅰ)求频率分布直方图中a的值；

(Ⅱ)求样本成绩的第75百分位数；

(Ⅲ)已知落在[50,60)的平均成绩是21.(本小题12.0分)

设抛物线y=x2−3与两坐标轴的交点分别记为M，N，G，曲线C是经过这三点的圆．

(1)求圆C的方程．

(2)过P(−1,0)作直线l与圆C相交于A，B22.(本小题12.0分)

如图，四棱锥P−ABCD中，底面ABCD为直角梯形，AB/​/CD，∠BAD=∠ACB=90°，AB=3AC=3CD=6

答案和解析1.【答案】B

【解析】解：直线3x+y−1=0的斜率为−3，

令x=0，则y=1，

所以直线2.【答案】C

【解析】解：z=(2−ai)i=a+2i，

因为“等部复数”的实部和虚部相等，复数z为“等部复数”，

3.【答案】D

【解析】解：对于A，若α，β都垂直于同一平面，则平面α，β相交或平行，故A错误；

对于B，若某一直线与α，β所成角相等，则平面α，β相交或平行，故B错误；

对于C，若α，β都平行于同一直线，则平面α，β相交或平行，故C错误；

对于D，α，β都垂直于同一直线，则平面α，β互相平行，故D正确．

故选：D．

根据面面平行的判定定理及线面垂直的性质逐一分析判断即可．

本题考查的知识要点：平面平行的判定和性质，主要考查学生的理解能力，属于基础题．4.【答案】A

【解析】解：以A为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，

设AB=AC=12AA1=1，

则A1(0,0,2)，B1(1,0,2)，B(1,0,0)，C(5.【答案】C

【解析】解：由a=(1,1)，b=(−1,2)得：

|a|=12+12=2，|b|=(−1)2+22=6.【答案】B

【解析】解：令|4x−3y+4|=z，则z≥0，可得该直线方程为：

l1：4x−3y+4−z=0或l2：−4x+3y−4−z=0，

7.【答案】D

【解析】解：由于直线AB与y=x平行，即C到边AB的距离为定值，所以△ABC面积恒为1×1×12=12，

由于B(0,1)关于直线y=x的对称点为D(1,0)，即CB=CD，

由于三角形任意两边和大于第三边，所以当C位于直线AD与y=x的交点时，8.【答案】C

【解析】解：因为△ABD为等边三角形，所以△ABD的外心O为△ABD的重心，

连接AO1并延长交BD于点E，则E为BD中点，记△BDC的外心为O2，球心为O，

连接OO2，OO1，OE，O2E，O2B，则OO1⊥平面ABD，OO2⊥平面BCD，球心与截面圆的圆心连线垂直于截面，

因为BD⊂平面ABD，BD⊂平面BCD，所以OO1⊥BD，OO2⊥BD，

因为OO1∩OO2=O，OO1，OO2⊂平面OO1O2，所以BD⊥平面OO1O2，

而BD⊥AE，AE，OO1⊂平面AEO，AE∩OO1=O1，

所以9.【答案】BC【解析】解：对于A，易知a2−b2=(a−b)(a+b)，

由a>b可得a−b>0，但a+b的符号不确定，

所以a2与b2的大小无法确定，

即A错误；

对于B，由指数函数y=ex在x∈R上单调递增可得，当a>b时，可得ea>eb，

所以B正确；

对于C，由不等式性质可知若a>b，c>0，可得ac>bc，

即10.【答案】AC【解析】解：设梯形ABCD为圆台的轴截面，则内切圆O为圆台内切球的大圆，如图，

设圆台上、下底面圆心分别为O1，O2，半径分别为r1，r2，

则O1，O，O2共线，且O1O2⊥AB，O1O2⊥CD，

连接OD，OE，OA，则OD，OA分别平分∠ADC，∠DAB，

故DE=r1，AE=r2，∠OAD+∠ODA=π2,∠DOA=π2,OE11.【答案】BC【解析】解：对于A，事件A，B可能同时发生，故事件A和B不互斥，故A错误；

对于C，事件A和B互不影响，故事件A和B相互独立，故C正确；

分别抛掷两枚质地均匀的硬币，

可能出现的情况有(正，正)，(正，反)，(反，正)，(反，反)四种情况，

事件C包含(正，正)，(反，反)2种，

事件D包含(正，反)，(反，正)2种，

所以事件C和D互斥，故B正确；

P(C)=24=12,P(D)=12.【答案】AC【解析】解：对选项A，如图，要使PE⊥PF，又由于PE，PF为切线，

则CE⊥PE，CF⊥PF，CE=CF=r=1，

所以四边形PECF是正方形，且有PC=2．

所以，对于圆C，使得切线PE⊥PF的点P构成的轨迹是圆心为点C，

半径为PC=2的圆x2+(y−1)2=2(图中虚线圆)，

该圆与抛物线y=x24−14有两个交点(±1,0)．

在(−1,0)处，圆C的两条切线圆y=0、x=−1相互垂直；

在(1,0)处，圆C的两条切线圆y=0、x=1相互垂直；

综上知，使PE⊥PF的点P共有2个，故A正确；

连接PC、EF，如图，由直线与圆的位置关系知，

PC⊥EF，CF⊥PF，CE=CF=r=1．

设P(x0,y0)，则y0=x024−14，即有x02=4y0+1，且y0≥−14，13.【答案】7【解析】解：因为a⊥b，所以a⋅b=1−1−3x=0，

解得x=0，

所以14.【答案】[3【解析】解：因为函数f(x)=cos(ωx)在[0,π2]上有且仅有2个零点，且当x=0时，ω⋅15.【答案】6【解析】解：由题知圆心为C(1,2)，半径为r=a，

∴圆心C(1,2)到直线l：y=x的距离为d=|1−2|12+(−116.【答案】417【解析】解：由题意得存在m∈[1,2]，使得点(a,b)在直线m2x−y−m=0上，

故点(a,b)到原点的距离最小值为|−17.【答案】解：(Ⅰ)证明：取PD的中点E，连接AE，NE，

又N为PC的中点，M为AB的中点，

∴EN//CD，EN=12CD，

又AM//CD，AM=12CD，

∴AM/​/EN，AM=12EN

所以四边形AMNE为平行四边形，

所以MN/​/AE，

PA⊥平面ABCD，

∴PA⊥CD，

又CD⊥AD，

∴CD⊥平面PAD，

∴CD⊥AE，

又PA=AD，E为PD的中点，

∴AE⊥PD，

又CD∩P【解析】(Ⅰ)先证明MN/​/AE，再证明AE⊥平面PCD，由此可得证；

18.【答案】解：(1)cos2A−B2−cosAcosB=34，

则12+12cos(A−B)−cosAcosB=34，

−12【解析】(1)根据题意，由三角恒等变换化简即可得到结果；

(219.【答案】解：(1)设g(x)=ax(a>0且a≠1)，

因为过点(2,9)，所以g(2)=9，即a2=9，解得a=3，

则g(x)=3x，所以f(x)=m−g(x)1+g(x)=m−3x1+3x，

因为函数f(x)是定义在R【解析】(1)设g(x)=ax(a>0,a≠1)，代入点，即可得到g(x)20.【答案】解：(Ⅰ)由频率分布直方图可得，(0.005+0.010+0.020+a+0.025+0.010)×10=1，

解得a=0.030；

(Ⅱ)成绩落在[40,80)内的频率为(0.005+0.010+0.020+0.030)×10=0.65<0.75，

落在[40,90)内的频率为(0.005+0.010+0.020+0.030【解析】(Ⅰ)根据频率分布直方图中各个小矩形的面积之和为1求解；

(Ⅱ)根据百分位数的定义求解；

(Ⅲ)根据平均数和方差的计算公式求解．

本题主要考查了频率分布直方图的应用，考查了百分位数的定义，以及平均数和方差的计算，属于中档题．21.【答案】解：(1)设抛物线与x轴分别交于M，N，交y轴于点G，

令y=0，则x=±3，即M(3,0),N(−3,0)，令x=0，则y=−3，则G(0.−3)，

设圆的方程为x2+y2+Dx+Ey+F=0，

则3−3D+F=03+3D+F=09−3E+F=0，解得D=0E=2F=−3，

则x2+y2+2y−3=0，化为标准式为x2+(y+1)2=4．

(2)(i)证明：当直线l的斜率不存在时，则l方程为x=−1，

联立x2+(【解析】(1)根据题意，设圆的方程为x2+y2+Dx+E22.【答案】解：(Ⅰ)PE=34PD时，PB/​/平面ACE，理由