复变函数课后习题答案（全）

本文格式为Word版，下载可任意编辑——复变函数课后习题答案（全）习题一答案

1．求以下复数的实部、虚部、模、幅角主值及共轭复数：

i1（2）

(i?1)(i?2)3?2i13i821（3）?（4）?i?4i?i

i1?i13?2i解：（1）z?，?3?2i1332因此：Rez?,Imz??，

13131232z?,argz??arctan,z??i

3131313ii?3?i??（2）z?，

(i?1)(i?2)1?3i1031因此，Rez??,Imz?，

10101131z?,argz???arctan,z???i

310101013i3?3i3?5i（3）z??，??i??i1?i2235因此，Rez?,Imz??，

323453?5iz?,argz??arctan,z?

232821（4）z??i?4i?i??1?4i?i??1?3i

（1）

因此，Rez??1,Imz?3，

z?10,argz???arctan3,z??1?3i

2．将以下复数化为三角表达式和指数表达式：（1）i（2）?1?（4）r(cos?解：（1）i3i（3）r(sin??icos?)

?isin?)（5）1?cos??isin?(0???2?)

?cos?2?isin?2?2?e

i2?i223（2）?1?3i?2(cos??isin?)?2e

33（3）r(sin?（4）r(cos??icos?)?r[cos(??)?isin(??)]?re22?isin?)?r[cos(??)?isin(??)]?re??i?isin??2sin2??(??)i2?

（5）1?cos???2isincos222???i?2sin[cos2（1）(????2?isin??????2]?2sine22

3．求以下各式的值：

3?i)5（2）(1?i)100?(1?i)100

(cos5??isin5?)2(1?3i)(cos??isin?)（3）（4）

(cos3??isin3?)3(1?i)(cos??isin?)（5）3i（6）解：（1）(51?i3?i)5?[2(cos(?)?isin(?))]5

66??5?5??2(cos(?)?isin(?))??16(3?i)

66（2）(1?i)100?(1?i)100?(2i)50?(?2i)50??2(2)50??251

(1?3i)(cos??isin?)（3）

(1?i)(cos??isin?)?2[cos(?)?isin(?)](cos??isin?)332[cos(?)?isin(?)][cos(??)?isin(??)]44????

?2[cos(??12)?isin(??12)](cos2??isin2?)

?2[cos(2???12)?isin(2???12)]?2e(2???12)i

(cos5??isin5?)2（4）3(cos3??isin3?)cos10??isin10???cos19??isin19?cos(?9?)?isin(?9?)（5）3i?cos3?2?isin?2?31?i,k?0??22?311?1??i,k?1?cos(?2k?)?isin(?2k?)???3232?22??i,k?2??（6）1?i?2(cos??isin)44?i?4?81?1??2e,k?04?2[cos(?2k?)?isin(?2k?)]???2424??42e8i,k?1?4．设z1?z1?i,z2?3?i,试用三角形式表示z1z2与1

z22解：z1?cos??isin,z2?2[cos(?)?isin(?)]，所以

4466???z1z2?2[cos(?)?isin(?)]?2(cos?isin)，46461212z11????15?5??[cos(?)?isin(?)]?(cos?isin)z224646212125．解以下方程：（1）(z?i)5???????1（2）z4?a4?0(a?0)

?51,由此

解：（1）z?iz?51?i?e（2）z2k?i5?i，(k?0,1,2,3,4)

?4?a4?4a4(cos??isin?)时，对应的4

11,1,2,3?a[cos(??2k?)?isin(??2k?)]，当k?044个根分别为：aaaa(1?i),(?1?i),(?1?i),(1?i)22226．证明以下各题：（1）设z?x?iy,则x?y2?z?x?y

证明：首先，显然有其

次

z?x2?y2?x?y；

，

因

x2?y2?2xy,

固此有

2(x2?y2)?(x?y2),从而

z?x?y?222x?y22。

2（2）对任意复数z1,z2,有z1?z2?z1?z2?2Re(z1z2)

2证明：验证即可，首先左端?(x1?x2)而右端??(y1?y2)2，

x12?y12?x22?y22?2Re[(x1?iy1)(x2?iy2)]

?x12?y12?x22?y22?2(x1x2?y1y2)?(x1?x2)2?(y1?y2)2，

由此，左端=右端，即原式成立。（3）若a?bi是实系数代数方程a0zn?a1zn?1???an?1z?a0?0

的一个根，那么a?bi也是它的一个根。

证明：方程两端取共轭，注意到系数皆为实数，并且根据复数的乘法运算规则，zn?(z)n，由此得到：a0(z)n?a1(z)n?1???an?1z?a0?0

由此说明：若z为实系数代数方程的一个根，则z也是。结论得证。（4）若

a?1,则?b?a,皆有

a?b?a

1?ab证明：根据已知条件，有aa?1，因此：

a?ba?ba?b1????a，证毕。

1?abaa?ab(a?a)baa?b（5）若a?1,b?1，则有?1

1?ab证明：

a?b?(a?b)(a?b)?a?b?ab?ab，

2222221?ab?(1?ab)(1?ab)?1?ab?ab?ab，由于

a?1,b?1，所以，

2a?b?a22220，b?1?(1?a)(b?1)?222a?b因而a?b?1?ab，即?1，结论得证。

1?ab7．设

z?1,试写出访zn?a达到最大的z的表达式，其中n为正整数，a

为复数。

解：首先，由复数的三角不等式有

zn?a?zn?a?1?a，

n为此，需要取zzn?a达到最大，

在上面两个不等式都取等号时

na与a同向且z?1，即z应为a的单位化向量，由此，z?，

ann